سهمی \(y = -x^2 + 4x + 26.5\) محور \(x\) را در نقاط \(A\) و \(B\) قطع می کند. خط \(y = 1.5x + 5.25\) این سهمی را در نقاط \(A\) و \(C\) قطع می کند. مساحت تقریبی \(\triangle{ABC}\) را تعیین کنید.

پاسخ

خواستۀ این مسئله مساحت تقریبی مثلث \(ABC\) می باشد. بنابراین مختصات نقاط \(A\) و \(B\) و \(C\) اولین چیزهایی می باشد که باید به دنبالشان باشیم. سپس از روی مختصات این نقاط می توانیم طول \(\overline{AB}\) که قاعدۀ این مثلث می باشد را بدست آوریم. همچنین می توانیم خط فرضی عمودی از نقطۀ \(C\) بر پاره خط \(AB\) در نظر بگیریم که ارتفاع این مثلث می شود. طول این خط برابر با مختصات \(y\) از نقطۀ \(C\) می باشد.

برای بدست آوردن مختصات نقاط \(A\) و \(B\) باید پاسخ های معادلۀ زیر را بیابیم. در واقع این دو نقطه طول از مبدأ های این سهمی می باشند.
$$
-x^2 + 4x + 26.5 = 0
$$
پاسخ های این معادله عبارت از \(A(-3.52,0)\) و \(B(7.52,0)\) می باشند. به کمک این نقاط طول قاعدۀ مثلث را بدست می آوریم.
$$
\overline{AB} = |7.52 - (-3.52)| = 11.04 \\
b = \overline{AB} = 11.04
$$
برای بدست آوردن مختصات نقطۀ \(C\) باید پاسخ های دستگاه معادلات زیر را بیابیم.
$$
y = 1.5x + 5.25\\
y = -x^2 + 4x + 26.5
$$
پاسخ های این دستگاه عبارت از \(A(-3.52,0)\) و \(C(6.02, 14.29)\) می باشند. از روی مختصات \(y\) از نقطۀ \(C\) می توانیم ارتفاع این مثلث را بدست آوریم.
$$
h = 14.29
$$
هم اکنون به سادگی مساحت این مثلث را محاسبه می کنیم.
$$
A = \frac{1}{2} bh\\
A = \frac{1}{2}(11.04)(14.29)\\
A = 78.88
$$
مساحت این مثلث تقریباً \(78.88\) واحد مربع می باشد.