خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


مثال 1: حل کردن یک نامساوی درجه دوم

مثال 1: حل کردن یک نامساوی درجه دوم
نویسنده : امیر انصاری
حل کردن یک نامساوی درجه دوم در شکل \(ax^2 + bx + c \le 0, a\gt 0\)

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



نامساوی \(x^2 - 2x - 3 \le 0\) را حل کنید.

پاسخ


روش 1: نمودار تابع متناظر این نامساوی را ترسیم کنید


نمودار تابع متناظر این نامساوی، \(f(x) = x^2 - 2x -3\)، را ترسیم کنید.

برای تعیین پاسخ های \(x^2 - 2x - 3 \le 0\)، به دنبال مقادیری از \(x\) باشید که به ازاء آن ها نمودار \(f(x)\) زیر محور \(x\) قرار می گیرند.

مثال 1: حل کردن یک نامساوی درجه دوم

این سهمی در \(x=-1\) و \(x=3\) بر روی محور \(x\) قرار دارد. این نمودار در این بازۀ مقادیر در زیر محور \(x\) قرار دارد. بنابراین، مجموعه پاسخ این نامساوی برابر با تمامی اعداد حقیقی بین \(-1\) و \(3\) می باشد، خود این دو عدد نیز در پاسخ شامل هستند. به زبان نمادهای ریاضی، این پاسخ را این گونه می نویسیم:
$$
\{ x | -1 \le x \le 3, x \in \text{R} \}
$$

روش 2: ریشه ها و نقاط آزمایش


معادلۀ مرتبط با این نامساوی، \(x^2 - 2x - 3 = 0\)، را حل کنید تا ریشه های آن را بیابید. سپس از یک خط اعداد و نقاط آزمایش برای تعیین بازه هایی که این نامساوی را برآورده می سازند، استفاده کنید.
$$
x^2 - 2x - 3 = 0\\
(x+1)(x-3)=0\\[2ex]
x+1 =0\\
x= -1\\[2ex]
x-3 = 0\\
x = 3
$$
نقاط \(-1\) و \(3\) را بر روی یک خط اعداد ترسیم کنید. از آنجا که خود این اعداد نیز بخشی از پاسخ هستند، از دایره های بسته برای ترسیمشان استفاده کنید.
مثال 1: حل کردن یک نامساوی درجه دوم

با استفاده از ریشه های این معادله، محور \(x\) به سه بازه تقسیم می شود. از هر بازه یک نقطۀ آزمایش انتخاب کنید. به عنوان مثال \(-2\)، \(0\)، و \(5\). سپس هر کدام از این نقاط آزمایش را در نامساوی جایگذاری کنید و تعیین کنید که آیا نامساوی را برآورده می سازد یا خیر.

از یک جدول برای سازماندهی نتایج استفاده کنید.

مثال 1: حل کردن یک نامساوی درجه دوم

ترجمۀ شکل
Interval: بازه
Test Point: نقطۀ آزمایش
Substitution: جایگذاری

مقادیر \(x\) بین \(-1\) و \(3\) این نامساوی را برآورده می سازند.
مقدار \(x^2 - 2x - 3\) در بازۀ \(-1 \lt x \lt 3\)، منفی می باشد.
مجموعه پاسخ این نامساوی به شرح زیر است:
$$
\{ x | -1 \le x \le 3 , x \in \text{R} \}
$$
مثال 1: حل کردن یک نامساوی درجه دوم

روش 3: تجزیه و تحلیل موردی


عبارت درجه دوم را فاکتورگیری کنید تا این نامساوی را به شکل زیر بازنویسی کنید.
$$
(x+1)(x-3) \le 0
$$
اگر این دو فاکتور دارای علامت های متفاوتی باشند، حاصل ضرب آن ها عددی منفی می شود. برای این که چنین شود، دو حالت خواهیم داشت.

مورد 1: فاکتور اول منفی و فاکتور دوم مثبت باشد.
\(x + 1 \le 0\) و \(x - 3 \ge 0\)

این نامساوی ها را حل کنید تا به \(x \le -1\) و \(x \ge 3\) برسید.

مثال 1: حل کردن یک نامساوی درجه دوم

هر مقدار \(x\)ای که هر دوی این شرایط را برآورده سازد، بخشی از مجموعه پاسخ خواهد بود. همانطور که می بینید، هیچ مقداری وجود ندارد که هر دوی این نامساوی ها را برآورده سازد.

مورد 2: فاکتور اول مثبت و فاکتور دوم منفی باشد.
\(x + 1 \ge 0\) و \(x - 3 \le 0\)

این نامساوی ها را حل کنید تا به \(x \ge -1\) و \(x \le 3\) برسید.

مثال 1: حل کردن یک نامساوی درجه دوم

این دو نامساوی به ازاء تمامی مقادیر بین \(-1\) و \(3\)، که شامل خود این دو عدد نیز می شود، برقرار می باشند.

مجموعه پاسخ به شرح زیر است:
$$
\{ x | -1 \le x \le 3, x \in \text{R} \}
$$

حالا نوبت شماست


نامساوی \(x^2 - 10x - 16 \le 0\) را با دو روش مختلف حل کنید.

یادداشت مترجم: پاسخ حالا نوبت شماست را در قسمت دیدگاه ها درج کنید.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.