خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


تمرین 10: حل کردن دستگاه های معادلات با روش جبری

تمرین 10: حل کردن دستگاه های معادلات با روش جبری
نویسنده : امیر انصاری
دستگاه های زیر را با روش جبری حل کنید. پاسخ های دقیق ارائه دهید. در هر مورد توضیح دهید که چرا از روش خاصی استفاده نموده اید.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار
تمرین 10: حل کردن دستگاه های معادلات با روش جبری



پاسخ


  1. با توجه به این یکی از معادلات برای به دست آوردن \(p\) حل شده است و به سادگی قابل جایگذاری در معادلۀ دیگر است، از روش جایگزینی استفاده می کنیم.
    $$
    p=3k + 1\\
    p= 6k^2 + 10k - 4\\[2ex]
    6k^2 + 10k - 4 = 3k + 1\\
    6k^2 + 10k - 4 - 3k - 1 = 0\\
    6k^2 + 7k - 5 = 0\\
    x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\
    x=\frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4(6)(-5)}}{2(6)}\\
    x=\frac{-7 \pm \sqrt{49 + 120}}{12}\\
    x=\frac{-7 \pm \sqrt{169}}{12}\\
    x=\frac{-7 \pm 13}{12}\\
    x=\frac{-7 + 13}{12}\\
    x = \frac{1}{2}\\
    x=\frac{-7 - 13}{12}\\
    x=-\frac{5}{3}\\[2ex]
    p=3k+1\\
    p=3(\color{red}{\frac{1}{2}})+1\\
    p=\frac{3}{2}+1\\
    p = \frac{5}{2}\\
    \to (\frac{1}{2},\frac{5}{2})\\[2ex]
    p=3k+1\\
    p=3(\color{red}{-\frac{5}{3}})+1\\
    p=-5+1\\
    p = -4\\
    \to (-\frac{5}{3},-4)
    $$
    پاسخ های این دستگاه \((\frac{1}{2}, \frac{5}{2})\) و \((-\frac{5}{3},-4)\) می باشند.

  2. در این دستگاه جملۀ \(y\) به سادگی قابل حذف می باشد، پس از روش حذف استفاده می کنیم.
    $$
    4x^2 + 3y = 1\\
    3x^2 + 2y = 4\\[2ex]
    -2(4x^2 + 3y) = -2(1)\\
    3(3x^2 + 2y) = 3(4)\\[2ex]
    -8x^2 -6y = -2\\
    9x^2 + 6y = 12\\[2ex]
    x^2 = 10\\
    x = \pm \sqrt{10}\\[2ex]
    4x^2 + 3y = 1\\
    3y = -4x^2 + 1\\
    y = \frac{-4x^2 + 1}{3} \\
    y = \frac{-4(\color{red}{\sqrt{10}})^2 + 1}{3} \\
    y = \frac{-4(10) + 1}{3} \\
    y = \frac{-40 + 1}{3} \\
    y = \frac{-39}{3} \\
    y = -13\\
    \to (\sqrt{10}, -13)\\[2ex]
    y = \frac{-4x^2 + 1}{3} \\
    y = \frac{-4(\color{red}{-\sqrt{10}})^2 + 1}{3} \\
    y = \frac{-4(10) + 1}{3} \\
    y = \frac{-40 + 1}{3} \\
    y = \frac{-39}{3} \\
    y = -13\\
    \to (-\sqrt{10}, -13)
    $$
    پاسخ های این دستگاه \((\sqrt{10},-13)\) و \((-\sqrt{10},-13)\) می باشند.

  3. ابتدا مخرج کسرها را از بین می بریم و سپس از روش حذف استفاده می کنیم.
    $$
    \frac{w^2}{2} + \frac{w}{4} - \frac{z}{2} = 3\\
    \frac{w^2}{3} - \frac{3w}{4} + \frac{z}{6} + \frac{1}{3} = 0\\[2ex]
    4(\frac{w^2}{2} + \frac{w}{4} - \frac{z}{2}) = 4(3)\\
    2w^2 +w - 2z = 12\\
    12(\frac{w^2}{3} - \frac{3w}{4} + \frac{z}{6} + \frac{1}{3}) = 12(0)\\
    4w^2 - 9w + 2z + 4 = 0\\[2ex]
    2w^2 +w - 2z = 12\\
    4w^2 - 9w + 2z + 4 = 0\\[2ex]
    6w^2 -8w + 4 = 12\\
    6w^2 -8w -8 = 0\\
    3w^2 - 4w - 4 = 0\\
    3w^2 -6w +2w -4 = 0\\
    (3w^2 -6w) +(2w -4) = 0\\
    3w(w - 2) +2(w - 2) = 0\\
    (3w + 2) (w-2) = 0\\
    3w+2 = 0\\
    w = -\frac{2}{3}\\
    w -2 = 0\\
    w = 2\\[2ex]
    2w^2 +w - 2z = 12\\
    2(\color{red}{-\frac{2}{3}})^2 + (\color{red}{-\frac{2}{3}}) - 2z = 12\\
    2(\frac{4}{9}) -\frac{2}{3} - 2z = 12\\
    \frac{8}{9} - \frac{2}{3} - 12 = 2z\\
    9(\frac{8}{9} - \frac{2}{3} - 12) = 9(2z)\\
    8 - 6 -108 = 18z\\
    -106 = 18z\\
    -\frac{106}{18} = z\\
    -\frac{53}{9} = z\\
    \to (-\frac{2}{3}, - \frac{53}{9})\\[2ex]
    2w^2 +w - 2z = 12\\
    2(\color{red}{2})^2 +\color{red}{2} - 2z = 12\\
    8 +2 - 2z = 12\\
    10 -12 = 2z\\
    -2 = 2z\\
    -1= z\\
    \to (2,-1)
    $$
    پاسخ های این دستگاه \((-\frac{2}{3},-\frac{53}{9})\) و \((2,-1)\) می باشند.

  4. بعد از اینکه \(y\) را در معادلۀ اول منزوی کردیم، این دستگاه را با روش جایگزینی حل می کنیم.
    پاسخ های این دستگاه عبارت از \((\frac{-3+\sqrt{69}}{6} , \frac{11-\sqrt{69}}{6})\) و \((\frac{-3-\sqrt{69}}{6} , \frac{11+\sqrt{69}}{6})\) می باشند.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.