نویسنده : امیر انصاری

پاسخ

1. ابتدا عبارت درجه دوم را فاکتورگیری می کنیم:
   $$
   x^2 - 2x - 15 \lt 0\\
   (x+3)(x-5) \lt 0
   $$
   اگر این دو فاکتور دارای علامت های متفاوتی باشند، حاصل ضرب آن ها عددی منفی می شود. برای این که چنین شود، دو حالت خواهیم داشت. در حالت اول، فاکتور اول مثبت و فاکتور دوم منفی خواهد بود. در حالت دوم فاکتور اول منفی و فاکتور دوم مثبت خواهد بود. هر دوی این حالات را تجزیه و تحلیل می کنیم.
   
   حالت اول: فاکتور اول مثبت و فاکتور دوم منفی:
   $$
   x - 5 \gt 0 \\
   x \gt 5\\[2ex]
   x + 3 \lt 0 \\
   x \lt -3
   $$
   تجمیع این دو شرط با یکدیگر هرگز برقرار نخواهد بود. به زبان ساده تر ما هیچ مجموعه عدد حقیقی نداریم که بزرگتر از \(5\) و در عین حال کوچکتر از \(-3\) باشند. اگر نتایج را بر روی خط اعداد ترسیم کنید، به صورت تصویری نیز این موضوع را خواهید دید.
   
   حالت دوم: فاکتور اول منفی و فاکتور دوم مثبت:
   $$
   x-5 \lt 0\\
   x \lt 5\\[2ex]
   x +3 \gt 0\\
   x \gt -3
   $$
   این دو نامساوی به ازاء تمامی نقاط بین \(-3\) و \(5\) برقرار می باشند.
   
   مجموعه پاسخ این نامساوی: با توجه به تجزیه و تحلیل موردی مشخص می شود که مجموعه پاسخ این نامساوی به شرح زیر می باشد:
   $$
   \{ x | -3 \lt x \lt 5 , x \in R \}
   $$
   
2. $$
   \{ x | x \lt -12 \text{ or } x \gt -1 , x \in R \}
   $$
   
3. ابتدا علامت منفی را فاکتور می گیریم، این کار باعث می شود که علامت نامساوی تغییر کند.
   $$
   -x^2 + 2x + 5 \le 0\\
   x^2 -2x -5 \ge 0
   $$
   این معادله را با فرمول حل معادلۀ درجه دوم حل می کنیم، چرا که قابل فاکتورگیری نمی باشد.
   $$
   x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\
   x = \frac{2 \pm \sqrt{24}}{2}\\
   x = 1 \pm \sqrt{6}
   $$
   بنابراین مشخص می شود که این نامساوی دو فاکتور زیر را دارد:
   $$
   (x-1-\sqrt{6})(x-1+\sqrt{6}) \ge 0
   $$
   دو حالت این نامساوی بدین شکل هستند که یا هر دو فاکتور باید مثبت باشند و یا هر دو فاکتور باید منفی باشند.
   $$
   \{ x | x \le 1 - \sqrt{6} \text{ or } x \ge 1 + \sqrt{6}, x \in R \}
   $$
   
4. $$
   \{ x | x \le -8 \text{ or } x \ge \frac{1}{2} , x \in R \}
   $$