عملیات در جبر (Operations in algebra)

عمل جبری چیزی شبیه عمل جراحی در بیمارستان نیست! خوب، شما در هر دو حالت چیزها را تشریح می کنید، اما تشریح اعداد خیلی ساده تر (و البته تر و تمیزتر) از تشریح چیزها در بیمارستان است.

جبر صرفاً یک روش برای تعمیم دادن علم حساب (arithmetic) می باشد، بنابراین عملیات ها و قوانین مورد استفاده در علم حساب در جبر نیز به طور یکسانی کار می کنند. چند عملیات جدید در جبر به وجود آمده اند، اینطور به آنها فکر کنید که فقط برای اینکه چیزها از جمع، تفریق، ضرب، و تقسیم جالبتر گردند. بعد از اینکه تفاوت بین یک عملیات باینری (binary operation) و عملیات غیر باینری (non-binary operation) را به شما توضیح دادم، سه تا از عملیات های مخصوص جبر را به شما معرفی خواهم کرد.

عملیات باینری (binary operations)

Bi به معنای دو می باشد. یک bicycle (دوچرخه) دو چرخ دارد. یک bigamist (مردی که دو زن دارد) دو تا همسر دارد. یک عملیات باینری شامل دو عدد می شود. جمع، تفریق، ضرب، و تقسیم همگی عملیات های باینری می باشند، زیرا برای انجام آنها به دو عدد نیاز دارید. شما می توانید عملیات زیر را انجام بدهید:

3 + 4

اما نمی توانید عملیات زیر را انجام دهید:

3 +

اگر چیزی بعد از علامت بعلاوه (+) قرار نداشته باشد، شما نمی توانید عملیات جمع را انجام بدهید. شما نیاز به یک عدد دیگر هم دارید.

عملیات های غیرباینری (non-binary operations)

یک عملیات غیرباینری برای انجام کارش صرفاً نیاز به یک عدد دارد. یک عملیات غیرباینری یک وظیفه را انجام می دهد و پاسخ را بیرون می ریزد. جذرها یک عملیات غیرباینری هستند. شما 4√ را با انجام این عملیات بر روی فقط یک عدد می توانید پیدا کنید (برای اطلاعات بیشتر در مورد جذرها فصل 4 را ببینید). در ادامه شما را به سه عملیات غیرباینری آشنا می سازم.

قدر مطلق (absolute value)

یکی از پرکاربردترین عملیاتهای غیرباینری، عملیاتی است که قدر مطلق یک عدد را پیدا می کند - مقدار آن عدد بدون علامت. قدر مطلق به شما می گوید فاصله یک عدد تا 0 چقدر می باشد. این عملیات توجهی نمی کند که عدد مربوطه بزرگتر یا کوچکتر از 0 است، بلکه فقط تعیین می کند، فاصله آن عدد تا 0 چقدر است.

یادتان باشد: نماد قدر مطلق دو خط عمودی است: | |، قدر مطلق a در صورتیکه a نماینده هر عدد حقیقی باشد، چه مثبت و چه منفی، به شرح زیر است:

|a| = a

|-a| = a

در اینجا چند مثال از عملیات قدر مطلق می بییند:

در اصل، عملیات قدر مطلق به شما یک مسافت بدون جهت می دهد - فاصله تا 0 بدون توجه به اینکه جهت آن به کدام سمت است. عملیات قدر مطلق التفاتی نمی کند که عدد مربوطه کوچکتر و یا بزرگتر از 0 باشد، فقط تشخیص می دهد که فاصله آن عدد تا 0 چقدر می باشد.

فاکتوریل (factorial)

عملیات فاکتوریل (factorial) شبیه اینست که کسی با تعجب به شما نگاه کند. برای نشان دادن اینکه می خواهید عملیات فاکتوریل را انجام بدهید یک علامت تعجب (exclamation point) بعد از یک عدد قرار می دهید. اگر فاکتوریل عدد 6 را بخواهید، باید آن را به شکل !6 بنویسید. خوب، نمادش را متوجه شدید، اما باید بدانید که با آن چکار باید کنید.

یادتان باشد: برای پیدا کردن مقدار !n شما آن عدد را در هر عدد صحیح مثبت کوچکتر از n ضرب می کنید.

n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3) . . . 3 · 2 · 1

در اینجا چند مثال از عملیات فاکتوریل داریم:

نکات فنی: مقدار !0 برابر با 1 می باشد. این نتیجه واقعاً در قانون محاسبه فاکتوریل نمی گنجد، اما ریاضیدانانی که برای اولین بار فاکتوریل را توصیف کردند، تعیین کردند که !0 برابر با 1 باشد، تا فرمولهای آنها که شامل جایگشت (permutations)، ترکیب (combinations)، و احتمال (probability) می باشد، به درستی کار کنند.

تابع بزرگترین عدد صحیح (greatest integer function)

شما ممکن است تا به حال هرگز از تابع بزرگترین عدد صحیح استفاده نکرده باشید، اما قطعاً قربانی آن بوده اید. شرکتهای ارائه دهنده خدمات همگانی (مثل آب، برق، گاز و از این قبیل)، شرکتهای تلفن همراه، و برنامه های زمان بندی مالیات فروش از این تابع استفاده می کنند تا از شر مقادیر کسری خلاص گردند. آیا کسرها کاهش پیدا می کنند؟ البته که نه! مقادیر به بزرگترین عدد صحیح بعدی گرد می شوند.

یادتان باشد: تابع بزرگترین عدد صحیح (greatest integer) یک عدد حقیقی را که عددی صحیح نباشد، به عنوان ورودی می گیرد و آن را به بزرگترین عدد صحیح فراتر از آن تبدیل می کند. اگر ورودی تابع خودش عدد صحیح باشد، این تابع تغییری در آن نمی دهد.

در این جا چند مثال کاربردی از تابع بزرگترین عدد صحیح می بینید:

ممکن است نتیجه تابع برای ورودی 3.87- شما را متعجب سازد. فقط خط اعداد را تصور کنید. عدد 3.87- در سمت راست 4- می باشد، بنابراین بزرگترین عدد صحیح که از 3.87- فراتر نرود 4- می باشد.

آموزش قبلی صفحۀ اصلی دوره آموزش بعدی