خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


فاکتورگیری دوجمله ای ها

فاکتورگیری دوجمله ای ها
نویسنده : امیر انصاری
این فصل اطلاعات خیلی سودمندی در مورد فاکتورگیری دارد که تحت دسته بندی قوانین فاکتورگیری عبارتهای درجه دوم (quadratic) یا خطی (linear) قرار نمی گیرد. برای مشاهده قوانین فاکتورگیری و نکات بیشتر می توانید فصل های 8 و 9 را ببینید. نیمی از فرآیند فاکتورگیری دانستن چگونگی استفاده از قوانین می باشد، و نیمۀ دیگر اینست که تشخیص بدهید چه زمانی باید از چه قانونی استفاده کنید. این مهارتها هر دو به یک اندازه مهم هستند - شما برای موفقیت به هر دوی آنها نیاز دارید. این فصل را با یک فرآیند سودمند با نام تقسیم مصنوعی (synthetic division) -برخی جاها این تقسیم مصنوعی را تقسیم ترکیبی ترجمه کرده اند - به پایان می رسانم. اگر شما طرفدار چیزهای تماماً طبیعی هستید، آن را از سرتان باز نکنید. من قول میدهم این موضوع تقسیم مصنوعی کاملاً با محیط زیست سازگار باشد!



فاکتورگیری دوجمله ای ها (Binomials)


اگر یک عبارت دوجمله ای (binomial) قابل فاکتورگیری باشد، می توان آن را در یکی از چهار روش زیر فاکتورگیری نمود. ابتدا، به علامت جمع یا تفریق که همیشه دو جملۀ یک دوجمله ای را از یکدیگر جدا می کند، نگاهی بیندازید. سپس به دو جمله نگاه کنید. آیا مربع (squares) هستند؟ آیا مکعب (cubes) هستند؟ آیا به هیچ وجه هیچ چیز خاصی ندارند؟ چیز زیبا در مورد داشتن دو جمله در یک عبارت اینست که در هنگام فاکتورگیری شما فقط و فقط چهار روش دارید که باید مدنظر داشته باشید.

در اینجا چهار روش فاکتورگیری یک دوجمله ای را می بینید:

  • پیدا کردن بزرگترین فاکتور مشترک (GCF:greatest common factor):
    فاکتورگیری دوجمله ای ها
  • فاکتورگیری از تفاضل دو مربع کامل:
    فاکتورگیری دوجمله ای ها
  • فاکتورگیری از تفاضل دو مکعب کامل:
    فاکتورگیری دوجمله ای ها
  • فاکتورگیری از مجموع دو مکعب کامل:
    فاکتورگیری دوجمله ای ها

هنگامی که یک مسأله فاکتورگیری با دو جمله دارید، می توانید این لیست را بررسی کنید تا ببینید کدام روش کار می کند. گاهی اوقات این دو جمله می توانند با بیش از یک روش فاکتورگیری شوند، مانند پیدا کردن GCF (بزرگترین فاکتور مشترک) و تفاضل بین دو مربع. بعد از اینکه از یک روش فاکتورگیری استفاده کردید، داخل پرانتزها را بررسی کنید تا ببینید آیا فاکتورگیری دیگری هم می تواند انجام شود. اگر هر آیتم موجود در لیست روش های فاکتورگیری را بررسی کردید، و هیچکدام کار نکرد، سپس شما می دانید که عبارت مورد نظرتان نمی تواند بیشتر از این فاکتورگیری گردد. می توانید جستجو را متوقف کنید و بگویید که کارتان تمام شده است.

در هنگام فاکتورگیری، پیدا کردن GCF (بزرگترین فاکتور مشترک) همیشه یک روش آسان و سریع برای بررسی می باشد (برای اطلاعات بیشتر در مورد چگونگی پیدا کردن GCF فصل 8 را ببینید). کنار آمدن با آنچه که بعد از فاکتورگرفتن یک GCF برجای می ماند، بسیار آسانتر است. اما بخشهای بعدی را بخوانید تا سایر گوهرهای خردمندانۀ فاکتورگیری را کشف کنید.

فاکتورگیری از تفاضل دو مربع کامل


اگر دو جمله در یک دوجمله ای مربع کامل (perfect squares) باشند و با علامت تفریق از یکدیگر جدا شده باشند، سپس آن دوجمله ای میتواند فاکتورگیری شود. یک مربع کامل نتیجه ضرب کردن یک عدد یا متغیر در خودش می باشد. بیست و پنج یک مربع کامل می باشد زیرا برابر است با 5 ضربدر 5. برای فاکتورگرفتن از یکی از این دوجمله ای ها، فقط ریشه های مربع (square roots) - ریشه مربع ریشه توان دوم یا همان جذر می باشد - دو جمله ای هایی که مربع کامل هستند را بیابید و فاکتورگیری را به شکل مجموع و تفاضل ریشه های مربع بنویسید. برای مثال:
x2 – 49 = (x + 7)(x – 7)
این قانون تنها زمانی درست کار می کند که مربع ها از یکدیگر تفریق شده باشند. با این روش می توانید موارد زیر را فاکتور بگیرید:
x2 – 9
9 – x2
اما نمی توانید عبارت زیر را با این روش فاکتور بگیرید:
x2 + 9
زیرا، این عبارت مجموع دو مربع می باشد و نه تفاضل آنها.

اگر دو جمله مربع با تفریق از یکدیگر جدا شده باشند، سپس حاصلضرب مجموع و تفاضل دو ریشه مربع، فاکتورگیری از دو جمله ای می باشد:
a2 – b2 = (a + b)(a – b)

مثال: فاکتور بگیرید:

ریشه دوم و 16 به ترتیب 3x و 4 می باشند. مجموع ریشه ها و تفاضل ریشه ها می باشد. بنابراین:
9x2 – 16 = (3x + 4)(3x – 4)

مثال: فاکتور بگیرید:

ریشه مربع و به ترتیب 5z و 9y می باشند. بنابراین:
25z2 – 81y2 = (5z + 9y)(5z – 9y)

مثال: فاکتور بگیرید:

ریشه دوم و به ترتیب و می باشند. بنابراین:
x4 – y6 = (x2 + y3)(x2 – y3)

مثال: فاکتور بگیرید:

در این مورد، عدد دوم یک مربع کامل نمی باشد. اما گاهی اوقات ترجیح بر آن است که به هر نحو ممکن عبارت فاکتورگیری شود. ریشه مربع برابر با x می باشد، و شما می توانید ریشه مربع 3 را به شکل بنویسید. (برای اطلاعات بیشتر در مورد ریشه مربع و رادیکال ها، فصل 4 را ببینید.) اکنون فاکتورگیری می تواند به شکل زیر نوشته شود:
فاکتورگیری دوجمله ای ها
خیلی زیبا نیست، اما فاکتور گیری است.

نکته: شما ممکن است متوجه شده باشید که من همواره را به عنوان فاکتور اول و را به عنوان فاکتور دوم می نویسم. واقعاً اهمیتی ندارد که آنها را به چه ترتیبی بنویسید. ضرب یک عملیات جابجایی پذیر (commutative) می باشد، بنابراین اگر بخواهید می توانید فاکتورها را جابجا کنید. فقط جملات را در داخل فاکتور جابجا نکنید.

فاکتورگیری از تفاضل دو مکعب کامل


یک مکعب کامل (perfect cube) عددی است که زمانیکه یک عدد را در خودش ضرب می کنید و دوباره حاصلضرب را در عدد اول ضرب می کنید، بدست می آورید. مکعب سومین توان یک عدد یا متغیر می باشد. تفاضل بین دو مکعب یک عبارت دوجمله ای است:

شناخته شده ترین مکعب های کامل آنهایی هستند که ریشه آنها اعداد صحیح (integers) می باشند و نه اعداد اعشاری (decimals). در اینجا یک لیست کوتاه از مکعب (Cube) برخی از اعداد صحیح مثبت را می بینید:

فاکتورگیری دوجمله ای ها
آشنا شدن و شناسایی این مکعب ها می تواند ضمن صرفه جویی در زمان، دقت شما را نیز در مواجهه با مسائل جبر افزایش دهد.

یادتان باشد: هنگامی که متغیرها و اعدادی را که هم اکنون دارای توان می باشند به مکعب تبدیل می کنید، توان های آنها را در 3 ضرب می کنید. هنگامیکه حاصلضرب اعداد و متغیرهای داخل پرانتز را مکعب می کنید، هر فاکتور را به توان سوم آن می رسانید. (اگر نیاز به جزئیات بیشتر در این زمینه دارید فصل 4 را ببینید.) برای مثال:
فاکتورگیری دوجمله ای ها فاکتورگیری دوجمله ای ها

شناسایی متغیرهای مکعب نسبتاً آسان می باشد زیرا توانهای آنها همیشه بر 3 بخش پذیر هستند. هنگامی که یک عدد مکعب شود و ضرب گردد، شما همیشه نمی توانید بگویید که آن مکعب است.

به لیست دوجمله ای های زیر نگاه کنید. این عبارتها تفاضل مکعب می باشند و می توانند فاکتورگیری شوند. هر جمله یک مکعب می باشد - همه آنها ریشه های مکعب دارند. متغیرها همگی دارای توانهایی هستند که مضربی از 3 می باشند:

فاکتورگیری دوجمله ای ها
برای فاکتورگیری از تفاضل دو مکعب کامل از الگوی زیر استفاده کنید:
فاکتورگیری دوجمله ای ها
در اینجا نتایج فاکتورگیری تفاضل مکعب ها کامل را می بینید:

  • یک فاکتور دو جمله ای که متشکل از دو ریشه مکعبهای کامل می باشد که با یک علامت منها از یکدیگر جدا شده اند.
  • یک فاکتور سه جمله ای که متشکل از مربع دو ریشه مکعب از فاکتور اول می باشد که با حاصلضرب ریشه های مکعب در میان آن جمع شده است. یادتان باشد: یک سه جمله ای (trinomial) دارای سه جمله میباشد و در این مورد تمامی این سه جمله دارای علامت بعلاوه هستند.

مثالهای زیر به شما نشان می دهند چگونه این قوانین کار می کنند. اولین مثال از آنهایی نیست که معمولاً در جبر می بینید زیرا هیچ متغیری در آن نیست، اما برای راحتی و همینطور برای افرادی همچون "توماس شکاک" آورده شده است.

مثال: فاکتور بگیرید:

با استفاده از قانون ، اجازه می دهیم 216 نمایش دهنده a3 و 125 نماینده b3 باشند. ریشه مکعب 216 می شود 6 و ریشه مکعب 125 می شود 5، بنابراین در اینجا 6 می شود a و 5 می شود b. همچنین 36 می شود a2 و 25 می شود b2 و 30 نیز می شود حاصلضرب ab. با جایگزین کردن این اعداد در قانون خواهیم داشت:

فاکتورگیری دوجمله ای ها
فاکتورگیری دوجمله ای ها
اکنون بررسی کنید تا ببینید آیا معادله صحیح می باشد. تفاضل بین 216 و 125 می شود 91، و 25 + 30 + 36 نیز برابر با 91 می باشد.

فاکتورگیری دوجمله ای ها
این به شما نشان می دهد که، خواه عبارت شما به شکل تفاضل دو مکعب و خواه به شکل فاکتورگیری شدۀ آن باشد، پاسخ نهایی یکسان خواهد بود.

این مسأله در واقع چیزی را اثبات نمی کند، اما یک نمایش خوب از این موضوع است که این روش روی اعداد کار می کند.

مثال: فاکتور بگیرید:

ریشه مکعب m3 می شود m، و ریشه مکعب 8 می شود 2. بنابراین:

فاکتورگیری دوجمله ای ها
توجه داشته باشید که علامت بین m و 2 با علامت بین دو مکعب یکسان می باشد. مربع m می شود m2 و مربع 2 می شود 4. حاصلضرب دو ریشه مکعب می شود 2m، و علامت های موجود در سه جمله ای همگی مثبت می باشند.

مثال: فاکتور بگیرید:

ریشه مکعب 64x3 می شود 4x، و ریشه مکعب 27y6 می شود 3y2. مربع 4x می شود 16x2، مربع 3y2 می شود ، و حاصلضرب می شود 12xy2 . بنابراین:

فاکتورگیری دوجمله ای ها
مثال بعدی شامل چندین قانون درگیر با توانها می باشد. یادتان باشد که بعد از اینکه ریشه مکعب را پیدا کردید توان را بر 3 تقسیم کنید.

مثال: فاکتور بگیرید:

ریشه مکعب می شود ، و ریشه مکعب می شود . مربع می شود و مربع می شود . حاصلضرب می شود . بنابراین:

فاکتورگیری دوجمله ای ها

فاکتورگیری از مجموع دو مکعب کامل


قانون فاکتورگیری از مجموع دو مکعب کامل تقریباً با قانون فاکتورگیری تفاضل بین دو مکعب کامل، که در بخش قبلی توضیح دادم، یکسان می باشد. شما کافیست تا دو علامت کوچک را تغییر بدهید تا به درستی کار کند.

برای فاکتورگیری از مجموع دو مکعب کامل، از الگوی زیر استفاده کنید:
فاکتورگیری دوجمله ای ها
مشابه نتایج فاکتورگیری از تفاضل دو مکعب کامل، نتایج فاکتورگیری از مجموع دو مکعب کامل نیز از یک فاکتور دوجمله ای و یک فاکتور سه جمله ای تشکیل شده است.

توجه کنید که علامت بین دو ریشه مکعب با علامت بین مسأله ای که قرار است فاکتورگیری شود یکسان می باشد. هر دو مربع در عبارت سه جمله ای هنوز هم مثبت هستند، اما شما علامت جمله میانی را به منفی تغییر می دهید.

مثال: فاکتور بگیرید:

ریشه مکعب 1000z3 می شود 10z، و ریشه مکعب 343 می شود 7. حاصلضرب 10z و 7 می شود 70z. بنابراین:

فاکتورگیری دوجمله ای ها


نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.