آیا معادلۀ \(\lceil - x \rceil = - \lfloor x \rfloor\) به ازاء تمامی اعداد حقیقی \(x\) برقرار می باشد؟ دلایل پاسختان را ذکر کنید.

پاسخ

بله ظاهراً این معادله به ازاء تمامی اعداد حقیقی \(x\) برقرار می باشد. به مثال های زیر به عنوان دلایل اولیه توجه کنید، البته در ادامه اثبات این مسئله را نیز آورده ایم:
$$
x = 1.1 \\
\lceil -1.1 \rceil = -1 \\
- \lfloor 1.1 \rfloor = -1
$$
$$
x = -3.2 \\
\lceil -(-3.2) \rceil = 4 \\
- \lfloor -3.2 \rfloor = 4
$$
حالا به دنبال اثبات محکم تر این مسئله می رویم. فرض کنید \(n\) عددی صحیح باشد، آن گاه رابطۀ زیر را خواهیم داشت:
$$
n \le x \le n+1
$$
هم اکنون یک نامساوی داریم، اگر هر سه قسمت این نامساوی را در \(-1\) ضرب کنیم، به نامساوی زیر می رسیم:
$$
-n \ge -x \ge -(n+1) \\
-(n+1) \le -x \le -n
$$
بنا به تعریف داریم:
$$
\lceil -x \rceil = -n \\
\lfloor x \rfloor = n \Rightarrow - \lfloor x \rfloor = -n
$$
در نتیجه به ازاء تمامی اعداد حقیقی رابطۀ زیر برقرار خواهد بود:
$$
\lceil -x \rceil = - \lfloor x \rfloor
$$

روش دیگری برای نگاه کردن به این اثبات

اگر \(x\) یک عدد صحیح باشد، آن گاه خواهیم داشت:
$$
\lceil -x \rceil = -x = - \lfloor x \rfloor
$$
اگر \(x\) عددی صحیح نباشد، فرض بگیرید \(M\) و \(N\) اعداد صحیح خواه مثبت و خواه منفی باشند و \(M \lt x \lt N\) باشد، بنابراین خواهیم داشت:
$$
M \lt x \lt N \\
-N \lt -x \lt -M \\
\Rightarrow \lceil -x \rceil = - M \text{ and } -\lfloor x \rfloor = -M
$$