نویسنده : امیر انصاری

1. برای توابع نشان داده شده در تصویر زیر، یک دستگاه معادلات مشخص سازید.
   
   
   
2. این دستگاه را به روش جبری حل کنید.
   
   
   
   

پاسخ

1. در این جا دو سهمی داریم که مختصات رأس آن ها را داریم. اگر مختصات رأس و دست کم مختصات یک نقطۀ دیگر را بر روی یک سهمی داشته باشیم، می توانیم معادلۀ آن را در شکل رأس، \(y=a(x-p)^2+q\)، بدست آوریم.
   معادلۀ تابع مشخص شده با رنگ سبز:
   $$
   \text{vertex: } (1,0)\\
   y=a(x-p)^2+q\\
   y=a(x-\color{red}{1})^2+\color{red}{0}\\
   y=a(x-1)^2\\[2ex]
   \text{(x,y): } (3,2)\\
   \color{red}{2}=a(\color{red}{3}-1)^2\\
   2=4a\\
   \frac{1}{2} = a\\
   \to y = \frac{1}{2}(x-1)^2
   $$
   معادلۀ تابع مشخص شده با رنگ آبی:
   $$
   \text{vertex: } (0,0)\\
   y=a(x-p)^2+q\\
   y=a(x-\color{red}{0})^2+\color{red}{0}\\
   y=ax^2\\[2ex]
   \text{(x,y): } (3,3)\\
   \color{red}{3}=a(\color{red}{3})^2\\
   3=9a\\
   \frac{1}{3} = a\\
   \to y = \frac{1}{3}x^2
   $$
   دستگاه معادلات این توابع:
   $$
   y = \frac{1}{2}(x-1)^2\\
   y = \frac{1}{3}x^2
   $$
   
2. این دستگاه را با روش جایگزینی حل می کنیم.
   $$
   y = \frac{1}{2}(x-1)^2\\
   y = \frac{1}{3}x^2\\[2ex]
   \frac{1}{2}(x-1)^2 = \frac{1}{3}x^2\\
   \frac{1}{2}(x^2 - 2x + 1) = \frac{1}{3}x^2\\
   \frac{1}{2}x^2 - x + \frac{1}{2} = \frac{1}{3}x^2\\
   \frac{1}{2}x^2 - x + \frac{1}{2} - \frac{1}{3}x^2 = 0\\
   6(\frac{1}{2}x^2 - x + \frac{1}{2} - \frac{1}{3}x^2) = 6(0)\\
   3x^2 - 6x + 3 - 2x^2 = 0\\
   x^2 -6x + 3 = 0\\
   x \approx 5.45 \text{ or } x \approx 0.55\\[2ex]
   y = \frac{1}{3}x^2\\
   y = \frac{1}{3}(\color{red}{5.45})^2\\
   y = 9.9\\
   \to (5.45, 9.9)\\[2ex]
   y = \frac{1}{3}x^2\\
   y = \frac{1}{3}(\color{red}{0.55})^2\\
   y = 0.1\\
   \to (0.55, 0.1)
   $$
   پاسخ های این دستگاه عبارت از \((5.45,9.9)\) و \((0.55,0.1)\) می باشند.