بیایید دامنه های حقیقی و بردهای مرتبط با چند تابع ساده را بررسی کنیم. در هر کدام از موارد زیر، دامنه عبارت از مقادیری می باشد که به ازاء آنها فرمول معنا دار باشد.

پاسخ

دامنۀ تابع \(y=x^2\) شامل تمامی اعداد حقیقی می باشد، \((-\infty, \infty)\).
برد تابع \(y=x^2\) شامل تمامی اعداد حقیقی غیرمنفی می باشد، \([0, \infty)\). زیرا مربع اعداد منفی نیز مثبت می شوند و در نتیجه خروجی این تابع هرگز عددی منفی نخواهد شد. اگر از زاویۀ دیگری به قضیه نگاه کنیم، رابطۀ \(y = (\sqrt{y})^2, y \ge 0\) را خواهیم داشت، یعنی به ازاء هر عدد حقیقی غیرمنفی \(y\)، مربعِ جذر آن برابر با خود \(y\) خواهد بود.

دامنه تابع \(y=\frac{1}{x}\) شامل تمامی اعداد حقیقی غیر از صفر می باشد. طبق قوانین ریاضی تقسیم بر صفر تعریف نشده می باشد و در نتیجه مخرج کسر شما نمی تواند صفر باشد، \((-\infty,0) \cup (0, \infty)\).
برد این تابع نیز شامل تمامی اعداد حقیقی غیرصفر می باشد، از آنجا که صورت کسر \(\frac{1}{x}\) عدد \(1\) می باشد، خروجی این تابع هرگز برابر با صفر نخواهد بود، \((-\infty,0) \cup (0,\infty)\).

دامنۀ تابع \(y=\sqrt{x}\) شامل تمامی اعداد حقیقی بزرگتر یا مساوی با صفر می باشد، همانطور که می دانیم جذر اعداد منفی در ریاضی تعریف نشده است، پس خواهیم داشت \(x \ge 0\) و دامنۀ این تابع \([0, \infty)\) می باشد.
برد این تابع نیز \([0, \infty)\) می باشد، زیرا هر عدد غیرمنفی، جذر عدد دیگری می باشد، به عبارت دیگر جذرِ مربع خودش می باشد.

در تابع \(y=\sqrt{4-x}\)، مقدار زیر رادیکال نمی تواند عددی منفی باشد. از همین موضوع برای یافتن مقادیر مجاز \(x\)، یعنی همان دامنه تابع، استفاده می کنیم:
$$
4 - x \ge 0 \\
-x \ge -4\\
x \le 4
$$
در نتیجه دامنۀ این تابع \((-\infty, 4]\) می باشد.
فرمول \(y=\sqrt{4-x}\) به ازاء تمامی مقادیر \(x \le 4\) مقادیر حقیقی تولید می کند. در نتیجه برد این تابع \([0, \infty)\) می باشد.

برای یافتن دامنۀ تابع \(y = \sqrt{1 - x^2}\) به شکل زیر عمل می کنیم:
$$
1-x^2 \ge 0\\
-x^2 \ge -1\\
x^2 \le 1
$$
اگر نامساوی \(x^2 \le 1\) را حل کنیم به پاسخ \([-1, 1]\) می رسیم که دامنۀ این تابع می باشد.
با توجه به محدودیت ورودی های این تابع، خروجی های آن نیز به مقادیر بین \(0\) تا \(1\) محدود می شوند، برد این تابع \([0,1]\) می باشد.