در فصل 5، عبارات حسابی (arithmetic expressions) را به شما معرفی کردم: رشته ای از اعداد و عملگرها که می توانند ارزیابی گردند یا در یک سمت یک معادله قرار بگیرند. برای مثال:






در این فصل، نوع دیگری از عبارات ریاضی (mathematical expression) را به شما معرفی می کنم: عبارت جبری (algebraic expression). یک عبارت جبری هر رشته ای از نمادهای ریاضی است که می تواند در یک سمت یک معادله قرار بگیرد و حداقل یک متغیر (variable) در آن وجود داشته باشد.

در اینجا چند مثال از عبارات جبری داریم:



در این بخش، به شما نشان می دهم چگونه با عبارات جبری کار کنید. در ابتدا، چگونگی ارزیابی یک عبارت جبری با جایگزین کردن مقادیر متغیرهای آن را به شما شرح می دهم. سپس، چگونگی شکستن یک عبارت جبری به یک یا چند جمله (term)، و چگونگی شناسایی بخش ضریب (coefficient) و بخش متغیر در هر جمله را به شما می گویم.

ارزیابی عبارات جبری

در فصل 5، چگونگی ارزیابی یک عبارت حسابی را به شما گفتم. به طور خلاصه، ارزیابی به معنای پیدا کردن مقدار آن عبارت در شکل یک عدد واحد می باشد.

دانستن چگونگی ارزیابی عبارات حسابی برای ارزیابی عبارت جبری مفید است. برای مثال، فرض کنید می خواهید عبارت زیر را ارزیابی کنید:


توجه کنید که این عبارت شامل متغیر x می باشد که نامعلوم است، بنابراین مقدار کل عبارت نیز نامعلوم خواهد بود.

یک عبارت جبری می تواند به هر تعداد متغیر داشته باشد، اما معمولاً با عباراتی که بیش از سه متغیر داشته باشند، سر و کار نخواهید داشت. شما می توانید هر حرف الفبایی را به عنوان یک متغیر مورد استفاده قرار دهید، اما حروف x، y، و z در این زمینه پرکاربردترین ها هستند.

در مورد قبلی فرض کنید که x برابر 2 باشد. برای ارزیابی عبارت، در هر جای عبارت که x وجود داشته باشد، آن را با 2 جایگزین کنید:


بعد از اینکه جایگزینی را انجام دادید، عبارت جبری شما تبدیل به یک عبارت حسابی می شود، بنابراین می توانید برای ارزیابی عبارت محاسبات خود را تکمیل کنید:


بنابراین، در صورتیکه باشد، خواهیم داشت:


حالا فرض کنید می خواهید عبارت زیر را در حالتی که x برابر 4 باشد، ارزیابی کنید:


این بار، اولین مرحله اینست که در هر جایی از عبارت که متغیر x را می بینید، آن را با 4 جایگزین کنید:


حالا بر اساس ترتیب عملیات (order of operations) که در فصل 5 توضیح دادیم، عبارت را ارزیابی کنید. طبق ترتیب عملیات ابتدا باید توان ها را محاسبه کنید:


حالا با ضرب ها ادامه دهید و به ترتیب از چپ به راست آنها را ارزیابی کنید:


سپس تفریقها را (دوباره از چپ به راست) ارزیابی کنید:


بنابراین اگر 4 = x باشد، خواهیم داشت:


هنگامی که از جایگزینی استفاده می کنید، محدود به عبارتهایی که فقط یک متغیر دارند، نیستید. تا زمانی که مقدار تمامی متغیرهای بکار رفته در عبارت را بدانید، می توانید عبارتهای جبری دارای هر تعداد متغیر را ارزیابی نمایید. برای مثال، فرض کنید می خواهید این عبارت را ارزیابی نمایید:


برای ارزیابی این عبارت، مقادیر هر سه متغیر آن را نیاز دارید:


اولین مرحله اینست که مقدار معادل هر کدام از این سه متغیر را در کل عبارت جایگزین متغیرها نمایید:


حالا با استفاده از قوانین ترتیب اولویتها ایتدا توان ها را ارزیابی نمایید:


حالا ضرب ها را از سمت چپ به راست ارزیابی کنید:


حالا فقط جمع ها و تفریق ها باقی مانده اند. آنها را از سمت چپ به راست، ارزیابی کنید. اگر در مورد چگونگی جمع و تفریق اعداد منفی ابهامی دارید، فصل 4 را ببینید:


بنابراین با توجه به مقادیر تعیین شده برای متغیرهای x، y، و z خواهیم داشت:

جملات جبری (algebraic terms)

در اینجا چند مثال داریم:



مهم نیست یک عبارت جبری چقدر پیچیده باشد، شما همیشه می توانید آن را به یک یا تعداد ییشتری جمله بشکنید.


هنگامیکه یک جمله شامل متغیری باشد، یک جمله جبری (algebraic term) نامیده می شود. هنگامی که متغیری نداشته باشد، ثابت (constant) نامیده می شود. برای مثال، عبارت زیر را ببینید:


سه جمله اول، جملات جبری هستند، و آخرین جمله یک ثابت می باشد. همانطور که می بینید، در جبر، ثابت (constant)، صرفاً یک نام فانتزی برای اعداد می باشد.

جملات (Terms) واقعاً مفید هستند، چرا که می توانید قوانینی را برای انتقال آنها، ترکیب آنها، و انجام چهار عمل اصلی بر روی آنها، بکار ببرید. تمامی این مهارتها برای حل کردن معادلات، که در فصل بعد به آن می پردازم، مهم می باشند. اما در حال حاضر، این بخش اندکی در مورد جملات و برخی از ویژگی های آنها توضیح می دهد.

تغییر چینش جمله ها

بعد از اینکه چگونگی جدا کردن یک عبارت جبری به جملات را دانستید، می توانید یک گام جلوتر بروید و جملات را در هر ترتیبی که می خواهید، بازچینش کنید. هر جمله به عنوان یک واحد، تغییر مکان می دهد.

برای مثال عبارت زیر را در نظر بگیرید:

–5x + 2

شما می توانید دو جملۀ موجود در این عبارت را، بدون اینکه مقدار آن تغییر کند، بازچینش کنید. توجه داشته باشید که علامت هر جمله با همان جمله باقی خواهد ماند، اگرچه رسم است که علامت مثبت ابتدای عبارت را از قلم می اندازند:


بازچینش جملات با این روش، بر روی مقدار عبارت تاثیری نمی گذارد، چرا که جمع یک عملیات جابجایی پذیر (commutative) می باشد - یعنی، شما می توانید چینش چیزهایی را که با هم جمع می زنید تغییر بدهید و نتیجه تغییری نکند. (برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد ویژگی جابجایی پذیری، فصل 4 را ببینید.)

برای مثال، فرض کنید x برابر 3 باشد.

x = 3

در این حالت، عبارت اصلی و مقادیر بازچینش شدۀ آن به شکل زیر، ارزیابی می شوند:


بازچینش عبارتها با این روش، در ادامۀ این فصل، هنگامی که عبارتهای جبری را ساده می کنید، مفید خواهد بود. به عنوان مثالی دیگر، فرض کنید این عبارت را دارید:


شما می توانید این عبارت را در روش های مختلفی بازچینش کنید:


از آنجا که جمله 4x علامتی ندارد، مثبت می باشد، پس اگر لازم باشد در هنگام بازچینش می توانید در ابتدای آن یک علامت بعلاوه قرار دهید.


برای مثال، فرض کنید:

x = 2

y = 3

در اینجا چگونگی ارزیابی عبارت اصلی و دو عبارت بازچینش شده را می بینید:

شناسایی ضریب (coefficient) و متغیر (variable)

هر جمله در یک عبارت جبری یک ضریب دارد. ضریب (coefficient) بخش علامت دار عددی یک جمله در یک عبارت جبری می باشد - یعنی، عدد و علامت (+ یا -) که به آن جمله متصل شده است. برای مثال، عبارت جبری زیر را در نظر بگیرید:


جدول زیر چهار جمله موجود در این عبارت را همراه با ضریب و متغیر هر جمله نشان می دهد:


توجه کنید که علامت (sign) مرتبط شده با جمله، بخشی از ضریب می باشد.


ضمناً، اگر ضریب هر جمله جبری برابر با 0 باشد، آن جمله برابر با 0 خواهد بود و در این حالت مهم نیست بخش متغیری آن چه باشد:


در مقابل، بخش متغیری یک جمله، هر چیزی به غیر از ضریب می باشد.

شناسایی جملات مشابه (similar terms)

به هر دو جمله جبری که بخش متغیری یکسانی داشته باشند، جملات مشابه گفته می شود، بعنی هم حروف آنها و هم توان آنها دقیقاً با یکدیگر مطابقت داشته باشند. در اینجا چندین مثال داریم:



همانطور که می بینید، در هر مثال، بخش متغیر در هر سه جمله مشابه، یکسان است. تنها ضریب تغییر می کند، و ضریب نیز می تواند هر عدد حقیقی (real number) باشد: مثبت یا منفی، عدد صحیح، کسر، عدد اعشاری، و یا حتی یک عدد گنگ (irrational number) مانند عدد پی π. (برای اطلاعات بیشتر در مورد اعداد حقیقی، فصل 25 را ببینید.)

جملات جبری و چهار عمل اصلی

در این بخش، چگونگی به کار بردن چهار عمل اصلی بر روی عبارات جبری را به شما می گویم. در حال حاضر، این آموزشها را مانند ابزارهایی جمع آوری کنید تا در فصل 22 که به حل کردن معادلات جبری می پردازیم، از این آموزشها به صورت عملی استفاده خواهیم کرد.

جمع جملات جبری (Adding terms)

برای مثال، عبارت زیر را در نظر بگیرید:

2x + 3x

یادتان باشد که 2x فقط یک خلاصه نویسی برای x + x می باشد، و 3x نیز به سادگی یعنی x + x + x . پس هنگامی که آنها را با هم جمع می کنید، شما در واقع کار زیر را انجام می دهید:


همانطور که می بینید، هنگامی که بخش متغیری دو جمله جبری با هم برابر باشند، شما با جمع کردن ضرایب آنها می توانید آن جملات را لا هم جمع بزنید:

 2x + 3x = (2 + 3)x

ایده کلی در اینجا تقریباً شبیه اینست که بخواهیم 2 سیب (apples) را با 3 سیب جمع بزنیم:

2 apples + 3 apples = 5 apples

در اینجا چندین مورد داریم که متغیرها یا توان متغیرها، متفاوت می باشند:


در این موارد، شما نمی توانید عملیات جمع را انجام بدهید. شما با وضعیتی مشابه این وضعیت مواجه شده اید که بخواهید سیب ها را با پرتقال ها جمع بزنید:

2 apples + 3 oranges

از آنجا که واحدها (apples و oranges) متفاوت هستند، شما نمی توانید این مساله را حل کنید. (برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد چگونگی کار با واحدها، فصل 4 را ببینید.)

تفریق جملات جبری (Subtracting terms)

برای مثال، فرض کنید که عبارت زیر را دارید:

3x – x

بیاد بیاورید که 3x به سادگی برابر است با x + x + x . بنابراین در این تفریق خواهیم داشت:


حالا سورپرایز بزرگ اینجا اینست که، می توانستید به سادگی فقط ضریب ها را از هم تفریق کنید:

 3x – x =  (3 – 1)x

این ایده تقریباً شبیه اینست که بگوییم:

$3 – $1 = $2

در اینجا مثال دیگری داریم:


دوباره، مادامیکه بدانید چگونه باید با اعداد منفی کار کنید، هیچ مشکلی در میان نخواهد بود (اگر یادتان رفته است، فصل 4 را ببینید). فقط اختلاف بین دو ضریب را محاسبه کنید:


در این مورد، بیاد بیاورید که:

$2 – $5 = –$3

برای مثال، شما نمی توانید هیچکدام از موارد زیر را تفریق کنید:


مشابه جمع، شما نمی توانید متغیرهای مختلف را از یکدیگر تفریق کنید. به این مسأله اینطور فکر کنید که می خواهید 7 دلار (dollars) را منهای 4 پزو (pesos) کنید. از آنجا که در این مورد واحدها متفاوت می باشند (dollars و pesos)، امکان تفریق وجود ندارد. (برای مشاهده اطلاعات بیشتر در مورد چگونگی کار با واحدها، فصل 4 را ببینید.)

ضرب جملات جبری (Multiplying terms)

برای مثال، فرض کنید می خواهید ضرب زیر را انجام بدهید:

 5x(3y)

برای بدست آوردن ضریب 5 را در 3 ضرب کنید. برای بدست آوردن بخش جبری، متغیرهای x و y را با یکدیگر ترکیب کنید:


حالا فرض کنید می خواهید ضرب زیر را انجام بدهید:

2x(7x)

دوباره، ضریب ها را در یکدیگر ضرب کنید و متغیرها را در یک جمله کنار هم گردآوری کنید:


به خاطر بیاورید که x² یک خلاصه نویسی برای xx می باشد، بنابراین می توانید این پاسخ را به طرز کارآمدتری بنویسید:


در اینجا مثال دیگری داریم. هر سه ضریب را در یکدیگر ضرب کنید و متغیرها را در کنار هم گردآوری کنید:


همانطور که می بینید، توان 3 که به متغیر x مرتبط شده است، در واقع تعداد x های موجود در مسأله می باشد. این جریان در مورد توان 2 که به y نسبت داده شده است نیز صادق است.


برای مثال:


در این مثال، من توان x ها را با یکدیگر جمع نموده ام، تا به توان x در پاسخ مسأله برسم:

(4 + 2 + 6 = 12)

به طرز مشابهی، توانهای y ها را نیز با هم جمع کرده ام تا به توان y در پاسخ مسأله برسم. فراموش نکنید که اگر متغیری توان نداشته باشد، به صورت پیش فرض توان آن 1 می باشد:

(3 + 5 + 1 = 9)

تقسیم عبارات جبری (Dividing terms)

در عبارات جبری رایج است که به جای استفاده از علامت تقسیم (÷)، تقسیم ها را به صورت کسر نشان می دهند. بنابراین، تقسیم جملات جبری، براستی شبیه ساده کردن کسرها می باشد. (برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد ساده کردن کسرها، فصل 9 را ببینید.)

برای تقسیم یک جمله جبری بر جمله ای دیگر، این مراحل را دنبال کنید:

1. یک کسر از دو جمله بسازید.
   
   فرض کنید می خواهید تقسیم زیر را انجام بدهید:
   

   3xy ÷ 12x2
   

   با تبدیل این مسأله به یک کسر، کار را آغاز کنید:
   
   
   
2. فاکتورهای مشترک در صورت و مخرج کسر را خط بزنید.
   
   در این مورد، شما یک 3 را می توانید خط بزنید. توجه داشته باشید که اگر ضریب جمله جبری 1 گردد، می توانید آن 1 را از قلم بیندازید:
   
   
   
3. متغیرهای مشترک در صورت و مخرج کسر را خط بزنید.
   
   شما می توانید x² را به xx بشکنید.
   
   
   حالا شما می توانید به وضوح یک x را از صورت و مخرج کسر خط بزنید:
   
   
   همانطور که می بینید، کسر نتیجه، در واقع ساده شدۀ کسر اصلی می باشد.
   

به عنوان مثالی دیگر، تقسیم زیر را در نظر بگیرید:

 -6x2yz3 ÷ -8x2y2z

با نوشتن این تقسیم به صورت کسر، کار را آغاز می کنیم:


ابتدا ضریب ها را ساده کنید. توجه داشته باشید از آنجایی که هر دو ضریب منفی هستند، شما می توانید هر دو علامت منفی را در صورت و مخرج کسر خط بزنید:


حالا می توانید شروع به خط زدن متغیرها کنید. من این کار را در دو مرحله به شکل زیر انجام داده ام:


در این مرحله، فقط هر تکرار از متغیری را که هم در صورت و هم در مخرج کسر ظاهر شده باشد را خط بزنید: