نمایش اعداد خیلی بزرگ یا خیلی کوچک به صورت توان دار منجر می شود کار کردن با آنها بسیار ساده تر گردد. توان ها هنگام مطالعه وضعیتهایی که در آنها باید یک چیز یکسان را دوباره و دوباره انجام داد، بسیار مفیدند.





تصور کنید یک گربه دزدکی به سمت یک موش می رود. آنها در حدود 100 اینچ (inch) با یکدیگر فاصله دارند. هر بار که موش شروع به جویدن پنیر می کند، گربه از فرصت پیش آمده و حواس پرتی موش استفاده می کند و یک دهم مسافت بین آنها را طی می کند. گربه می خواهد تا فاصله 6 اینچی موش برسد - تا به حد کافی برای پریدن روی موش و شکار آن نزدیک باشد. بعد از چهار حرکت فاصله بین آنها چقدر خواهد بود؟ بعد از ده حرکت چطور؟ چقدر طول می کشد تا گربه به اندازه کافی نزدیک شود تا بتواند موش را شکار کند؟ شکل 1-4 آنچیزی را که اتفاق می افتد به شما نشان می دهد.


از این مراحل استفاده کنید تا موش خودتان را تعقیب کنید (یا هر مسافت در حال کاهش را مدیریت کنید):

1. حرکت افزایشی را به شکل یک کسر نشان دهید.
   در مسأله نمونه، این کار آسان است زیرا گربه هر بار یک دهم مسافت را می خزد و نزدیکتر می شود.
   
2. کل مسافت را در کسر ضرب کنید تا طول حرکت را بدست آورید.
   گربه و موش 100 اینچ فاصله دارند، بنابراین شما 1/10 را در 100 ضرب می کنید تا به 10 اینچ برسید.
   
3. طول مسافت طی شده را از مسافت فعلی کم کنید.
   100 اینچ منهای 10 اینچ می شود 90 اینچ، که فاصله باقیمانده (فاصله فعلی) بین موش و گربه می باشد.
   
4. فاصله فعلی را در کسر ضرب کنید تا طول حرکت دوم را بدست آورید.
   حرکت دوم: فاصله فعلی یعنی 90 را در 1/10 ضرب کنید تا به 9 اینچ برسید.
   
5. طول حرکت را از فاصله فعلی کم کنید.
   90 اینچ منهای 9 اینچ می شود 81 اینچ.
   
6. فاصله فعلی را در کسر ضرب کنید تا طول حرکت سوم را بدست آورید.
   حرکت سوم: 81 را در 1/10 ضرب کنید تا 8.1 اینچ بدست آید.
   
7. طول حرکت را از فاصله فعلی کم کنید.
   81 اینچ منهای 8.1 اینچ می شود 72.9 اینچ.
   

و به همین ترتیب، و به همین ترتیب، و به همین ترتیب. (آیا از اینکه فاصله بین گربه و موش 200 اینچ نمی باشد، خوشحال نیستید؟)

خبر خوب: یک روش ساده تر هم وجود دارد. به جای پیدا کردن یک دهم مسافت باقیمانده در هر مرتبه و تفریق آن، مسافت باقیمانده بین آنها را که 9/10 مسافت قبل از حرکت می باشد را پیدا کنید. یک دهم بعلاوه نه دهم می شود یک - یعنی کل مسافت باقیمانده.

در هر مرحله، شما در 9/10 ضرب را انجام می دهید، کسر مربوط به فاصله باقیمانده بعد از حرکت، ضربدر فاصله فعلی. نه دهم ضربدر فاصله جاری مسافت جدید می باشد. سپس در هر مرتبه فقط یک عملیات خواهید داشت که با آن درگیر شوید.

1. فاصله باقیمانده بین آنها بعد از حرکت اول را، با ضرب کردن مسافت فعلی در 9/10 پیدا کنید.
   فاصله باقیمانده بین آنها 90 اینچ می باشد.
   
2. فاصله باقیمانده بین آنها بعد از حرکت دوم را با ضرب کردن 9/10 در فاصله فعلی بدست آورید.
   فاصله باقیمانده بین آنها 81 اینچ می باشد.
   
3. فاصله باقیمانده بین آنها بعد از حرکت سوم را با ضرب کردن 9/10 در فاصله فعلی بدست آورید.
   فاصله باقیمانده بین آنها 9/10 72 اینچ می باشد. معادل اعشاری این عدد 72.9 می باشد.
   
4. فاصله باقیمانده بین آنها بعد از حرکت چهارم را با ضرب کردن 9/10 در فاصله فعلی بدست آورید.
   فاصله باقیمانده بین آنها 65.61 اینچ می باشد.
   

دوباره، همانطور که می بینید، اینهم می تواند بسیار خسته کننده گردد. بهترین روش پیدا کردن پاسخ استفاده از توان ها می باشد. حل کردن این مسأله با استفاده از توان ها، می تواند محاسبات را ساده تر کند. سومین مرتبه است که مجذوب پیدا کردن فاصله بین گربه و موش می شوید. کافیست از فرمول زیر استفاده کنید:

فاصله تا لحظۀ شکار = ، در این فرمول n تعداد حرکتهایی است که گربه داشته است.


در این فرمول، از آنجا که کسر در داخل پرانتزها می باشد، ابتدا توان بیرون پرانتز را بر روی کسر اعمال نمایید. یعنی قبل از اینکه کسر را در 100 ضرب کنید، ابتدا کسر را n مرتبه در خودش ضرب کنید.

بعد از سومین حرکت، فاصله بین آنها به شرح زیر می باشد:

بعد از دهمین حرکت، فاصله بین آنها به شرح زیر می باشد:

توجه: در اینجا من از نماد "تقریباً برابر است با" (≈) استفاده کرده ام، زیرا پاسخ اصلی تعداد ارقام اعشار خیلی بیشتری دارد و شما تمامی آن اطلاعات را نیاز ندارید.

بعد از بیست و ششمین حرکت، فاصله بین آنها به شرح زیر می باشد:

فقط یک حرکت دیگر باقی مانده تا فاصله بین آنها به 6 اینچ، یعنی فاصله شکار برسد. آیا فکر می کنید که موش هنوز بعد از 26 حرکت گربه، متوجه گربه نشده است؟ اگر اینطور باشد، پس لیاقتش همین است که شکار شود.

حالا، برای اینکه از این بازی موش و گربه دور شوید، اجازه بدهید سراغ مثال دیگری بروم که بسیاری از خوانندگان نسخه اول این کتاب را سر در گم کرد. در آن نسخه از کتاب، من یک مثال از یک توپ در حال جهش مطرح کردم و یک فرمول برای حل آن ارائه دادم. من آنجا قصدم فقط این بود که کاربرد توان ها را تشریح کنم، اما ظاهراً خوانندگان بیشتر از آن می خواستند. آنها می خواستند بدانند چرا و چگونه! بنابراین الآن شما از مزایای تمامی ایمیل های دریافتی من بهره مند خواهید شد.

مثال: اگر یک توپ فنری که از ارتفاع سقوط می کند، هر دفعه که به زمین می خورد 75 درصد از ارتفاعی را که داشته است جهش کند، در اینصورت مجموع مسافتی که آن توپ فنری می پیماید را پیدا کنید. شما توپ را از یک پنجره در ارتفاع 40 فوتی داخل یک پیاده رو صاف و تمیز می اندازید. فرض کنید که توپ همیشه مستقیم بالا می آید و در زمان سقوط نیز دقیقاً مستقیم پایین می آید. (تئوری مسأله همیشه از عملی آن ساده تر است.) شکل 2-4 چند سقوط و جهش اول را به شما نشان می دهد.


اگر می خواهید مجموع مسافتی که یک توپ فنری در n جهش می پیماید را پیدا کنید (بالا و پایین و بالا و پایین و بالا ...)، و اگر آن توپ هر بار 75 درصد از مسافت سقوط را بالا می آید، پس شما می خواهید تمامی این مسافت ها را با یکدیگر جمع کنید - همه آنها را!

در شکل 2-4، من چند تا از اولین مسافت ها را به شما نشان داده ام: اندازه اصلی 40 فوت، سپس 75 درصد از 40 که برابر با 30 فوت است، سپس 75 درصد از 30 که برابر با 22.5 فوت است، و به همین ترتیب. لیست این اعداد، یعنی:

40, 30, 22.5, 16.875, 12.65625, ...

بخشی از یک "دنباله هندسی نامتناهی" (infinite geometric sequence) می باشند. یک دنباله هندسی (geometric sequence) زمانی تشکیل می شود که هر جمله (term) از روی حاصلضرب جمله قبلی در یک عدد خاص که به آن نسبت (ratio) گفته می شود، ساخته می شود. من نمی خواهم در اینجا وارد تمامی جزئیات شیرین آن شوم، و شما باید در اینجا به من اعتماد کنید، اما می توانم به شما بگویم جمع تمامی جملات (بی نهایت) این نوع دنباله های هندسی با یک فرمول نسبتاً ساده پیدا می شود.


در این مسأله توپ فنری (bouncing-ball)، من ابتدا تمامی مسافت های رو به پایین را جمع زده ام. جمله اول 40 می باشد، و نسبت 0.75 است. بنابراین، با استفاده از این فرمول شما میتوانید مجموع:

 40 + 30 + 22.5 + 16.875 + . . .

را پیدا کنید:

این مجموع صرفاً تمامی مسافت های پیموده شده رو به سمت پایین را به شما می دهد. در مورد همه جهش های بازگشت به بالا چطور؟ ساده ترین روش پیدا کردن تمامی مسافتهای رو به بالا اینست که صرفاً 40 را از مجموع مسافتهای رو به پایین کسر کنید. (عدد 40 تنها عددی است که تکرار نشده است.) بنابراین، با تفریق زیر مجموع مسافتهای رو به بالا نیز به دست می آید:

160 - 40 = 120

حالا برای یافتن مجموع کل مسافتهای طی شده، مسافتهای رو به پایین و رو به بالا را با هم جمع میزنیم:

160 + 120 = 280

این توپ فنری مجموعاً 280 فوت را طی کرده است.

شما ممکن است تعجب کنید که ارتباط توپ فنری با توان ها چیست - زیرا موضوع اصلی این فصل توان می باشد. پاسخ اینست که مسافتی که توپ فنری در n جهش می پیماید، از فرمولی که شامل توانی از 75 درصد جهش بازگشتی می باشد، بدست می آید. با استفاده از معادله زیر:

شما می توانید مسافت طی شده بعد از دو جهش، چهار جهش، ده جهش، و به همین ترتیب، را پیدا کنید. من قبلاً به شما نشان دادم که چگونه مجموع مسافت جهش های ممکن در زمانیکه n تا بی نهایت تکرار می شود را پیدا کنید، بنابراین هر چیزی که از بی نهایت کمتر باشد، از 280 فوت نیز باید کوچکتر باشد. بعد از یک جهش و قبل از جهش دوم، مجموع مسافت برابر با 40 فوت + 30 فوت + 30 فوت = 100 فوت می باشد. این را با فرمول بررسی کنید:

بعد از 10 جهش، مجموع مسافت برابر است با:

40 feet + 30 feet + 30 feet + 22.5 feet + . . .

اوه! بهتر است از فرمول استفاده کنید!

مجموع مسافت مدام به 280 فوت نزدیکتر و نزدیکتر می شود. ماشین حساب شما، قبل از اینکه به 100 = n برسید، نتیجه را به 280 گرد می کند.

اوکی، حالا شما می خواهید بدانید که این فرمول مسافت از کجا می آید.