توابع توانی (Power Functions)

توابعی که در شکل \(f(x)=x^a\) می باشند را توابع توانی می نامند. در این توابع \(a\) یک مقدار ثابت می باشد. چندین نوع تابع توانی مهم داریم.

\(a=n\)، \(a\) یک عدد صحیح مثبت است.

نمودار توابع \(f(x)=x^n\) برای مقادیر \(n=1,2,3,4,5\) در شکل \(\text{1.15}\) نشان داده شده اند. این توابع به ازاء تمامی مقادیر حقیقی \(x\) تعریف شده می باشند. توجه داشته باشید که هر چقدر که توان \(n\) بزرگتر می شود، منحنی در بازۀ \((-1,1)\) در محور \(x\) مسطح تر می گردد و به ازاء مقادیر \(|x| \gt 1\) با شیب تندتری بالا می رود. تمامی این منحنی ها از نقطۀ \((1,1)\) و همچنین از مبدأ مختصات عبور می کنند. نمودار توابعی که توان آنها زوج باشد، حول محور \(y\) دارای تقارن می باشند؛ و توابعی که توان آنها فرد می باشند، حول مبدأ مختصات تقارن دارند. توابع دارای توان زوج، در بازۀ \((-\infty,0]\) نزولی و در بازۀ \([0,\infty)\) صعودی می باشند؛ توابع دارای توان فرد در بازۀ \((-\infty,\infty)\) صعودی می باشند.

ترجمۀ شکل:
شکل \(\text{1.15}\): نمودارهای توابع \(f(x) = x^n, n=1,2,3,4,5\)، به ازاء مقادیر \(-\infty \lt x \lt \infty\) تعریف شده می باشند.
\(a=-1\) یا \(a = -2\)

نمودار توابع \(f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}\) و \(g(x)=x^{-2}=\frac{1}{x^2}\) در شکل \(\text{1.16}\) نشان داده شده اند. هر دوی این توابع به ازاء تمامی مقادیر \(x \ne 0\) تعریف شده اند (شما نمی توانید عددی را بر صفر تقسیم کنید). نمودار تابع \(y=\frac{1}{x}\) یک هُذلولی (hyperbola) می باشد که به شکل \(xy=1\) تعریف می شود، که از نقاطی دور از مبدأ مختصات به محورهای مختصات نزدیک می شود. نمودار تابع \(y=\frac{1}{x^2}\) نیز به محورهای مختصات نزدیک می شود. نمودار تابع \(f\) حول مبدأ مختصات دارای تقارن است؛ \(f\) در بازه های \((-\infty,0)\) و \((0,\infty)\) نزولی می باشد. نمودار تابع \(g\) حول محور \(y\) تقارن دارد؛ \(g\) در بازۀ \((-\infty,0)\) صعودی و در بازۀ \((0,\infty)\) نزولی می باشد.

ترجمۀ شکل:
شکل \(\text{1.16}\): نمودارهای توابع توانی \(f(x) = x^a\) به ازاء مقادیر \(a=-1\) و \(a=-2\) .
\(a=\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{3}{2},\frac{2}{3}\)

توابع \(f(x) = x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}\) و \(g(x)=x^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{x}\) به ترتیب توابع ریشۀ دوم (جذر) و ریشۀ سوم می باشند. دامنۀ تابع ریشۀ دوم عبارت از \([0,\infty)\) می باشد، اما تابع ریشه سوم به ازاء تمامی مقادیر حقیقی \(x\) تعریف شده است. نمودارهای این توابع را همراه با نمودار توابع \(y=x^{\frac{3}{2}}\) و \(y=x^{\frac{2}{3}}\) می توانید در شکل \(\text{1.17}\) ببینید. (یادتان باشد که \(x^{\frac{3}{2}} = (x^{\frac{1}{2}})^3\) و \(x^{\frac{2}{3}}=(x^{\frac{1}{3}})^2\) )

ترجمۀ شکل:
شکل \(\text{1.17}\) نمودارهای توابع توانی \(f(x)=x^a\) به ازاء مقادیر \(a=\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{3}{2},\frac{2}{3}\)