هنگامی که یک معادله جبری (algebraic equation) به شما داده می شود، کار عادی شما اینست که معادله را حل کنید. حل کردن یک معادله به این معنا می باشد که مقدار یا مقادیری را پیدا کنید تا جایگزین مقادیر نامعلوم شوند تا در نتیجۀ آن معادله را به یک بیانیه صحیح (true statement) تبدیل کنید. شما ممکن است قادر باشید پاسخ را حدس بزنید، اما برای همه معادله ها نمی توانید به آن روش تکیه کنید. برخی پاسخ ها نیز بسیار سخت تر از آن هستند که صرفاً با حدس زدن بتوانید به آنها برسید.





در این بخش، در مورد روش های تایید شده برای تغییر معادله اصلی به شکلی که پاسخ را به شما نشان بدهد، به شما خواهم گفت.

برقراری تعادل با عملیات دودویی (binary operations)

یکی از کارآمدترین و ساده ترین روش های تغییر قالب یک معادله انجام عملیات حسابی (arithmetic operations) بر روی هر سمت از معادله می باشد.

یک الاکلنگ یا ترازوی تعادلی را تصور کنید. هنگامی که الاکلنگ در وضعیت تعادل باشد، دو انتهای آن در یک سطح قرار دارند، و تخته آن با زمین موازی می باشد. با یک ترازوی تعادلی، شما اشیاء را به این شیوه وزن می کنید که آن شیء را در یک سینی قرار می دهید و سپس وزنه های شناخته شده ای را در سمت دیگر قرار می دهید تا اینکه دو سینی در تعادل قرار بگیرند. معادلات جبری با تعادل آغاز می شوند، و کار شما اینست که این حالت تعادل را حفظ کنید.

جمع یا تفریق در هر سمت

هنگامی که شکل یک معادله را تغییر می دهید، اگر مقداری را به یک سمت معادله اضافه کنید (یا مقداری را کم کنید)، باید همان کار را به صورت یکسان در سمت دیگر معادله نیز انجام بدهید.

در اینجا چند مثال از اضافه کردن یا تفریق کردن در هر دو طرف معادله را می بینید:

ضرب کردن هر سمت در عددی یکسان

شما می توانید هر سمت از معادله را در هر عددی ضرب کنید و برابری بیانیه تغییری نخواهد کرد. شما حتی می توانید هر سمت از معادله را در 0 ضرب کنید و برابری تغییر نخواهد کرد (زیرا شما خواهید داشت 0 = 0)، اما در اینصورت دیگر کار زیادی برای انجام دادن نخواهید داشت. و شما می توانید با ضرب کردن دو طرف در 0، یک بیانیه نادرست را به یک بیانیه درست تبدیل کنید. و این بازی عادلانه نیست.

مثال:فرض کنید معادله را دارید. هر دو سمت معادله را در 10 ضرب کنید تا آن را حل نمایید. یادتان باشد: شما باید هر کدام از این سه جمله را در 10 ضرب کنید.

تقسیم کردن هر سمت در عددی یکسان

اگر هر دو سمت یک معادله جبری را در عددی یکسان تقسیم کنید، آن معادله در حالت تعادل باقی می ماند - با معادله اصلی پاسخ یکسانی خواهد داشت. یک استثناء برای این قانون تقسیم بر 0 می باشد، شما نمی توانید این کار را انجام بدهید.

معمولاً شما وسوسه نمی شوید که بر 0 تقسیم کنید، اما ممکن است به صورت اتفاقی این کار را انجام بدهید. برای مثال، ممکن است تصمیم بگیرید که هر دو سمت یک معادله را بر روی دو جمله ای تقسیم کنید. به نظر بی ضرر می رسد، اما اگر مقدار x برابر با 2 باشد چطور؟ در آن صورت شما ناخواسته تقسیم بر 0 را انجام داده اید و با یک حالت بدون پاسخ و تعریف نشده مواجه خواهید شد. همچنین تقسیم بر 0 منجر می شود تا شما پاسخ را از دست بدهید.

مثال: فرض کنید با این معادله مواجه شده اید: . هر دو سمت معادله را بر 10 تقسیم کنید:


یادتان باشد: هر جمله واحد بر عدد مربوطه تقسیم می شود.

مثال: ابن معادله را حل کنید:

هر دو سمت معادله را بر x تقسیم کنید. صبر کنید! این همان وضعیتی است که قبلاً در موردش هشدار داده بودم. در معادله اصلی، شما دو پاسخ یا راه حل متفاوت برای معادله می بینید. x می تواند 4 شود که در نتیجه آن معادله 16 = 16 می شود، یا اینکه x می تواند 0 باشد و در نتیجه آن معادله 0 = 0 خواهد بود. هر کدام از این دو عدد می توانند معادله را به یک بیانیه صحیح تبدیل کنند. اما، اگر هر دو سمت معادله را بر x تقسیم کنید، شما راه حل 0 = x را از دست خواهید داد:

هر دو سمت را به توان دوم برسانید و عواقب آن را بپذیرید

برای حل کردن برخی از معادله ها لازم است که آنها را به توان دوم برسانید. کاندیداهای واضح برای مربع کردن، معادله هایی هستند که شامل رادیکال ها می باشند. مربع کردن هر دو سمت یک معادله یک تکنیک مفید است، اما همراه با یکسری ملاحظات می باشد. با این ملاحظات برخورد کنید و همه چیز روبراه خواهد بود. اجازه دهید به شما نشان دهم چه اتفاقی می افتد و چه زمانی مراقب قسمتهای مهارت آمیز باشید.

به عنوان مثال، معادله را در نظر بگیرید. اگر من هر دو طرف را مربع کنم، رادیکال ها ناپدید می شوند: ، که به من نتیجه را می دهد. این روش به من جواب داد! پس مشکل بزرگ چیست؟

به این مثال نگاه کنید: من با عبارت آغاز می کنم. این بیانیه اشتباه می باشد، اما اگر من هر دو سمت را مربع کنم، بیانیه صحیح خواهد شد: که به من نتیجه 25 = 25 را می دهد. شما ممکن است بگویید که هرگز چنین کاری نخواهید کرد - یک بیانیه ناصحیح را دریافت کرده و آن را به یک بیانیه صحیح تبدیل کنید. اما اگر عبارت اصلی دارای متغیر باشد، ممکن است سهواً این کار را انجام بدهید.

برای مثال، اگر من با معادله کار را آغاز کنم و هر دو طرف را مربع کنم، به معادله خواهم رسید. در اینجا دو عدد معادله دوم را صحیح خواهند کرد - هم عدد 10 و هم عدد 10- این معادله را صحیح خواهند کرد. اما 10- یک راه حل برای معادله اصلی نمی باشد: ، زیرا جذر 100 تنها 10+ می شود.

در فصل 14، چگونگی حل کردن معادله های شامل رادیکال و همینطور چگونگی برخورد با معادله های بدون پاسخ را به شما نشان می دهم.

ریشه گیری از هر دو سمت

متضاد مربع کردن هر دو سمت یک معادله اینست که از هر دو سمت آن ریشه گیری کنید. اگر متغیر شما به توان دوم رسیده باشد، سپس ریشه دوم آن را بگیرید. اگر متغیر شما به توان سوم رسیده باشد، ریشه سوم آن را بگیرید، و به همین ترتیب.

در مثال قبلی، به شما گفتم که تنها برابر با 10+ می باشد. هنگامی که با معادله ای که شامل رادیکالی مانند این باشد آغاز می کنید، سپس فقط پاسخهای مثبت را در نظر بگیرید. اما - و مشکل همینجاست - هنگامی که با توان دوم آغاز می کنید و جذر آن را می گیرید، می توانید هر دو پاسخ مثبت و منفی را در نظر بگیرید.

در اینجا چند مثال از گرفتن ریشه دوم (جذر) هر دو سمت یک معادله را می بینید:

• : با گرفتن جذر، شما یک علامت در برابر رادیکال قرار می دهید تا نشان دهید که هر دو مقدار مثبت و منفی می توانند آن مقدار را به شما بدهند: ، به شما نتیجه را می دهد. قرار دادن علامت در هر دو سمت واقعاً بیش از حد نیاز می باشد. اگر هر دو سمت مثبت باشند، شما به خواهید رسید. اگر هر دو سمت منفی باشند، خواهید داشت ، که بعد از ضرب کردن هر دو سمت معادله در 1- می شود . اگر سمت چپ مثبت و سمت راست منفی باشد، شما به می رسید. اگر سمت راست مثبت و سمت چپ منفی باشد خواهید داشت ، که در صورت ضرب کردن هر دو سمت معادله در 1- با یکسان است. بنابراین، طبق قرارداد علامت را فقط در یک سمت معادله قرار می دهید.
  از همه اینها گذشته، آیا کاری که من کردم را فراموش نکنید؟ اگر اینطور است اجازه بدهید به شما بگویم که پاسخ می باشد، که معنایش اینست که یا .
  
  
• : با گرفتن جذر هر دو سمت، خواهید داشت یا . (من علامت را فقط در یک سمت قرار داده ام.) دو عددی که در این معادله درست کار می کنند 7 و 9- می باشند. (در این مورد در فصل 14 بیشتر خواهم گفت.)
  

لغو یک عملیات با متضاد آن

یک روش مفید که در هنگام کار با معادله ها مورد استفاده قرار می گیرد اینست که مقدار یکسانی را در یک سمت معادله اضافه و تفریق کنید - یا در یک سمت معادله مقدار یکسانی را ضرب و تقسیم کنید. به معادله های زیر نگاه کنید:


شما احتمالاً به این معادله ها نگاه کنید و بگویید "خوب، این که مزیتی ندارد!" و البته من هم شما را سرزنش نمی کنم. من این مطلب را در اینجا صرفاً برای تاکید بر روی حفظ تعادل معادله مطرح کردم. در فصل 19 دوباره این مبحث را بازبینی می کنم و برایتان جزئیات بیشتری را تشریح می کنم.