تمرین 11: نامساوی های درجه دوم با یک متغیر، استفادۀ کاربردی

بسیاری از کشاورزان در آلبرتای جنوبی (Southern Alberta) محصولاتشان را آبیاری می کنند. یک سیستم آبیاری مرکز محور، آب را در یک الگوی مدور بر روی محصولات پخش می کند.

فرض کنید موری (Murray) حق آبیاری $63$ هکتار از زمینش را به دست آورده است. یک نامساوی بنویسید که ماکزیمم مساحت دایره ای که او می تواند آبیاری کند را در واحد متر مربع مدل سازی کند.
شعاع های ممکن برای دایره هایی که موری می تواند آبیاری کند، چه هستند؟ پاسختان را به شکل یک مقدار دقیق بیان کنید.
پاسختان در بخش b را به نزدیکترین صدم متر بیان کنید.

آیا می دانستید؟
هکتار (hectare) واحدی برای اندازه گیری مساحت است که برابر با $10,000$ متر مربع می باشد. این واحد عمدتاً برای اندازه گیری مساحت زمین مورد استفاده قرار می گیرد. هکتار را به اختصار با ha نشان می دهند.
$$
1 \text{ ha} = 10,000 \text{ m}^2
$$

پاسخ

فرض کنید $x$ نشان دهندۀ شعاع این دایره در واحد متر باشد. مسئله می گوید ماکزیمم مساحت ممکن این سطح دایره ای شکل برابر با $63$ هکتار یا $63 \times 10,000 = 630,000$ متر مربع می باشد. نامساوی مربوطه به شکل زیر خواهد بود:
$$
\pi x^2 \le 630,000
$$
$$
0 \le x \le \sqrt{\frac{630,000}{\pi}}
$$
$$
0 \text{ m} \le x \le 447.81 \text{ m}
$$