در علم حساب (arithmetic)، چهار عمل اصلی (جمع، تفریق، ضرب، و تقسیم) به شما امکان می دهند تا اعداد را در روشهای مختلفی با یکدیگر ترکیب کنید (برای کسب اطلاعات بیشتر فصل های 3 و 4 را ببینید). نظریه مجموعه ها (Set theory) نیز دارای چهار عملیات مهم می باشد: اجتماع (union)، اشتراک (intersection)، متمم نسبی (relative complement)، و متمم (complement). همچنانکه در مطالعه ریاضی پیش می روید، عملیات های بیشتری از این دست را مشاهده خواهید کرد.





در اینجا تعریف سه مجموعه از اعداد را می بینید:


در این بخش، من از این سه مجموعه و چند تای دیگر استفاده می کنم تا چگونگی کارکرد چهار عملیات مجموعه ها را به شما نشان بدهم. (توجه: در معادلات، من این عناصر را دوباره لیست می کنم، نام مجموعه ها را با مقادیر معادل آنها در آکولادها جایگزین می کنم. بنابراین، لازم ندارید تا برای مشاهده عناصر مجموعه ها در کتاب به جلو و عقب بروید.)

اجتماع (Union): ترکیب عناصر

اجتماع دو مجموعه، مجموعه ای است که از ترکیب عناصر آن دو مجموعه به وجود آمده است. برای مثال: اجتماع {1, 2} و {3, 4} می شود {1, 2, 3, 4}. نماد اجتماع می باشد، پس:


به همین ترتیب، چگونگی پیدا کردن اجتماع مجموعه های P و Q را در اینجا می بینید:


هنگامی که دو مجموعه یک یا چند عنصر مشترک داشته باشند، این عناصر فقط یکبار در مجموعه اجتماع آنها ظاهر می شود. برای مثال، اجتماع Q و R را در نظر بگیرید. در این مورد، عناصر 4 و 6 در هر دو مجموعه وجود دارند، اما هر کدام از این اعداد فقط یکبار در اجتماع آنها ظاهر می شوند:


اجتماع هر مجموعه ای با خودش، خود همان مجموعه می شود:


به طرز مشابهی، اجتماع هر مجموعه ای با مجموعه تهی خود همان مجموعه می شود:

اشتراک (Intersection): عناصر مشترک

اشتراک (intersection) دو مجموعه یک مجموعه از اعضای مشترک آنها (عناصری که در هر دو مجموعه وجود دارند) می باشد. برای مثال، اشتراک {1, 2, 3} و {2, 3, 4} برابر با {2, 3} می باشد. نماد اشتراک می باشد. شما می توانید اشتراک را به شکل زیر بنویسید:


به طرز مشابهی، چگونگی نگارش اشتراک مجموعه های Q و R به شکل زیر می باشد:


اگر دو مجموعه عضو مشترکی نداشته باشند، اشتراک آنها مجموعه تهی می باشد:


اشتراک هر مجموعه ای با خودش، خود همان مجموعه می شود:


اما اشتراک هر مجموعه ای با مجموعه تهی، مجموعه تهی می شود:

متمم نسبی (Relative complement): نوعی تفریق

متمم نسبی (relative complement) دو مجموعه، عملیاتی شبیه تفریق می باشد. نماد این عملیات، علامت منها (-) می باشد. با اولین مجموعه آغاز کنید، تمامی عناصری را که در مجموعه دوم نمایان هستند را از مجموعه اول حذف کنید، تا به متمم نسبی این دو مجموعه برسید. برای مثال:


به طرز مشابهی، در اینجا چگونگی پیدا کردن متمم نسبی بین مجموعه های R و Q را می بینید. هر دو مجموعه یک 4 و یک 6 را به اشتراک گذارده اند، پس باید این عناصر را از R حذف کنید:


توجه داشته باشید که معکوس این عملیات نتایج متفاوتی را به شما می دهد. این بار، شما 4 و 6 مشترک را از مجموعه Q حذف می کنید:

متمم (Complement): احساس تنها ماندن

متمم (complement) یک مجموعه، همه چیزهایی است که در آن مجموعه نباشد. از آنجا که "همه چیز" (everything) یک مفهوم مشکل می باشد، برای اینکه بتوانید با آن کار کنید ابتدا باید مشخص کنید که منظورتان از "همه چیز" چیست. این کار را با مجموعه مرجع (universal set) انجام می دهند. اسامی دیگر مجموعه مرجع، مجموعه جهانی و مجموعه فراگیر می باشد و به اختصار آن را با U نمایش می دهند. برای مثال فرض کنید که مجموعه مرجع را به شکل زیر معرفی کرده اید:


حالا در اینجا چندتا مجموعه برای کار کردن داریم:


متمم هر مجموعه، مجموعه ای از تمامی عناصر U می باشد که در مجموعه اصلی نباشد:


متمم با متمم نسبی ارتباط نزدیکی دارد. هر دوی این عملیات ها مشابه تفریق هستند. تفاوت اصلی در اینست که، متمم همواره نتیجه تفریق یک مجموعه از U می باشد، اما متمم نسبی تفریق یک مجموعه از هر مجموعه دیگری می باشد.

نماد متمم (') می باشد، بنابراین می توانید آن را به شکل زیر بنویسید: