خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را
تمرین 10: حل کردن دستگاه های معادلات با روش جبری
دستگاه های زیر را با روش جبری حل کنید. پاسخ های دقیق ارائه دهید. در هر مورد توضیح دهید که چرا از روش خاصی استفاده نموده اید.
پاسخ
-
با توجه به این یکی از معادلات برای به دست آوردن \(p\) حل شده است و به سادگی قابل جایگذاری در معادلۀ دیگر است، از روش جایگزینی استفاده می کنیم.
$$
p=3k + 1\\
p= 6k^2 + 10k - 4\\[2ex]
6k^2 + 10k - 4 = 3k + 1\\
6k^2 + 10k - 4 - 3k - 1 = 0\\
6k^2 + 7k - 5 = 0\\
x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\
x=\frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4(6)(-5)}}{2(6)}\\
x=\frac{-7 \pm \sqrt{49 + 120}}{12}\\
x=\frac{-7 \pm \sqrt{169}}{12}\\
x=\frac{-7 \pm 13}{12}\\
x=\frac{-7 + 13}{12}\\
x = \frac{1}{2}\\
x=\frac{-7 - 13}{12}\\
x=-\frac{5}{3}\\[2ex]
p=3k+1\\
p=3(\color{red}{\frac{1}{2}})+1\\
p=\frac{3}{2}+1\\
p = \frac{5}{2}\\
\to (\frac{1}{2},\frac{5}{2})\\[2ex]
p=3k+1\\
p=3(\color{red}{-\frac{5}{3}})+1\\
p=-5+1\\
p = -4\\
\to (-\frac{5}{3},-4)
$$
پاسخ های این دستگاه \((\frac{1}{2}, \frac{5}{2})\) و \((-\frac{5}{3},-4)\) می باشند.
-
در این دستگاه جملۀ \(y\) به سادگی قابل حذف می باشد، پس از روش حذف استفاده می کنیم.
$$
4x^2 + 3y = 1\\
3x^2 + 2y = 4\\[2ex]
-2(4x^2 + 3y) = -2(1)\\
3(3x^2 + 2y) = 3(4)\\[2ex]
-8x^2 -6y = -2\\
9x^2 + 6y = 12\\[2ex]
x^2 = 10\\
x = \pm \sqrt{10}\\[2ex]
4x^2 + 3y = 1\\
3y = -4x^2 + 1\\
y = \frac{-4x^2 + 1}{3} \\
y = \frac{-4(\color{red}{\sqrt{10}})^2 + 1}{3} \\
y = \frac{-4(10) + 1}{3} \\
y = \frac{-40 + 1}{3} \\
y = \frac{-39}{3} \\
y = -13\\
\to (\sqrt{10}, -13)\\[2ex]
y = \frac{-4x^2 + 1}{3} \\
y = \frac{-4(\color{red}{-\sqrt{10}})^2 + 1}{3} \\
y = \frac{-4(10) + 1}{3} \\
y = \frac{-40 + 1}{3} \\
y = \frac{-39}{3} \\
y = -13\\
\to (-\sqrt{10}, -13)
$$
پاسخ های این دستگاه \((\sqrt{10},-13)\) و \((-\sqrt{10},-13)\) می باشند.
-
ابتدا مخرج کسرها را از بین می بریم و سپس از روش حذف استفاده می کنیم.
$$
\frac{w^2}{2} + \frac{w}{4} - \frac{z}{2} = 3\\
\frac{w^2}{3} - \frac{3w}{4} + \frac{z}{6} + \frac{1}{3} = 0\\[2ex]
4(\frac{w^2}{2} + \frac{w}{4} - \frac{z}{2}) = 4(3)\\
2w^2 +w - 2z = 12\\
12(\frac{w^2}{3} - \frac{3w}{4} + \frac{z}{6} + \frac{1}{3}) = 12(0)\\
4w^2 - 9w + 2z + 4 = 0\\[2ex]
2w^2 +w - 2z = 12\\
4w^2 - 9w + 2z + 4 = 0\\[2ex]
6w^2 -8w + 4 = 12\\
6w^2 -8w -8 = 0\\
3w^2 - 4w - 4 = 0\\
3w^2 -6w +2w -4 = 0\\
(3w^2 -6w) +(2w -4) = 0\\
3w(w - 2) +2(w - 2) = 0\\
(3w + 2) (w-2) = 0\\
3w+2 = 0\\
w = -\frac{2}{3}\\
w -2 = 0\\
w = 2\\[2ex]
2w^2 +w - 2z = 12\\
2(\color{red}{-\frac{2}{3}})^2 + (\color{red}{-\frac{2}{3}}) - 2z = 12\\
2(\frac{4}{9}) -\frac{2}{3} - 2z = 12\\
\frac{8}{9} - \frac{2}{3} - 12 = 2z\\
9(\frac{8}{9} - \frac{2}{3} - 12) = 9(2z)\\
8 - 6 -108 = 18z\\
-106 = 18z\\
-\frac{106}{18} = z\\
-\frac{53}{9} = z\\
\to (-\frac{2}{3}, - \frac{53}{9})\\[2ex]
2w^2 +w - 2z = 12\\
2(\color{red}{2})^2 +\color{red}{2} - 2z = 12\\
8 +2 - 2z = 12\\
10 -12 = 2z\\
-2 = 2z\\
-1= z\\
\to (2,-1)
$$
پاسخ های این دستگاه \((-\frac{2}{3},-\frac{53}{9})\) و \((2,-1)\) می باشند.
-
بعد از اینکه \(y\) را در معادلۀ اول منزوی کردیم، این دستگاه را با روش جایگزینی حل می کنیم.
پاسخ های این دستگاه عبارت از \((\frac{-3+\sqrt{69}}{6} , \frac{11-\sqrt{69}}{6})\) و \((\frac{-3-\sqrt{69}}{6} , \frac{11+\sqrt{69}}{6})\) می باشند.
لیست دوره های آموزش ریاضی در سایت خوش آموز
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
- دوره آموزشی رایگان ریاضی پایه و پیش جبر
- تمرینات دوره آموزشی ریاضی پایه و پیش جبر
- دوره آموزشی رایگان جبر 1
- دوره آموزشی رایگان جبر 2
- دوره آموزشی رایگان هندسه
- دوره آموزشی رایگان مثلثات
- دوره آموزشی رایگان پیش حسابان 1
- دوره آموزشی رایگان حسابان 1
- آموزش رایگان حسابان پیشرفته
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)
دیدگاه خود را ثبت کنید: