یک معادله جبری (algebraic equation) یک معادله است که دست کم یک متغیر در آن باشد - یعنی یک حرف الفبا (مثل x) که به جای یک عدد قرار می گیرد. حل کردن یک معادله جبری یعنی پیدا کردن اینکه x جایگزین چه عددی شده است.





در این بخش، اصول اولیه این را به شما نشان می دهم که چطور در وهلۀ اول، یک متغیر مانند x راه خودش را به داخل یک معادله باز می کند. سپس چند روش سریع برای یافتن x در مواقعی که معادله زیاد سخت نباشد، نشان می دهم.

استفاده از x در معادلات

همانطور که در فصل 5 دانستید، یک معادله یک بیانیه ریاضی است که شامل یک علامت برابری (equal sign) می باشد. برای مثال، در اینجا یک معادله کاملاً خوب داریم:


در واقع، یک متغیر (همچون x) چیزی به جز یک نگهدارندۀ جا (placeholder) برای یک عدد نمی باشد. شما احتمالاً از معادلاتی استفاده کرده اید که نگهدارنده جای متفاوتی داشته اند: ممکن است تعمداً به جای یک عدد، یک جای خالی قرار داده باشند، یا یک زیرخط و یا حتی یک علامت سوال به عنوان نگهدارنده جا داشته باشند، و شما قرار است که آن محل را پر کنید. معمولاً این عدد بعد از یک علامت برابری می آید. برای مثال:


به محض اینکه شما با عملیات های جمع، تفریق، یا هرچه که باشد، احساس راحتی کردید، می توانید کمی معادلات را جابجا کنید:


وقتی که استفاده از زیرخط ها و علامت سوالها را متوقف می کنید و به جایش از متغیرهایی همچون x برای بخشی از سوال که می خواهید آن را بیابید، استفاده می کنید، بینگو! شما یک مسأله جبری دارید:

چهار روش برای حل کردن معادلات جبری

شما نیازی ندارید تا برای کشتن یک حشره حتماً از یک شرکت مبارزه با حشرات کمک بخواهید. به طرز مشابهی، جبر یک چیز قدرتمند است، و همیشه برای حل کردن یک معادله جبری، نیاز به آن ندارید.

به طور کلی، شما برای حل معادلات جبری چهار روش دارید:

• به آن خیره شوید (به این روش بازرسی نیز می گویند، یا اینکه فقط به مسأله نگاه کنید تا پاسخ را بدست بیاورید)
  
• هرجا که لازم باشد با عملیات معکوس، آنها را بازچینش (rearrange) کنید.
  
• حدس بزنید و سپس نتیجه حدس را بررسی کنید.
  
• از جبر استفاده کنید.
  

خیره شدن به مسائل ساده

شما می توانید مسائل ساده را صرفاً با خیره شدن به آنها حل کنید. برای مثال:


هنگامی که به این مسأله نگاه می کنید، به سادگی در می یابید که x برابر با 1 می باشد. اگر مسأله ای اینقدر آسان باشد و شما صرفاً با نگاه کردن به آن بتوانید حلش کنید، لازم نیست روش خاصی را برای حل آن مورد استفاده قرار دهید.

بازچینش مسائلی که اندکی سخت ترند

هنگامی که صرفاً با نگاه کردن به مسأله نمی توانید پاسخ آن را بیابید، گاهی اوقات بازچینش مسأله به شما کمک می کند تا آن را به مسأله ای تبدیل کنید تا با استفاده از چهار عمل اصلی بتوانید حلش کنید. این روشی است که در بیشتر قسمتهای این کتاب از آن استفاده کرده ام، مخصوصاً برای حل کردن معادلات فرمولها، مثل مسائل هندسه و مسائلی که با وزن ها و اندازه گیری سر و کار دارند. برای مثال:


شما ممکن است سریع متوجه پاسخ این مسأله نشوید، اما یادتان باشد، این مسأله به این معنا می باشد که:


شما می توانید این مسأله را با استفاده از عملیات معکوس (inverse operations) که در فصل 4 به شما گفتم، بازچینش کنید:


حالا، با استفاده از تقسیم مسأله را حل کنید، تا بدانید که:

x = 16

حدس بزنید و سپس معادله را بررسی کنید

شما می توانید برخی معادله ها را با حدس زدن پاسخ حل کنید و سپس بررسی کنید که آیا حدستان درست بوده است یا نه. برای مثال، فرض کنید که می خواهید معادله زیر را حل کنید:


برای پیدا کردن اینکه x چه عددی می باشد، کار را با این حدس که 2 = x می باشد، آغاز کنید. حالا، با جایگزین کردن 2 به جای x در معادله، بررسی کنید که آیا حدستان درست بوده است یا خیر:


اگر x برابر با 2 باشد، سمت چپ معادله برابر با 13 می شود، و نه 19. این یک حدس پایین بود، پس حالا یک حدس بالاتر بزنید: 5 = x


این بار حدس شما بالا بود، پس حدس 4 = x را بررسی کنید:


تنها با سه حدس، شما دانستید که x برابر با 4 می باشد.

به کار بردن جبر برای معادلات سخت تر

هنگامی که یک معادله جبری به اندازه کافی سخت شود، شما درخواهید یافت که صرفاً خیره شدن به آن، یا بازچینش مجدد آن برای حل مسأله کافی نمی باشد. برای مثال:


شما احتمالاً صرفاً با نگاه کردن به این مسأله نمی توانید بگویید x برابر با چه عددی می باشد. همچنین نمی توانید صرفاً با بازچینش این مسأله با استفاده از عملیات معکوس، آن را حل کنید. و حدس زدن و بررسی صحت حدس ها در این مسأله خیلی خسته کننده خواهد بود. اینجا جایی است که جبر وارد بازی می شود.

جبر به ویژه بسیار مفید است، چون شما می توانید با دنبال کردن قوانین ریاضی، پاسختان را بیابید. در طول بقیه این فصل، من به شما نشان می دهم که چگونه با استفاده از قوانین جبر، مسائل سختی همچون این مسأله را به مسائلی تبدیل کنید که بتوانید حلشان نمایید.