قضیه باقیمانده (remainder theorem) هنگامی که با چندجمله ای های درجه بالا سروکار دارید و می خواهید آنها را تبدیل به گراف (graph) کنید یا اینکه راه حلی برای معادلاتی که شامل چند جمله ای ها هستند پیدا کنید، به شدت مورد استفاده قرار می گیرد. من در کتاب Algebra II For Dummies (جبر 2 برای احمقها) به جزئیات این مسأله پرداخته ام. برای الآن، من صرفاً بهترین بخش آن را انتخاب کرده ام و به شما نشان می دهم که چگونه با استفاده از قضیه باقیمانده و تقسیم مصنوعی (synthetic division) فاکتورگیری نمایید.






قضیه باقیمانده (remainder theorem) در جبر به شما می گوید هنگامی که یک چندجمله ای (polynomial) را بر روی چند دوجمله ای خطی (linear binomial) تقسیم می کنید، باقیمانده نتیجه تقسیم همان عددی است که در هنگام ارزیابی چندجمله ای با استفاده از متضاد ثابتها در دوجمله ای بدست می آورید.

قضیه باقیمانده بیان می کند که باقیمانده (R) در تقسیم زیر با برابر می باشد:

باقیماندۀ تقسیم
بر برابر با می باشد.

بنابراین اگر شما را بر تقسیم کنید، باقیمانده می شود:
$$
p(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 -3(-1) + 4 = -1 + 1 + 3 + 4 = 7
$$
شکل تقسیم طولانی این مسأله چیزی است که در ادامه می بینید:


آنچه که در فاکتورگیری چندجمله ای ها ترجیح داده می شود اینست که باقیمانده 0 گردد - عدم وجود باقیمانده به این معنا می باشد که فاکتور مربوطه تقسیم را به شکل برابر انجام می دهد. تقسیم طولانی (Long division) می تواند خسته کننده باشد، همچنین ارزیابی چندجمله ای ها می تواند اندکی شلوغ کاری باشد. بنابراین، در اینجا تقسیم مصنوعی (synthetic division) چیزی است که به داد ما می رسد و نجاتمان می دهد.

تقسیم مصنوعی (synthetic division)

تقسیم مصنوعی روشی برای تقسیم یک چندجمله ای بر روی یک دوجمله ای درجه اول بدون همه چیزهای زائد آن می باشد. در این مورد، منظور از چیزهای زائد همه متغیرها می باشند - شما تنها ضریب ها و ثابتها را مورد استفاده قرار می دهید. برای تقسیم
بر شما تمامی ضریب ها را لیست می کنید، و یک علامت جعبه تقسیم وارونه در ابتدای کارتان قرار می دهید. علامت a در دوجمله ای را به علامت معکوسش تغییر می دهید و آن را در جعبه تقسیم وارونه قرار می دهید. سپس ضرب می کنید، جمع می کنید، ضرب، جمع، و به همین ترتیب تا تمامی ضریبها جمع شوند. آخرین عدد، باقیماندۀ تقسیم شما می باشد.

مثال: عبارت را با استفاده از تقسیم مصنوعی بر تقسیم کنید.

ضریب ها را در یک خط بنویسید و یک 3- در مقابل آن قرار دهید.


حالا 1 را پایین بیاورید، آن را در 3- ضرب کنید، حاصلضرب را زیر 5 قرار دهید، و جمع بزنید. حاصلجمع را در 3- ضرب کنید، آن را زیر 2- قرار دهید و جمع بزنید. حاصلجمع را در 3- ضرب کنید، حاصلضرب را زیر 28- قرار دهید، و به همین ترتیب تا آخر ادامه بدهید.


چهار عدد اول که در پایین نوشته شده اند ضریب های خارج قسمت (quotient) می باشند، و 0 باقیمانده می باشد. هنگامی که از تقسیم مصنوعی استفاده می کنید که در فاکتورگیری از آن کمک بگیرید، باقیمانده 0 چیزی است که بدنبالش هستید. آن به شما می گوید که دوجمله ای به صورت برابر تقسیم را انجام می دهد و یک فاکتور می باشد. هم اکنون چندجمله ای می تواند به شکل زیر نوشته شود:


سپس، می توانید ببینید آیا چندجمله ای درجه سوم که در داخل پرانتز می باشد می تواند فاکتورگیری شود. (همانطور که معلوم است، چند جمله ای اول می باشد.)

انتخاب اعداد برای تقسیم مصنوعی

تقسیم مصنوعی سریع، شسته و رفته، و نسبتاً بی دردسر می باشد. اما حتی کارهای سریع، شسته و رفته، و بدون دردسر نیز، در صورتی که آنها را بدون نتایج خوب بکار ببرید، می توانند خسته کننده شوند. هنگامی که در حال تعیین یک فاکتور برای یک چندجمله ای خاص می باشید، نیاز به چند سرنخ دارید. برای مثال، شما ممکن است تعجب کنید که آیا یا چندین دوجمله ای دیگر فاکتوری از عبارت می باشند. من صرفاً با نگاه کردن به دوجمله ای می توانم به شما بگویم که این مورد کار نخواهد کرد و دو فاکتور دیگر به درستی جواب می دهند. اما من چطور توانستم این کار را بکنم؟

قضیه ی ریشه ی گویا (rational root theorem) به شما می گوید اگر یک عدد گویا (rational number) - عددی که می تواند به شکل یک کسر نوشته شود - یک راه حل با نام r باشد، معادله زیر را داریم:


با استفاده از قضیه ریشه گویا در فاکتورگیری، من صرفاً پاسخهای ممکن این معادله را پیدا می کنم و تقسیم مصنوعی را صرفاً برای این موارد ممکن انجام می دهم.

مثال: با استفاده از تقسیم مصنوعی، قضیه ریشه گویا، و قضیه فاکتور (factor theorem) این عبارت را فاکتور بگیرید:

در ابتدا، من لیستی از راه حل های ممکن را در صورتیکه این یک معادله باشد، می سازم. تمامی فاکتورهای ثابت این موارد هستند:

سپس، من هر کدام از فاکتورها را بر فاکتورهای ضریب اول a_n تقسیم می کنم. در اینجا فرصت خوبی بدست من آمده است. اولین ضریب 1 می باشد، بنابراین نتیجه تقسیم صرفاً همان اعداد اصلی خواهند بود.

اکنون من از تقسیم مصنوعی استفاده می کنم تا ببینم آیا با هر کدام از این اعداد می توانم به باقیمانده 0 برسم:


عدد 1 یک راه حل می باشد، بنابراین یک فاکتور می باشد. دوباره نتایج را تقسیم می کنیم:


عدد 1- یک راه حل می باشد، بنابراین یک فاکتور می باشد. اعداد زیرین مضربهای فاکتور سه جمله ای که در دو فاکتور دو جمله ای ضرب شدند، می باشند، بنابراین شما می توانید بنویسید:


چیز زیباتر اینست که سه جمله ای نیز قابل فاکتورگیری می باشد، و نتیجه نهایی شما خواهد بود: