هر چقدر بیشتر در مورد اعداد بدانید، برایتان غریبه تر می شوند. هنگامی که فقط با اعداد شمارشی (counting numbers) و چند عملیات ساده کار می کنید، به نظر می رسد اعداد چشم انداز خودشان را توسعه می دهند. زمینه این چشم انداز بدون رویداد مهمی آغاز می شود، اما به محض اینکه با سایر مجموعه ها آشنا می شوید، خیلی زود به شگفتی تبدیل می شود، شوکه کننده می شود، و حتی گیج کننده می شود. در این فصل، شما را به یک گردش در ده مجموعه اعداد می برم.





من با اعداد شمارشی که خیلی آشنا و راحت هستند، کار را آغاز می کنم. سپس با اعداد صحیح (اعداد شمارشی مثبت و منفی و 0)، اعداد گویا (اعداد صحیح و کسرها)، و اعداد حقیقی (تمام اعداد موجود بر روی خط اعداد) ادامه می دهم. من همچنین شما را به چند مسیر جانبی در طول این راه می برم. این سیاحت با چیزی عجیب و غیر قابل باور با نام اعداد ترامتناهی پایان می یابد. و به طریقی، اعداد ترامتناهی شما را به جایی که از آن آغاز کرده بودید یعنی اعداد شمارشی باز می گرداند.

هر کدام از این مجموعه اعداد هدف متفاوتی را ارائه می دهد، برخی از این اهداف آشنا هستند (مثل حسابداری و نجاری)، برخی علمی هستند (مثل الکترونیک و فیزیک)، و برخی هم ریاضیات محض هستند. از این سفر لذت ببرید!

مجموعه اعداد شمارشی یا همان اعداد طبیعی

اعداد شمارشی (counting numbers) - همچنین اعداد طبیعی (natural numbers) نیز نامیده می شوند - احتمالاً اولین مجموعه اعدادی باشند که شما با آنها مواجه شده اید. آنها با 1 آغاز می شوند و از آنجا رو به بالا، ادامه پیدا می کنند:



اعداد شمارشی برای ردیابی اشیاء محسوس مفید می باشند: سنگها، جوجه ها، ماشینها، موبایل ها. اساساً هر چیزی را که بتوانید لمس کنید و قصد نداشته باشید آن را به تکه های مختلف ببرید.

مجموعه اعداد شمارشی تحت هر دو عملیات جمع و ضرب بسته می باشد. یعنی، اگر شما هر دو عدد دلخواه شمارشی را با یکدیگر جمع و یا در یکدیگر ضرب کنید، نتیجه بدست آمده نیز یک عدد شمارشی خواهد بود. اما این مجموعه تحت عملیات تفریق یا تقسیم بسته نمی باشد. برای مثال:

2 - 3 = -1

در اینجا می بینید که حاصل تفریق 2 و 3 عدد 1- شده است، که یک عدد منفی می باشد و در مجموعه اعداد شمارشی جایی ندارد. به مثال بعدی توجه کنید:

2 ÷ 3 = 2/3

حاصل این تقسیم 2/3 می باشد که یک کسر است و طبیعتاً کسرها در مجموعه اعداد شمارشی قرار ندارند.

مجموعه اعداد صحیح (Integers)

مجموعه اعداد صحیح (Integers) شامل مجموعه اعداد شمارشی، مجموعه اعداد شمارشی منفی و 0 می باشد:


علامت سه نقطه (...) در ابتدا و انتهای مجموعه به شما می گوید که، اعداد صحیح در هر دو سمت مثبت و منفی، تا بی نهایت ادامه دارند.

از آنجا که اعداد صحیح شامل اعداد منفی می شوند، شما می توانید از آنها برای ردیابی هر چیزی که به طور بالقوه مشمول بدهی می شود، استفاده کنید. در فرهنگ امروز، این معمولاً پول است. برای مثال، اگر در حسابجاری دسته چکتان 100$ داشته باشید و یک چک به مبلغ 120$ بنویسید، متوجه خواهید شد که مانده حساب شما 20$- خواهد شد (هزینه های کارمزد عملیات بانکی را در این مبلغ لحاظ نکرده ایم!).

مجموعه اعداد صحیح تحت عملیات جمع، تفریق، و ضرب بسته می باشد. به عبارت دیگر، اگر دو عدد صحیح را جمع، تفریق، و یا ضرب کنید، نتیجه بدست آمده هم عددی صحیح خواهد بود. اما این مجموعه تحت عملیات تقسیم بسته نمی باشد. برای مثال، اگر 2- را بر 5 تقسیم کنید، به کسر 2/5- می رسید که یک عدد صحیح نمی باشد.

مجموعه اعداد گویا (Rational Numbers)

مجموعه اعداد گویا شامل مجموعه اعداد صحیح و تمامی کسرهای مابین اعداد صحیح می باشد. در اینجا، من فقط اعداد گویای بین 1- و 1 را که مخرج آنها عددی مثبت و کوچکتر از 5 می باشد، لیست کرده ام:


علامتهای سه نقطه (...) به شما می گویند که بین هر جفت عدد گویا، بی نهایت از اعداد گویای دیگر وجود دارد - این مسأله یک ویژگی است که به آن "تراکم نامتناهی اعداد گویا" (infinite density of rational numbers) گفته می شود.

اعداد گویا معمولاً برای اندازه گیری مورد استفاده قرار می گیرند که دقت در آن مهم می باشد. برای مثال، اگر در یک خط کش فقط امکان اندازه گیری طول به نزدیکترین اینچ باشد، قطعاً خط کش زیاد خوبی نخواهد بود. بیشتر خط کش ها طول را تا نزدیکترین عدد به 1/16 اینچ اندازه گیری می کنند، که برای اکثر اهداف اندازه گیری طول، به حد کافی مناسب می باشد. به طرز مشابهی، پیمانه های اندازه گیری، ترازوها، ساعت های دقیق، و دماسنج هایی که به شما امکان می دهند تا اندازه گیری را تا کسری از واحد انجام بدهید نیز از اعداد گویا استفاده می کنند. (برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد واحدهای اندازه گیری فصل 15 را ببینید.)

مجموعه اعداد گویا تحت چهار عملیات اصلی ریاضی بسته می باشد. یعنی، اگر شما هر دو عدد گویایی را با یکدیگر جمع، تفریق، ضرب، یا تقسیم کنید، نتیجه همواره یک عدد گویا می باشد.

مجموعه اعداد گنگ (Irrational Numbers)

به یک معنا، اعداد گنگ یک نوع خیلی فراگیر می باشند، هر عددی در خط اعداد که یک عدد گویا نباشد، یک عدد گنگ است.

با این تعریف، هیچ عدد گنگی نمی تواند به صورت کسری نمایش داده شود، همچنین یک عدد گنگ نمی تواند به شکل یک عدد اعشاری مختوم (terminating decimal) یا به شکل یک عدد اعشاری متناوب (repeating decimal) نمایش داده شود. (برای اطلاعات بیشتر در مورد این انواع اعداد اعشاری، فصل 11 را ببینید).

در عوض، یک عدد گنگ می تواند تقریبی از یک عدد اعشاری نامتناهی (non-terminating)، و غیر تکرار شونده (non-repeating) باشد: یک رشته از اعداد بعد از ممیز اعشاری که بدون ایجاد یک الگو می توانند تا ابد ادامه پیدا کنند.

مشهورترین مثال از اعداد گنگ عدد پی (π) می باشد، که نماینده محیط یک دایره با قطر 1 واحد می باشد. یک عدد گنگ رایج دیگر 2√ می باشد، که نماینده طول قطر یک مربع با اندازه ضلع 1 واحد می باشد. در واقع، تمامی ریشه های توان دوم (square roots) از اعداد غیر مربع (non-square numbers) - مانند 3√، 5√، و به همین ترتیب - اعداد گنگ می باشند.

اعداد گنگ فضاهای موجود در خط اعداد حقیقی (real number line) را پر می کنند. (خط اعداد حقیقی همین خط اعدادی است که شما استفاده می کنید، اما متوالی است، هیچ جای خالی در آن وجود ندارد بنابراین هر نقطه ای بر روی آن با یک عدد جفت شده است.) اعداد گنگ در بسیاری از موارد که در آن نیاز به سطح دقت خیلی بالایی ندارید به شکل اعداد گویا مورد استفاده قرار می گیرند، اما مقدار دقیق آن عدد نمی تواند به صورت یک کسر نمایش داده شود.

اعداد گنگ دو نوع دارند: اعداد جبری (algebraic numbers) و اعداد متعالی (transcendental numbers). در مورد این دو نوع در ادامه همین فصل توضیحاتی را خواهم داد.

مجموعه اعداد جبری (Algebraic Numbers)

برای درک اعداد جبری، نیاز به اندکی دانش در مورد معادلات چند جمله ای (polynomial equations) دارید. یک معادله چند جمله ای، یک معادله جبری است که مطابق شرایط زیر باشد:

• عملیات های آن محدود به جمع، تفریق، و ضرب باشد. به عبارت دیگر، لازم نیست که بر یک متغیر تقسیم کنید.
  
• متغیرهای آن تنها به توان اعداد مثبت که در مجموعه اعداد کامل (whole-number) باشند، رسیده است.
  

شما می توانید در کتاب Algebra For Dummies اطلاعات بیشتری در مورد چندجمله ای ها بدست آورید.


در اینجا چند معادله چند جمله ای می بینید:


هر عدد جبری به عنوان راه حل حداقل یک معادله چند جمله ای، نشان داده می شود. برای مثال، فرض کنید معادله زیر را دارید:


شما می توانید این معادله را به شکل زیر حل کنید:


بنابراین 2√ یک عدد جبری می باشد که مقدار تقریبی آن برابر با ...1.4142135623 است. (برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد جذرها فصل 4 را ببینید).

مجموعه اعداد متعالی (Transcendental Numbers)

یک عدد متعالی (transcendental number)، در مقایسه با یک عدد جبری، هرگز راه حل یک معادله چند جمله ای نمی باشد. مشابه اعداد گنگ، اعداد متعالی نیز یک نوع فراگیر هستند: هر عددی در خط اعداد که عددی جبری نباشد، یک عدد متعالی است.

مشهورترین عدد متعالی π می باشد، که مقدار تقریبی آن برابر با ...3.1415926535 است. استفاده از این عدد در هندسه آغاز شد اما تقریباً به تمامی نواحی ریاضی گسترش یافت. (برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد عدد پی π فصل 16 و 24 را ببینید.)

سایر اعداد متعالی مهم در هنگام مطالعه مثلثاث (trigonometry) برایتان پیش می آیند. سینوس ها (Sines) ، کسینوس ها (cosines)، تانژانتها (tangents) و سایر توابع مثلثاتی معمولاً اعداد متعالی می باشند.

یکی دیگر از اعداد متعالی مهم عدد e می باشد، که مقدار تقریبی آن ...2.7182818285 است. عدد e مبنای لگاریتم طبیعی (natural logarithm) می باشد، که احتمالاً تا زمانی که وارد مبحث حساب دیفرانسیل و انتگرال (calculus) نشوید، از آن استفاده نخواهید کرد. مردم از e برای حل مسائل مربوط به بهره مرکب (compound interest)، رشد جمعیت (population growth)، فروپاشی رادیو اکتیو (radioactive decay)، و مواردی از این دست، استفاده می کنند.

مجموعه اعداد حقیقی (Real Numbers)

مجموعه اعداد حقیقی ترکیب مجموعه اعداد گویا و مجموعه اعداد گنگ می باشد. اعداد حقیقی شامل تمامی نقاط موجود بر روی خط اعداد می باشند.

مشابه مجموعه اعداد گویا، مجموعه اعداد حقیقی نیز تحت چهار عملیات اصلی بسته می باشد. یعنی، اگر دو عدد حقیقی را در یکدیگر ضرب، جمع، تفریق، یا تقسیم کنید، نتیجه همواره یک عدد حقیقی دیگر می باشد.

مجموعه اعداد موهومی (Imaginary Numbers)

یک عدد موهومی (imaginary number) هر عدد حقیقی می باشد که در 1-√ ضرب گردد.

برای درک اینکه چه چیزی در مورد اعداد موهومی عجیب می باشد، آن به ما کمک می کند تا اندکی در مورد ریشه دوم بدانیم. ریشه دوم (square root) هر عددی، یک عدد دوم است که وقتی در خودش ضرب گردد، نتیجه آن عدد اول می شود. برای مثال، ریشه دوم (جذر) عدد 9 برابر با 3 می باشد، زیرا:

3 . 3 = 9

و البته عدد 3- نیز ریشه دوم عدد 9 می باشد، زیرا:

-3 . -3 = 9

(برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد جذر و ضرب اعداد منفی فصل 4 را ببیند.)

مسأله در پیدا کردن 1-√ می باشد که در خط اعداد حقیقی نمی باشد (چون در مجموعه اعداد حقیقی قرار ندارد). اگر عدد مربوطه بر روی خط اعداد حقیقی باشد، باید عددی مثبت، عددی منفی، یا 0 باشد. اما اگر شما هر دو عدد مثبتی را در یکدیگر ضرب کنید، حاصلضرب یک عدد مثبت خواهد شد. و اگر شما هر دو عدد منفی را در یکدیگر ضرب کنید، باز هم حاصلضرب عددی مثبت خواهد شد. در نهایت، اگر 0 را در خودش ضرب کنید، حاصلضرب 0 می شود.


ریاضیدانان نماد i را برای 1-√ تعیین کردند. از آنجا که i در خط اعداد حقیقی نمی گنجید، خط اعداد خودش را پیدا کرد، که بسیار شبیه به خط اعداد حقیقی می باشد. شکل 1-25 برخی اعداد موجود در خط اعداد موهومی (imaginary number line) را به شما نشان می دهد.


اگرچه این اعداد، موهومی (خیالی) نامیده می شوند، امروزه ریاضیدانان آنها را کمتر از اعداد حقیقی، واقعی فرض نمی کنند. و استفاده های علمی از اعداد موهومی در الکترونیک و فیزیک این مسأله را تایید می کند که این اعداد خیلی بیشتر از تخیلات یک شخص است.

مجموعه اعداد مختلط (Complex Numbers)

یک عدد مختلط (complex number) هر عدد حقیقی بعلاوه یا منهای یک عدد موهومی می باشد. در اینجا چند مثال داریم:


شما می توانید با اضافه کردن 0i ، که برابر با 0 است، به هر عدد حقیقی آن را به یک عدد مختلط تبدیل کنید:


این مثالها نشان می دهند که مجموعه اعداد حقیقی بخشی از یک مجموعه بزرگتر با نام اعداد مختلط می باشد.

مشابه اعداد گویا و اعداد حقیقی، مجموعه اعداد مختلط تحت چهار عملیات اصلی بسته می باشند. یعنی، اگر دو عدد مختلط را با هم جمع، تفریق، ضرب، و یا تقسیم کنید، نتیجه حاصل شده، همواره عددی مختلط خواهد بود.

مجموعه اعداد نامتناهی (Transfinite Numbers)

اعداد نامتناهی (Transfinite Numbers) یک مجموعه از اعداد هستند که سطوح مختلف بی نهایت را نشان می دهند. برای یک لحظه این را تصور کنید: اعداد شمارشی

 (1, 2, 3, ...)

تا ابد ادامه پیدا می کنند، بنابراین آنها بی نهایت هستند. اما تعداد اعداد حقیقی بیشتر از تعداد اعداد شمارشی است.

در واقع، تعداد اعداد حقیقی بی نهایت از بیشتر از تعداد اعداد شمارشی می باشد که خودشان بی نهایت هستند. ریاضیدانی با نام جورج کانتور (Georg Cantor) این واقعیت را اثبات کرد. او همچنین اثبات کرد که برای هر سطح از بی نهایت، شما می توانید، سطح دیگری بیابید که بالاتر از آن است. او این اعداد را اعداد نامتناهی نامید.

کوچکترین عدد نامتناهی می باشد که به آن aleph null می گویند، که برابر با تعداد عناصر موجود در مجموعه اعداد شمارشی می باشد. از آنجا که اعداد شمارشی بی نهایت هستند، نماد آشنای بی نهایت و نماد هر دو یک معنای مشترک می دهند.

عدد نامتناهی بعدی می باشد که به آن aleph one می گویند، که برابر با تعداد عناصر موجود در مجموعه اعداد حقیقی می باشد. این عدد یک سطح بالاتر از بی نهایت می باشد.

مجموعه اعداد صحیح، اعداد گویا، و اعداد جبری همگی تعداد عنصر دارند. و مجموعه اعداد گنگ، اعداد متعالی، اعداد موهومی، و اعداد مختلط همگی تعداد عنصر دارند.

سطوح بالاتری از بی نهایت نیز وجود دارند. در اینجا مجموعه اعداد نامتناهی را می بینید:


علامت سه نقطه (...) به شما می گوید که این دنباله از اعداد نامتناهی تا ابد ادامه پیدا می کند، به عبارت دیگر بی نهایت است. همانطور که می بینید، بدون در نظر گرفتن جزئیات داخل آن و در نگاهی سرسری، اعداد نامتناهی شبیه اعداد شمارشی می باشند که در فصل اول کتاب گفتیم.