FOIL چیست؟ (بخوانید فویل). FOIL مخفف چهار کلمه first (اولین)، outer (بیرونی)، inner (درونی)، و last (آخرین) می باشد. هنگامی که برای اولین بار مفهوم FOIL مطرح شد، به نوعی صرفاً یک یادآور بود که در هنگام کار با دوجمله ای ها (binomials) از آن استفاده می شد. اما امروزه این عملیات در سطح وسیع در جبر مورد پذیرش قرار گرفته است و در کلاسهای درس جبر مورد استفاده قرار می گیرد. به یادآوری FOIL و استفاده از آن بسیار ساده می باشد.





این فصل در مورد فاکتورگیری می باشد، اما ابتدا باید یاد بگیرید چگونه دو دوجمله ای را با استفاده از FOIL در یکدیگر ضرب کنید. در فصل 7 چگونگی ضرب دو دوجمله ای با توزیع به شما نشان داده شد. این فصل یک روش جایگزین را به شما می دهد.

مبانی عملیات FOIL

بسیاری از عبارتهای درجه دوم (quadratic expressions) مانند حاصلضرب دو دوجمله ای می باشند، بنابراین شما می توانید با فاکتورگیری ضرب را لغو کنید:


سمت راست شکل فاکتورگیری شده می باشد. اما چگونه می توانید صرفاً با نگاه کردن به آن، بگویید که سمت چپ این معادله با سمت راست آن برابر می باشد. در اینجا هنگامی که به دنبال چیز مشترکی می گردید، مشابه جستجو برای پیدا کردن بزرگترین فاکتور مشترک نمی باشد. یک روش خوب برای انجام این ضرب، استفاده از FOIL می باشد.

کلمه FOIL نشان دهنده چیست؟ هر کدام از این حروف به دو جمله مختلف در عملیات ضرب اشاره دارد - یکی از هر دو جمله موجود در دو دوجمله ای - که در ترتیب خاصی در یکدیگر ضرب می شوند. الزامی وجود ندارد که این مراحل به همین ترتیب انجام شوند، اما معمولاً ترتیب انجامشان همین است. اگر غیر از این ترتیب می بود این اسم چیزی شبیه OFIL می شد!

لیست زیر نشان می دهد که هر کدام از حروف تشکیل دهنده FOIL سرنام چه کلمه ای می باشد:

• F: سرنام کلمه first (اولین) می باشد و به دو جمله آغازین هر کدام از دوجمله ای ها اشاره دارد:
  
  
• O: سرنام کلمه outer (بیرونی) می باشد و به دو جمله ابتدا و انتهای عبارت که در بیرونی ترین قسمت ها واقع شده اند اشاره دارد:
  
  
• I: سرنام کلمه inner (درونی) می باشد و به دو جمله ای که در وسط و در واقع درونی ترین قسمت عبارت قرار گرفته اند اشاره دارد:
  
  
• L: سرنام کلمه last (آخرین) می باشد و به دو جمله آخر هر کدام از دوجمله ای ها اشاره دارد:
  

در هر دو جمله ای یک جمله در سمت راست و یک جمله در سمت چپ وجود دارد. اما این دو جمله اسامی دیگری هم دارند (درست مثل آدم ها، ممکن است نام کسی "مایکل" باشد، دوستان صمیمی اش او را "مایک" صدا کنند، و پدرش هم او را "پسرم" بنامد، همه این اسامی اشاره به یک نفر دارند). نام دیگر جمله ها در دوجمله ای ها به موقعیت قرارگیری آنها با توجه تصویر کلی اشاره دارد. دو جمله ای که در وسط قرار ندارند جملات بیرونی می باشند. دو جمله ای که در وسطند جملات درونی می باشند. از این عبارت به عنوان یک مثال استفاده کنید: . جملات a و c در موقعیت first (آغازین) قرار دارند. جملات b و d در موقعیت last (آخرین) قرار دارند. جملات a و d در موقعیت outer (بیرونی) قرار دارند. جملات b و c در موقعیت inner (درونی) در تصویر کلی، قرار دارند. همانطور که می بینید هر جمله دو نام دارد. در مسأله جمله 2x یک مرتبه first و مرتبه دیگر outer نامیده می شود. هر دو نام صحیح است.

شکل 1-9 تصویری گرافیکی از چگونگی انجام این کار را نشان می دهد. این تصویر معروف به "صورت خندان فویل" می باشد.

انجام دوباره و دوبارۀ FOIL

مراحل زیر چگونگی استفاده از FOlL در مسأله ضرب دو دوجمله ای دریکدیگر را نشان می دهند:

1. دو جملۀ آغازین (first) را در یکدیگر ضرب کنید.
   
   
2. دو جملۀ بیرونی (outer) را در یکدیگر ضرب کنید.
   
   
3. دو جملۀ درونی (inner) را در یکدیگر ضرب کنید.
   
   
4. دو جملۀ پایانی (last) را در یکدیگر ضرب کنید.
   
   
5. چهار نتیجه عملیات FOIL را لیست کنید.
   
   
6. جملات مشابه را با یکدیگر ترکیب کنید.
   

توزیع (Distributing) دو جملۀ موجود در دوجمله ای اول بر روی دوجمله ای دوم نتایج یکسانی با FOIL را تولید می کند، اما در مورد دوجمله ای ها، استفاده از FOIL ساده تر می باشد. (برای اطلاعات بیشتر در مورد توزیع فصل 6 را ببینید.)

ببینید که در عبارت زیر مراحل شماره گذاری شدۀ FOIL چگونه بر روی چند جمله منفی کار می کند.

مثال: با استفاده از FOIL این ضرب را انجام بدهید:

1. دو جملۀ آغازین (first) را در یکدیگر ضرب کنید.
   
   
2. دو جملۀ بیرونی (outer) را در یکدیگر ضرب کنید.
   
   
3. دو جملۀ درونی (inner) را در یکدیگر ضرب کنید.
   
   
4. دو جملۀ پایانی (last) را در یکدیگر ضرب کنید.
   
   
5. چهار نتیجه عملیات FOIL را لیست کنید.
   
   
6. جملات مشابه را با یکدیگر ترکیب کنید.
   

مثال زیر اندکی پیچیده تر است، اما FOIL آن را خیلی ساده تر می کند. این کار به کارهای کوچکتر و ساده تر شکسته می شود، و سپس نتایج برای رسیدن به پاسخ نهایی با یکدیگر ترکیب می شوند.

مثال: از FOIL برای انجام این ضرب استفاده کنید:

1. دو جملۀ آغازین (first) را در یکدیگر ضرب کنید.
   
   
2. دو جملۀ بیرونی (outer) را در یکدیگر ضرب کنید.
   
   
3. دو جملۀ درونی (inner) را در یکدیگر ضرب کنید.
   
   
4. دو جملۀ پایانی (last) را در یکدیگر ضرب کنید.
   دو جمله آخر خودشان دو دوجمله ای می باشند. بعد از تکمیل مراحل FOIL اول به FOIL آن خواهید پرداخت.
   
   
5. چهار نتیجه عملیات FOIL را لیست کنید.
   
   
6. جملات مشابه را با یکدیگر ترکیب کنید.
   

اکنون، برای تکمیل حاصلضرب نهایی FOIL باقیمانده از مسأله قبل را انجام می دهیم:

1. دو جملۀ آغازین (first) را در یکدیگر ضرب کنید.
   
   
2. دو جملۀ بیرونی (outer) را در یکدیگر ضرب کنید.
   
   
3. دو جملۀ درونی (inner) را در یکدیگر ضرب کنید.
   
   
4. دو جملۀ پایانی (last) را در یکدیگر ضرب کنید.
   
   
5. چهار نتیجه عملیات FOIL را لیست کنید.
   
   
6. جملات مشابه را با یکدیگر ترکیب کنید.
   

حالا، دو دوجمله ای موجود در مسأله بالا را با نتایج FOIL آن جایگزین کنید، شما می توانید کل مسأله را به شکل زیر بازنویسی کنید:


این ممکن است پیچیده به نظر برسد، اما استفاده از FOIL ساده تر از انجام تمام توزیع می باشد.

اعمال FOIL روی یک حاصلضرب خاص

آیا قانون ضرب کردن مجموع هر دو جمله با تفاضل آنها را به خاطر می آورید؟ اگر پاسخ شما بله باشد، می توانید از این بخش صرفنظر کنید. اگر هم پاسخ شما خیر باشد، در ادامه در خدمت شما هستیم.

مجموع هر دو جمله که در تفاضل همان دو جمله ضرب گردد، یک عملیات ساده می باشد زیرا دو جمله میانی یکدیگر را خنثی می کنند - هر دوی آنها قدرمطلق یکسانی دارند، با این تفاوت که یکی از آنها مثبت و دیگری منفی می باشد.


عملیات زیر مجموع و تفاضل دو مقدار یکسان را در یکدیگر ضرب می کند. در فصل 7 به شما نشان دادم که چگونه دو جمله میانی یکدیگر را خنثی می کنند یا ناپدید می شوند. این مسأله در FOIL حتی آشکارتر هم می باشد.

مثال: از FOIL برای انجام این ضرب استفاده کنید:

1. دو جملۀ آغازین (first) را در یکدیگر ضرب کنید.
   
   
2. دو جملۀ بیرونی (outer) را در یکدیگر ضرب کنید.
   
   
3. دو جملۀ درونی (inner) را در یکدیگر ضرب کنید.
   
   
4. دو جملۀ پایانی (last) را در یکدیگر ضرب کنید.
   
   
5. چهار نتیجه عملیات FOIL را لیست کنید.
   
   
6. جملات مشابه را با یکدیگر ترکیب کنید.
   مقادیر 15x و 15x- متضاد یکدیگر می باشند. تنها چیزی که باقی می ماند جمله اول و جمله آخر می باشد.
   

نگاهی به مسائل ضرب زیر بیندازید. آیا آنها مثالهای خوبی از مجموع و تفاضل دوجمله ای ها و FOIL می باشند؟