گروهها زمانی شکل می گیرند که مردم با یکدیگر چیز مشترکی داشته باشند. بیست نفر را در یک جزیره قرار بدهید، و چند روز آنها را رها کنید، شانس زیادی وجود دارد که آنها بر اساس چیزهایی که بدنبالش هستند و یا اشتراکات دیگرشان، با یکدیگر گروههایی را تشکیل بدهند. تولید کنندگان تلویزیونی با ایجاد رقابتهایی در این جزیره ها و معرفی انواع کشمکش ها و درام ها، در این پدیده بزرگنمایی می کنند.





فرآیند کلی یکسانی می تواند در فاکتورگیری انجام شود (البته بدون درام). هنگامی که با استفاده از گروه بندی فاکتورگیری می کنید قوانین حتی از موقعیت های اجتماعی در جزیره، اندکی سختگیرانه تر هستند، اما اصول کلی یکسان می باشد. این اصول جبری را در این بخش به شما خواهم گفت.

هنگامی که از گروه بندی به منظور فاکتورگیری استفاده می کنید، این مراحل را دنبال کنید:

1. جملات را به گروههایی با تعداد برابر جمله در هر گروه، تقسیم کنید.
   
2. در هر گروه از جملات به دنبال بزرگترین فاکتور مشترک بگردید، و فاکتورگیری را انجام بدهید.
   
3. عبارت را به شکل حاصلضرب بزرگترین فاکتور مشترک هر جمله و یک فاکتور در داخل پرانتز، بازنویسی کنید.
   
4. دنبال بزرگترین فاکتور مشترک در جملات جدید بگردید.
   اگر جملات جدید دارای فاکتور مشترکی نباشند، ترکیب متفاوتی از جملات در تقسیم ها را انتخاب کنید.
   
5. بزرگترین فاکتور مشترک جدید را فاکتورگیری کنید.
   

مثال: فاکتور بگیرید:

شما می بینید که دو جمله یک 4 را مشترکاً دارند. برخی جمله ها دارای یک y مشترک هستند. و برخی جمله ها دارای a، b، و x به صورت مشترک می باشند. اما هر چهار جمله دارای یک متغیر یا عدد مشترک نمی باشند. با این وجود، آنها می توانند در دو قسمت گروه بندی شوند و از هر گروه به صورت مستقل فاکتورگیری شود.

1. جملات را به گروه هایی با دو جمله در هر گروه تقسیم کنید.
   دو جمله اول را در یک گروه و دو جمله دوم را در گروه دیگری قرار بدهید.
   
   
2. در هر گروه از جملات به دنبال بزرگترین فاکتور مشترک بگردید و از آن فاکتور بگیرید.
   
   
3. عبارت را بازنویسی کنید.
   
   
4. در جملات جدید به دنبال بزرگترین فاکتور مشترک بگردید.
   بزرگترین فاکتور مشترک جدید (y + b) می باشد.
   
   
5. بزرگترین فاکتور مشترک جدید را فاکتور بگیرید.
   

عبارت اصلی که شامل چهار جمله بود الان فقط یک جمله دارد.

با این وجود، این کار گروه بندی واقعاً کمکی نمی کند، مگر اینکه نتایج دو فاکتورگیری جداگانه چیزی برای به اشتراک گذاری با یکدیگر داشته باشند. به سلسه مراحل قبلی نگاه کنید، در مرحله 3 هر کدام از گروه های فاکتورگیری شده دارای (y + b) می باشند. وقتی این اتفاق می افتد، (y + b) می تواند در جملاتی که به تازگی شکل گرفته اند، فاکتورگیری شود:


این شکل فاکتورگیری شده می باشد. اگر این ضرب را از ابتدا تا انتها انجام بدهید (توزیع کنید)، سپس به چهار جمله ای خواهید رسید که در ابتدا با آن آغاز کرده بودید.

دوباره، در مثال زیر هیچ چیز مشترکی بین تمام جملات وجود ندارد. اما اگر دو جمله اول را با یکدیگر و دو جمله آخر را نیز با یکدیگر گروه بندی کنید، می توانید آن دو گروه را فاکتورگیری نمایید.

مثال: فاکتور بگیرید:

1. جملات را به گروه هایی با دو جمله در هر گروه تقسیم کنید.
   
   
2. در هر گروه از جملات به دنبال بزرگترین فاکتور مشترک بگردید و از آن فاکتور بگیرید.
   
   
3. عبارت را بازنویسی کنید.
   
   
4. در جملات جدید به دنبال بزرگترین فاکتور مشترک بگردید.
   بزرگترین فاکتور مشترک می باشد.
   
   
5. بزرگترین فاکتور مشترک جدید را فاکتور بگیرید.
   

اگر جملات در این ترتیب نباشند چه می شود؟ چطور می دانید که باید آنها را در چه ترتیبی بنویسید؟ آیا به پاسخ متفاوتی خواهید رسید؟ جملات را مخلوط کنید و مسأله را به شکل زیر بنویسید و ببینید چه چیزی خواهید داشت:

بزرگترین فاکتور مشترک در دو جمله اول x²y می باشد. بزرگترین فاکتور مشترک در دو جمله بعدی 3- می باشد. گروه بندی و فاکتور گیری به شما این نتیجه را می دهد:

عبارتهای داخل پرانتزها دقیقاً مشابه به نظر نمی رسند، اما جمع یک عملیات جابجایی پذیر (commutative) می باشد - شما می توانید در هر دو ترتیب جمع را انجام بدهید و نتیجه یکسانی را بدست آورید. شما می توانید 9 و a را در فاکتور دوم معکوس کنید تا مشابه اولی شود:


اکنون، می توانید از هر دو جمله فاکتور بگیرید و تا مسأله را تمام کنید:


دو فاکتور موجود در پاسخ نسبت به روش اولی که این مسأله را حل کرده بودید معکوس شده اند، اما ضرب نیز مانند جمع جابجایی پذیر (commutative) می باشد.

در مثال بعدی، توجه داشته باشید که دو جفت از جملات می توانند گروه بندی و فاکتورگیری شوند.

مثال: فاکتور بگیرید:

گروه بندی کنید و فاکتور بگیرید:


عبارتهای داخل پرانتزها مشابه به نظر می رسند، اما آنها یکسان نیستند. تغییر دادن ترتیب چینش در این مورد نمی تواند کمکی به حل مسأله کند. در حال حاضر دو جمله داریم، اما این جمله ها هیچ فاکتور مشترکی ندارند. این عبارت بیش از این امکان ساده شدن ندارد. به عبارت دیگر این عبارت اول (prime) می باشد (در معنای جبری).

تا کنون، مثالهایی که به شما نشان دادم همگی دارای چهار جمله بودند، که در دو گروه دوتایی گروه بندی می شدند. در مورد شش یا هشت جمله چطور؟ آیا می توانید از گروه بندی استفاده کنید؟ پاسخ بله می باشد.

مثال: فاکتور بگیرید:

انتخاب های شما اینها هستند:

• سه جمله اول را با یکدیگر گروه بندی کنید، سپس 2x² را فاکتور بگیرید. سه جمله بعدی را نیز تبدیل به یک گروه کنید و 3- را از آن فاکتور بگیرید.
  
• جمله اول و چهارم را در یک گروه قرار دهید و y² را از آن فاکتور بگیرید. جمله دوم و پنجم را همگروه ساخته و 3y را از آن فاکتور بگیرید. و جمله سوم و ششم را در یک گروه بگذارید و در اینجا تنها فاکتور ممکن 1 می باشد که تاثیری هم ندارد.
  

با استفاده از انتخاب اول داریم:


سپس فاکتور مشترک بین دو عبارت بیرون کشیده می شود.


اکنون، با استفاده از روش دوم، من ابتدا باید جملات را بازچینش کنم:


حالا می بینید که این سه جمله همگی دارای فاکتور مشترکی از می باشند، که میتواند فاکتورگیری گردد.


ترتیب این دو فاکتور متفاوت از چیزی است که در روش اول بدست آوردید، اما ضرب جابجایی پذیر می باشد، بنابراین هر دو عبارت با هم برابرند.