برخی از مسأله های داستانی هندسه تصویری را به شما ارائه می دهند. در موارد دیگری شما مجبور هستید که خودتان تصویری را بکشید. طراحی شکلها همیشه ایده خوبی است، چرا که معمولاً در پیشبرد کار به شما کمک می کند. در ادامه با هر دو نوع این مسأله ها روبرو می شوید. (برای حل کردن این نوع مسأله ها به برخی از فرمولهایی که در فصل 16 آموختید نیاز پیدا خواهید کرد.)

کار کردن با کلمات و تصاویر

گاهی اوقات برای حل کردن یک مسأله داستانی، مجبور می شوید که تصویری را تفسیر کنید. مسأله را با دقت بخوانید، شکلهای موجود در طرح را شناسایی کنید، به برچسب ها دقت کنید، و از فرمولهای مورد نیاز برای حل مسأله استفاده کنید. در این مسأله شما تصویری در اختیار دارید.

آقای دنیس (Dennis) یک کشاورز است که دو پسر نوجوان دارد. او به آنها یک زمین مستطیل شکل داد که یک نهر آب به صورت مورب در آن جریان دارد (شکل 1-18 را ببینید). پسر بزرگتر ناحیۀ بزرگتر را برداشت و پسر کوچکتر هم قسمت کوچکتر را برداشت. مساحت زمین هر کدام از پسرها در مقیاس فوت مربع چقدر می باشد؟

برای پیدا کردن مساحت قطعه کوچک مثلثی شکل، از فرمول مساحت مثلث استفاده کنید، که در آن A به معنای مساحت، b به معنای ضلع پایه، و h به معنای ارتفاع می باشد.


کل قطعه زمین یک مستطیل می باشد، بنابراین می دانید گوشه ای از مثلث که با مستطیل اشتراک دارد، قائم الزاویه می باشد. بنابراین، می دانید که ضلع های مثلث با اندازۀ 200 فوت و 250 فوت، به ترتیب ضلع پایه و ارتفاع مثلث می باشند. با قرار دادن این مقادیر در فرمول، مساحت مثلث را پیدا کنید.


برای اینکه این محاسبه کمی ساده تر شود، توجه کنید که می توانید فاکتوری از 2 را در صورت و مخرج کسر خط بزنید:


شکل ناحیۀ باقی مانده یک ذوزنقه (trapezoid) می باشد. شما می توانید مساحت آن را با فرمول مساحت ذوزنقه پیدا کنید، اما در اینجا راه ساده تری هم هست. از آنجا که شما مساحت قطعه مثلثی شکل را می دانید، می توانید از معادله کلمۀ (word equation) زیر برای پیدا کردن مساحت ذوزنقه استفاده کنید:



برای پیدا کردن مساحت کل قطعه، فرمول مساحت مستطیل را به خاطر بیاورید. طول و عرض مستطیل را در فرمول قرار دهید:


حالا فقط کافیست اعدادی را که می دانید در معادله کلمه ای که ساختید، جایگزین کنید:


بنابراین، مساحت زمین پسر بزرگتر 62,500 فوت مربع، و مساحت زمین پسر کوچکتر 25,000 فوت مربع می باشد.

استفاده از مهارتهای طراحی تان

تا زمانیکه برخی تصاویر را نکشید، ممکن است مسائل داستانی هندسه معنای چندانی ندهند. در اینجا مثالی از یک مسأله داستانی هندسه داریم که تصویری برای آن ارائه نشده است:

در پارک اِلموود (Elmwood Park)، میلۀ پرچم (flagpole) مستقیماً در جنوب محل بازی کودکان (swing set) است، و دقیقاً در 20 متری غرب خانۀ درختی (treehouse) می باشد. اگر مساحت مثلثی که توسط میله پرچم، محل بازی، و خانه درختی 150 متر مربع باشد، فاصله بین محل بازی و خانه درختی، چقدر می باشد؟

این مسأله تا زمانی که برای آن تصویری نکشید، گیج کننده است. با اولین جمله شروع کنید، که در شکل 2-18 تشریح شده است. شما نیازی ندارید تا برای خانه درختی نردبانی را بکشید، یا برای محل بازی کودکان چند تا بچه را که سر تاب با هم مشغول دعوا هستند بکشید، یا یک میله پرچم که در باد موج می خورد و تعداد ستاره های روی آن دقیق است، ترسیم کنید - همین که یک برچسب برای تفکیک بین آنها باشد، کفایت می کند. همانطور که می بینید، من یک مثلث قائم الزاویه (right triangle) کشیده ام که گوشه های آن محل بازی کودکان (S)، میله پرچم (F)، و خانه درختی (T) می باشند. همچنین در تصویر با برچسبی مشخص کرده ام که فاصلۀ بین میله پرچم و خانه درختی 20 متر می باشد.


جملۀ بعدی مساحت مثلث را به شما می گوید:


حالا شما یکسری اطلاعات دارید، در اینجا نیاز دارید که آنچیزهایی که در آموزش هندسه یاد گرفتید، بخاطر بیاورید. از آنجا که شما مساحت مثلث را دارید، ممکن است فرمول مساحت مثلث برایتان مفید باشد:


در اینجا b ضلع پایه و h ارتفاع می باشد. در این مورد، شما یک مثلث قائم الزاویه دارید، بنابراین ضلع پایه فاصله بین F و T می باشد و ارتفاع فاصله بین S و F می باشد. شما هم اکنون مساحت مثلث و همچنین اندازه ضلع پایه را می دانید. پس این مقادیر را در معادله پر کنید:


حالا می توانید این معادله را برای یافتن h حل کنید. با ساده کردن مسأله کار را آغاز کنید:


شما می توانید با عملیات معکوس (inverse operations) که در فصل 4 یاد گرفتید، این مسأله را به یک مسأله تقسیم تبدیل کنید:


حالا که می دانید ارتفاع مثلث 15 متر است، پس می توانید این داده ها را به تصویرتان اضافه کنید (شکل 3-18 را ببینید).


با این حال هنوز برای حل مسأله نیاز دارید تا مسافت بین S تا T را پیدا کنید. از آنجا که این یک مثلث قائم الزاویه می باشد، می توانید از قضیه فیثاغورث (Pythagorean theorem) برای پیدا کردن این مسافت (وتر) استفاده کنید:


به یاد بیاورید که a و b طول ضلع های کوتاه و c طول بزرگترین ضلع می باشند. به ضلع بلندتر مثلث قائم الزاویه وتر (hypotenuse) گفته می شود. شما می توانید اعداد را جایگزین حروف الفبا در فرمول کنید:


با ارزیابی (evaluating) سمت چپ معادله، مطابق ترتیب عملبات که در فصل 5 یاد گرفتید، شروع به حل مسأله کنید. ابتدا توانها را ارزیابی کنید و سپس به عملیات جمع بپردازید:


در این مرحله یادتان باشد که c² به معنای c . c می باشد:


بنابراین c یک عدد است که اگر در خودش ضرب شود، حاصلضرب 625 می گردد. این عدد از 20 بزرگتر می باشد، چرا که یکی از ضلعهای کوتاه مثلث 20 می باشد، در عین حال از 30 کوچکتر می باشد، چرا که 30 ضربدر 30 می شود 900. کمی آزمون و خطا شما را به نتیجه زیر می رساند:


بنابراین فاصله بین محل بازی کودکان و خانه درختی 25 متر می باشد.