نویسنده : امیر انصاری

1. دو معادله به لحاظ \(x\) و \(y\) بنویسید: یکی برای محیط و دیگری برای مساحت این مستطیل.
   
2. محیط و مساحت این مستطیل را تعیین کنید.
   

پاسخ

1. $$
   2(x+8) + 2(x+6) = 8y\\
   (x+6)(x+8) = 6y + 3
   $$
   
2. برای یافتن محیط و مساحت این مستطیل، ابتدا دستگاه معادلاتی را که در بخش a ایجاد کردیم، حل می کنیم تا مقادیر \(x\) و \(y\) را تعیین کنیم. سپس با داشتن این مقادیر، می توانیم به سادگی محیط و مساحت این مستطیل را تعیین کنیم.
   ابتدا معادلات دستگاه را ساده سازی می کنیم تا شکیل تر و شسته رفته تر گردند.
   $$
   2(x+8) + 2(x+6) = 8y\\
   (x+6)(x+8) = 6y + 3\\[2ex]
   2(x+8) + 2(x+6) = 8y\\
   2x+16 +2x + 12 = 8y\\
   4x + 28 = 8y\\[2ex]
   (x+6)(x+8) = 6y + 3\\
   x^2 + 8x + 6x + 48 = 6y + 3\\
   x^2 + 14x + 45 = 6y
   $$
   بعد از ساده سازی معادلات به دستگاه زیر می رسیم.
   $$
   4x + 28 = 8y\\
   x^2 + 14x + 45 = 6y
   $$
   با روش حذف این دستگاه را حل می کنیم. معادلۀ اول را در \(-3\) و معادلۀ دوم را در \(4\) ضرب می کنیم تا در هر دو معادله ضریب \(y\) برابر با \(24\) گردد و علامت هایشان نیز متفاوت باشد.
   $$
   -3(4x + 28) = -3(8y)\\
   4(x^2 + 14x + 45) = 4(6y)\\[2ex]
   -12x - 84 = -24y\\
   4x^2 + 56x + 180 = 24y\\[2ex]
   4x^2 + 44x +96 = 0\\
   4(x^2 + 11x + 24) = 0\\
   4(x+3)(x+8)=0\\
   x=-3 \text{ or } x=-8
   $$
   هم اکنون مقادیر احتمالی \(x\) را داریم، با جایگذاری آن ها در یکی از معادله های اصلی، مقادیر احتمالی \(y\) را بدست می آوریم.
   $$
   2(x+8) + 2(x+6) = 8y\\
   2(\color{red}{-3}+8) + 2(\color{red}{-3}+6) = 8y\\
   2(5)+2(3)=8y\\
   10 + 6 = 8y\\
   16 = 8y\\
   2 = y\\
   \to (-3,2) \\[2ex]
   2(x+8) + 2(x+6) = 8y\\
   2(\color{red}{-8}+8) + 2(\color{red}{-8}+6) = 8y\\
   2(0) + 2(-2) = 8y\\
   -4 = 8y\\
   -2 = y\\
   \to (-8,-2)
   $$
   پاسخ های این دستگاه \((-3,2)\) و \((-8,-2)\) می باشند، پاسخ \(-8\) را نادیده می گیریم، چرا که با توجه به محتوای مسئلۀ ما قابل قبول نمی باشد. اگر \(x=-8\) باشد، طول مستطیل ما \(x+8=-8+8=0\) می شود که منطقی نیست. پس \(x=-3\) و \(y=2\) پاسخ مورد نظر ما است.
   محیط این مستطیل:
   $$
   8y = 8(2) = 16
   $$
   مساحت این مستطیل:
   $$
   6y+3= 6(2)+3 = 12+3=15
   $$
   محیط این مستطیل \(16\) متر و مساحت آن \(15\) متر مربع می باشد.