خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را
مثال 1: حل کردن یک نامساوی درجه دوم
حل کردن یک نامساوی درجه دوم در شکل \(ax^2 + bx + c \le 0, a\gt 0\)
نامساوی \(x^2 - 2x - 3 \le 0\) را حل کنید.
نمودار تابع متناظر این نامساوی، \(f(x) = x^2 - 2x -3\)، را ترسیم کنید.
برای تعیین پاسخ های \(x^2 - 2x - 3 \le 0\)، به دنبال مقادیری از \(x\) باشید که به ازاء آن ها نمودار \(f(x)\) زیر محور \(x\) قرار می گیرند.
این سهمی در \(x=-1\) و \(x=3\) بر روی محور \(x\) قرار دارد. این نمودار در این بازۀ مقادیر در زیر محور \(x\) قرار دارد. بنابراین، مجموعه پاسخ این نامساوی برابر با تمامی اعداد حقیقی بین \(-1\) و \(3\) می باشد، خود این دو عدد نیز در پاسخ شامل هستند. به زبان نمادهای ریاضی، این پاسخ را این گونه می نویسیم:
$$
\{ x | -1 \le x \le 3, x \in \text{R} \}
$$
معادلۀ مرتبط با این نامساوی، \(x^2 - 2x - 3 = 0\)، را حل کنید تا ریشه های آن را بیابید. سپس از یک خط اعداد و نقاط آزمایش برای تعیین بازه هایی که این نامساوی را برآورده می سازند، استفاده کنید.
$$
x^2 - 2x - 3 = 0\\
(x+1)(x-3)=0\\[2ex]
x+1 =0\\
x= -1\\[2ex]
x-3 = 0\\
x = 3
$$
نقاط \(-1\) و \(3\) را بر روی یک خط اعداد ترسیم کنید. از آنجا که خود این اعداد نیز بخشی از پاسخ هستند، از دایره های بسته برای ترسیمشان استفاده کنید.
با استفاده از ریشه های این معادله، محور \(x\) به سه بازه تقسیم می شود. از هر بازه یک نقطۀ آزمایش انتخاب کنید. به عنوان مثال \(-2\)، \(0\)، و \(5\). سپس هر کدام از این نقاط آزمایش را در نامساوی جایگذاری کنید و تعیین کنید که آیا نامساوی را برآورده می سازد یا خیر.
از یک جدول برای سازماندهی نتایج استفاده کنید.
مقادیر \(x\) بین \(-1\) و \(3\) این نامساوی را برآورده می سازند.
مقدار \(x^2 - 2x - 3\) در بازۀ \(-1 \lt x \lt 3\)، منفی می باشد.
مجموعه پاسخ این نامساوی به شرح زیر است:
$$
\{ x | -1 \le x \le 3 , x \in \text{R} \}
$$
عبارت درجه دوم را فاکتورگیری کنید تا این نامساوی را به شکل زیر بازنویسی کنید.
$$
(x+1)(x-3) \le 0
$$
اگر این دو فاکتور دارای علامت های متفاوتی باشند، حاصل ضرب آن ها عددی منفی می شود. برای این که چنین شود، دو حالت خواهیم داشت.
مورد 1: فاکتور اول منفی و فاکتور دوم مثبت باشد.
\(x + 1 \le 0\) و \(x - 3 \ge 0\)
این نامساوی ها را حل کنید تا به \(x \le -1\) و \(x \ge 3\) برسید.
هر مقدار \(x\)ای که هر دوی این شرایط را برآورده سازد، بخشی از مجموعه پاسخ خواهد بود. همانطور که می بینید، هیچ مقداری وجود ندارد که هر دوی این نامساوی ها را برآورده سازد.
مورد 2: فاکتور اول مثبت و فاکتور دوم منفی باشد.
\(x + 1 \ge 0\) و \(x - 3 \le 0\)
این نامساوی ها را حل کنید تا به \(x \ge -1\) و \(x \le 3\) برسید.
این دو نامساوی به ازاء تمامی مقادیر بین \(-1\) و \(3\)، که شامل خود این دو عدد نیز می شود، برقرار می باشند.
مجموعه پاسخ به شرح زیر است:
$$
\{ x | -1 \le x \le 3, x \in \text{R} \}
$$
نامساوی \(x^2 - 10x - 16 \le 0\) را با دو روش مختلف حل کنید.
نامساوی \(x^2 - 2x - 3 \le 0\) را حل کنید.
پاسخ
روش 1: نمودار تابع متناظر این نامساوی را ترسیم کنید
نمودار تابع متناظر این نامساوی، \(f(x) = x^2 - 2x -3\)، را ترسیم کنید.
برای تعیین پاسخ های \(x^2 - 2x - 3 \le 0\)، به دنبال مقادیری از \(x\) باشید که به ازاء آن ها نمودار \(f(x)\) زیر محور \(x\) قرار می گیرند.
این سهمی در \(x=-1\) و \(x=3\) بر روی محور \(x\) قرار دارد. این نمودار در این بازۀ مقادیر در زیر محور \(x\) قرار دارد. بنابراین، مجموعه پاسخ این نامساوی برابر با تمامی اعداد حقیقی بین \(-1\) و \(3\) می باشد، خود این دو عدد نیز در پاسخ شامل هستند. به زبان نمادهای ریاضی، این پاسخ را این گونه می نویسیم:
$$
\{ x | -1 \le x \le 3, x \in \text{R} \}
$$
روش 2: ریشه ها و نقاط آزمایش
معادلۀ مرتبط با این نامساوی، \(x^2 - 2x - 3 = 0\)، را حل کنید تا ریشه های آن را بیابید. سپس از یک خط اعداد و نقاط آزمایش برای تعیین بازه هایی که این نامساوی را برآورده می سازند، استفاده کنید.
$$
x^2 - 2x - 3 = 0\\
(x+1)(x-3)=0\\[2ex]
x+1 =0\\
x= -1\\[2ex]
x-3 = 0\\
x = 3
$$
نقاط \(-1\) و \(3\) را بر روی یک خط اعداد ترسیم کنید. از آنجا که خود این اعداد نیز بخشی از پاسخ هستند، از دایره های بسته برای ترسیمشان استفاده کنید.
با استفاده از ریشه های این معادله، محور \(x\) به سه بازه تقسیم می شود. از هر بازه یک نقطۀ آزمایش انتخاب کنید. به عنوان مثال \(-2\)، \(0\)، و \(5\). سپس هر کدام از این نقاط آزمایش را در نامساوی جایگذاری کنید و تعیین کنید که آیا نامساوی را برآورده می سازد یا خیر.
از یک جدول برای سازماندهی نتایج استفاده کنید.
ترجمۀ شکل
Interval: بازه
Test Point: نقطۀ آزمایش
Substitution: جایگذاری
Interval: بازه
Test Point: نقطۀ آزمایش
Substitution: جایگذاری
مقادیر \(x\) بین \(-1\) و \(3\) این نامساوی را برآورده می سازند.
مقدار \(x^2 - 2x - 3\) در بازۀ \(-1 \lt x \lt 3\)، منفی می باشد.
مجموعه پاسخ این نامساوی به شرح زیر است:
$$
\{ x | -1 \le x \le 3 , x \in \text{R} \}
$$
روش 3: تجزیه و تحلیل موردی
عبارت درجه دوم را فاکتورگیری کنید تا این نامساوی را به شکل زیر بازنویسی کنید.
$$
(x+1)(x-3) \le 0
$$
اگر این دو فاکتور دارای علامت های متفاوتی باشند، حاصل ضرب آن ها عددی منفی می شود. برای این که چنین شود، دو حالت خواهیم داشت.
مورد 1: فاکتور اول منفی و فاکتور دوم مثبت باشد.
\(x + 1 \le 0\) و \(x - 3 \ge 0\)
این نامساوی ها را حل کنید تا به \(x \le -1\) و \(x \ge 3\) برسید.
هر مقدار \(x\)ای که هر دوی این شرایط را برآورده سازد، بخشی از مجموعه پاسخ خواهد بود. همانطور که می بینید، هیچ مقداری وجود ندارد که هر دوی این نامساوی ها را برآورده سازد.
مورد 2: فاکتور اول مثبت و فاکتور دوم منفی باشد.
\(x + 1 \ge 0\) و \(x - 3 \le 0\)
این نامساوی ها را حل کنید تا به \(x \ge -1\) و \(x \le 3\) برسید.
این دو نامساوی به ازاء تمامی مقادیر بین \(-1\) و \(3\)، که شامل خود این دو عدد نیز می شود، برقرار می باشند.
مجموعه پاسخ به شرح زیر است:
$$
\{ x | -1 \le x \le 3, x \in \text{R} \}
$$
حالا نوبت شماست
نامساوی \(x^2 - 10x - 16 \le 0\) را با دو روش مختلف حل کنید.
یادداشت مترجم: پاسخ حالا نوبت شماست را در قسمت دیدگاه ها درج کنید.
لیست دوره های آموزش ریاضی در سایت خوش آموز
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
- دوره آموزشی رایگان ریاضی پایه و پیش جبر
- تمرینات دوره آموزشی ریاضی پایه و پیش جبر
- دوره آموزشی رایگان جبر 1
- دوره آموزشی رایگان جبر 2
- دوره آموزشی رایگان هندسه
- دوره آموزشی رایگان مثلثات
- دوره آموزشی رایگان پیش حسابان 1
- دوره آموزشی رایگان حسابان 1
- آموزش رایگان حسابان پیشرفته
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)
دیدگاه خود را ثبت کنید: