نویسنده : امیر انصاری

1. مختصات \(y\) نقطۀ \(P\) را به لحاظ \(x\) بیان کنید. (ممکن است با نوشتن معادلۀ خط AB کار را آغاز کنید.)
   
2. مساحت این مستطیل را به لحاظ \(x\) بیان کنید.
   

پاسخ

1. همانطور که خود مسئله راهنمایی کرده است برای یافتن مختصات \(y\) باید معادلۀ خط AB را بیابیم. در واقع مختصات \(y\) هر نقطه ای بر روی این خط، در معادلۀ این خط مشخص می گردد. شکل کلی معادلۀ خط \(y=mx + b\) است که در آن \(m\) شیب خط می باشد. برای بدست آوردن \(m\) دست کم نیاز به دانستن مختصات دو نقطه بر روی خط داریم. فعلاً مختصات یک نقطه یعنی \((1,0)\) را داریم، البته مختصات \(x\) از نقطۀ \(B\) را نیز داریم. سعی می کنیم که مختصات نقطۀ \(B\) را بدست آوریم.
   $$
   (AB)^2 + (AB)^2 = 2^2\\
   2(AB)^2 = 4\\
   (AB)^2 = \frac{4}{2} = 2\\
   AB = \pm \sqrt{2}
   $$
   هم اکنون طول \(AB\) را داریم. مثلثی که سه رأس آن عبارت از مبدأ مختصات \((O)\)، نقطۀ \(A\) و نقطۀ \(B\) می باشند را در نظر بگیرید. ضلع \(OB\) از این مثلث در واقع ارتفاع مثلث اصلی ما نیز می باشد، اگر ارتفاع مثلث اصلی را \(h\) در نظر بگیریم، خواهیم داشت \(OB = h\). سعی می کنیم آن را بدست آوریم. با بدست آوردن \(h\) به شکل زیر عمل می کنیم:
   $$
   (OB)^2 + (OA)^2 = (AB)^2\\
   h^2 + 1^2 = (AB)^2\\
   h^2 + 1 = (\sqrt{2})^2\\
   h^2 + 1 = 2\\
   h^2 = 1\\
   h = \pm \sqrt{1}\\
   h = \pm 1
   $$
   هم اکنون مختصات نقطۀ \(B\) برای ما مشخص شده است: \(B(0,1)\). به سراغ شیب خط \(AB\) و در ادامه یافتن معادلۀ خط \(AB\) می رویم:
   $$
   y = mx+b\\
   m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0-1}{1-0} = \frac{-1}{1} = -1\\
   y=mx+b\\
   0 = (-1)(1) + b\\
   0 = -1 + b\\
   1 = b\\
   y = mx+b\\
   y = -x+1
   $$
   مختصات نقطۀ \(P\) به لحاظ \(x\):
   $$
   P(x,-x+1)
   $$
   
2. طول این مستطیل \(2x\) و عرض آن \(-x+1\) می باشد. مساحت آن را محاسبه می کنیم:
   $$
   A = 2x (-x+1) = -2x^2 + 2x
   $$