خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


ایجاد یک مثلث قائم الزاویه با اندازۀ دو ضلع معلوم

ایجاد یک مثلث قائم الزاویه با اندازۀ دو ضلع معلوم
نویسنده : امیر انصاری
در این آموزش دو مسأله در مورد حل کردن مثلث مطرح می کنیم و سعی می کنیم که با یکدیگر آنها را حل کنیم.



سوال اول: مثلثی داریم که یکی از اضلاعش 213 و ضلع دیگر آن 271 است. آیا این مثلث یک مثلث قائم الزاویه است؟

پاسخ: شما نمی توانید این مسئله را صرفاً با دانستن دو ضلع مثلث حل کنید. برای اینکه بتوانیم یک مثلث را حل کنیم داشتن تنها دو ضلع کفایت نمی کند. به تصاویر زیر نگاه کنید تا متوجه شوید که برای این دو ضلع چندین حالت مختلف ممکن است پیش آید.

حل کردن مثلث با داشتن دو ضلع آن

حل کردن مثلث با داشتن دو ضلع آن

حل کردن مثلث با داشتن دو ضلع آن


سوال دوم: مثلثی داریم که یکی از اضلاعش 213 و ضلع دیگر آن 271 است. چطور اضلاع این مثلث را حساب کنیم که به یک مثلث قائم الزاویه برسیم؟

پاسخ: تصویر زیر یکی از حالت هایی است که این مثلث می تواند قائم الزاویه باشد.

حل کردن مثلث با داشتن دو ضلع آن

در اینجا فرض گرفته ایم که زاویه بین دو ضلع معلوم ما \(90^{\circ}\) باشد. یعنی عملاً یک مثلث قائم الزاویه ساخته ایم و حالا می رویم تا اندازۀ سایر اضلاع و زوایا را بدانیم. حالت فعلی مثلث ما \(SAS\) (ضلع-زاویه-ضلع) می باشد. به عبارت دیگر حالت دو ضلع و زاویه بین آنها را داریم. در این حالت برای یافتن ضلع سوم از قانون کسینوس ها استفاده می کنیم. سپس از قانون سینوس ها برای یافتن زاویه دوم استفاده می کنیم. در پایان از قانون مجموع زوایای داخلی مثلث که \(180^{\circ}\) می باشد، برای یافتن زاویه سوم استفاده می کنیم.

قانون کسینوس ها:
$$
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)
$$
حل کردن مثلث با داشتن دو ضلع آن

اگر قانون کسینوس ها را روی مثلث خودمان اعمال کنیم به رابطۀ زیر می رسیم:
$$
C^2 = 213^2 + 271^2 - 2(213)(271) \cos(90^{\circ}) \\
C^2 = 45369 + 73441 - 115446 \times 0\\
C^2 = 118810\\
C = \pm \sqrt{118810}\\
C \approx \pm 344.69
$$

قانون سینوس ها: $$
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
$$
حل کردن مثلث با داشتن دو ضلع آن

از قانون سینوس ها برای یافتن یکی دیگر از زوایای مجهول استفاده می کنیم.
$$
\frac{344.69}{\sin(90^{\circ})} = \frac{271}{\sin(A)}\\
\sin(A) \approx 0.786\\
A = \sin^{-1}(0.786) \\
A \approx 51.83^{\circ}
$$

قانون مجموع زوایای داخلی مثلث: از روی قانون مجموع زوایای داخلی مثلث، اندازۀ زاویۀ مجهول سوم را هم بدست می آوریم:
$$
C = 180 - 90 - 51.83\\
C = 38.17^{\circ}
$$

پاسخ نهایی: تصویر زیر پاسخ نهایی این مسأله را به ما نشان می دهد. هم اکنون یک مثلث قائم الزاویه با اندازۀ دو ضلع \(271\) و \(213\) داریم.

حل کردن مثلث با داشتن دو ضلع آن

نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.


دسته بندی مطالب خوش آموز