خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را
مثال 2: حل کردن یک نامساوی درجه دوم
حل کردن یک نامساوی درجه دوم در شکل \(ax^2 + bx + c \lt 0, a \lt 0\)
نامساوی \(-x^2 + x + 12 \lt 0\) را حل کنید.
معادلۀ مرتبط با این نامساوی، \(-x^2 + x + 12 = 0\)، را برای یافتن ریشه های آن حل کنید.
$$
-x^2 + x + 12 = 0\\
-1(x^2 - x - 12) = 0\\
-1(x+3)(x-4)=0\\[2ex]
x+3=0\\
x = -3\\[2ex]
x-4=0\\
x=4
$$
نقاط \(-3\) و \(4\) را بر روی یک خط اعداد مشخص سازید.
از آنجا که خود این مقادیر ریشه ها، پاسخ های این نامساوی نمی باشند، از دایره های توخالی استفاده کنید.
از هر کدام از این سه بازه، یک نقطۀ آزمایش انتخاب کنید، به عنوان مثال \(-5\)، \(0\)، و \(5\)، و به کمک این نقاط آزمایش تعیین کنید که آیا نتایج مربوطه، این نامساوی را برآورده می سازند یا خیر.
از یک جدول برای سازماندهی نتایج استفاده کنید.
مقادیری از \(x\) که کوچکتر از \(-3\) باشند یا بزرگتر از \(4\) باشند، این نامساوی را برآورده می سازند.
مجموعه پاسخ این نامساوی:
$$
\{ x | x \lt -3 \text{ or } x \gt 4, x \in \text{R} \}
$$
عبارت درجه دوم را فاکتورگیری کنید تا این نامساوی را به شکل زیر بازنویسی کنید:
$$
-1(x+3)(x-4) \lt 0
$$
تعیین کنید علامت هر کدام از فاکتورهای \(-1(x+3)\) و \(x+4\) چه باید باشد (مثبت، منفی، یا صفر) تا نامساوی برقرار باشد.
از آنجا که \(-1\) یک ثابت است، آن را با \((x+3)\) ترکیب کنید تا یک فاکتور بدست آید.
با جایگذاری \(-4\) در \(-1(x+3)\) نتیجه یک مقدار مثبت می شود.
$$
-1(\color{red}{-4}+3)=-1(-1)=1
$$
با جایگذاری \(-3\) در \(-1(x+3)\) نتیجه صفر می شود.
$$
-1(\color{red}{-3}+3)=-1(0)=0
$$
با جایگذاری \(1\) در \(-1(x+3)\) نتیجه یک مقدار منفی می شود.
$$
-1(\color{red}{1} +3) = -1(4) = -4
$$
خط های اعداد را ترسیم کنید تا این نتایج را نشان دهند.
از روی خط اعدادی که حاصل ضرب ها را نشان می دهد، مقادیری از \(x\) که کوچکتر از \(-3\) یا بزرگتر از \(4\) باشند، نامساوی \(-1(x+3)(x-4) \lt 0\) را برآورده می سازند.
مجموعه پاسخ این نامساوی:
$$
\{ x | x \lt -3 \text{ or } x \gt 4, x \in \text{R} \}
$$
نامساوی \(-x^2 + 3x + 10 \lt 0\) را با دو روش مختلف حل کنید.
نامساوی \(-x^2 + x + 12 \lt 0\) را حل کنید.
پاسخ
روش 1: ریشه ها و نقطۀ آزمایش
معادلۀ مرتبط با این نامساوی، \(-x^2 + x + 12 = 0\)، را برای یافتن ریشه های آن حل کنید.
$$
-x^2 + x + 12 = 0\\
-1(x^2 - x - 12) = 0\\
-1(x+3)(x-4)=0\\[2ex]
x+3=0\\
x = -3\\[2ex]
x-4=0\\
x=4
$$
نقاط \(-3\) و \(4\) را بر روی یک خط اعداد مشخص سازید.
از آنجا که خود این مقادیر ریشه ها، پاسخ های این نامساوی نمی باشند، از دایره های توخالی استفاده کنید.
از هر کدام از این سه بازه، یک نقطۀ آزمایش انتخاب کنید، به عنوان مثال \(-5\)، \(0\)، و \(5\)، و به کمک این نقاط آزمایش تعیین کنید که آیا نتایج مربوطه، این نامساوی را برآورده می سازند یا خیر.
از یک جدول برای سازماندهی نتایج استفاده کنید.
ترجمۀ شکل
Interval: بازه
Test Point: نقطۀ آزمایش
Substitution: جایگذاری
Interval: بازه
Test Point: نقطۀ آزمایش
Substitution: جایگذاری
مقادیری از \(x\) که کوچکتر از \(-3\) باشند یا بزرگتر از \(4\) باشند، این نامساوی را برآورده می سازند.
مجموعه پاسخ این نامساوی:
$$
\{ x | x \lt -3 \text{ or } x \gt 4, x \in \text{R} \}
$$
روش 2: تجزیه و تحلیل علامت ها
عبارت درجه دوم را فاکتورگیری کنید تا این نامساوی را به شکل زیر بازنویسی کنید:
$$
-1(x+3)(x-4) \lt 0
$$
تعیین کنید علامت هر کدام از فاکتورهای \(-1(x+3)\) و \(x+4\) چه باید باشد (مثبت، منفی، یا صفر) تا نامساوی برقرار باشد.
از آنجا که \(-1\) یک ثابت است، آن را با \((x+3)\) ترکیب کنید تا یک فاکتور بدست آید.
با جایگذاری \(-4\) در \(-1(x+3)\) نتیجه یک مقدار مثبت می شود.
$$
-1(\color{red}{-4}+3)=-1(-1)=1
$$
با جایگذاری \(-3\) در \(-1(x+3)\) نتیجه صفر می شود.
$$
-1(\color{red}{-3}+3)=-1(0)=0
$$
با جایگذاری \(1\) در \(-1(x+3)\) نتیجه یک مقدار منفی می شود.
$$
-1(\color{red}{1} +3) = -1(4) = -4
$$
خط های اعداد را ترسیم کنید تا این نتایج را نشان دهند.
از روی خط اعدادی که حاصل ضرب ها را نشان می دهد، مقادیری از \(x\) که کوچکتر از \(-3\) یا بزرگتر از \(4\) باشند، نامساوی \(-1(x+3)(x-4) \lt 0\) را برآورده می سازند.
مجموعه پاسخ این نامساوی:
$$
\{ x | x \lt -3 \text{ or } x \gt 4, x \in \text{R} \}
$$
حالا نوبت شماست
نامساوی \(-x^2 + 3x + 10 \lt 0\) را با دو روش مختلف حل کنید.
یادداشت مترجم: پاسخ حالا نوبت شماست را در قسمت دیدگاه ها درج کنید.
لیست دوره های آموزش ریاضی در سایت خوش آموز
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
- دوره آموزشی رایگان ریاضی پایه و پیش جبر
- تمرینات دوره آموزشی ریاضی پایه و پیش جبر
- دوره آموزشی رایگان جبر 1
- دوره آموزشی رایگان جبر 2
- دوره آموزشی رایگان هندسه
- دوره آموزشی رایگان مثلثات
- دوره آموزشی رایگان پیش حسابان 1
- دوره آموزشی رایگان حسابان 1
- آموزش رایگان حسابان پیشرفته
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)
دیدگاه خود را ثبت کنید: