کسرها به وفور در معادلات جبری ظاهر می شوند. در بخش قبلی در همین فصل، به شما نشان دادم که چگونه وقتی که در وضعیت مناسبی قرار داشته باشید، می توانید کسرها را از یک معادله حذف کنید. در این بخش، به شما نشان می دهم چگونه این کسرها را رها کنید، و از مزیت تنظیم کسری به نفع خودتان استفاده کنید.

ترویج تناسب های (proportions) کاربردی

تناسب (proportion) یک معادله می باشد. تناسب عبارت از دو نسبت (ratio) - نسبت ها را با کسر نیز نشان می دهند - می باشد، که برابر یکدیگر قرار داده شده اند. هنگامی که می نویسید ، یک تناسب را نوشته اید. قبل از اینکه به شما نشان بدهم چگونه با استفاده از تناسب ها می توانید مسأله های جبری را حل کنید، چند تا از ویژگیهای آنها را با شما در میان می گذارم:

با توجه به تناسب ،که به شکل کسر نوشته شده اند خواهیم داشت:

• حاصلضرب متقابل این نسبت ها با یکدیگر برابر می باشد:
  
• معکوس نسبت ها با یکدیگر برابر می باشد:
  
• شما می توانید طبق معمول کسرها را به صورت عمودی کاهش بدهید:
  
• شما می توانید به صورت افقی از این طرف به آنطرف علامت برابری، کسرها را کاهش بدهید: یا
  

اکنون از برخی از ویژگی های تناسب ها (proportions) برای حل معادله ها استفاده می کنم.

مثال: این معادله را برای بدست آوردن x حل کنید:

قبل از ضرب متقابل (cross-multiplying)، کسر موجود در سمت راست معادله را با تقسیم صورت و مخرج آن بر 3 کاهش بدهید:


اکنون از قانون ضرب متقابل استفاده کنید:


از هر دو سمت معادله 8x را تفریق کنید و 25 را به هر دو سمت بیفزایید:


در نهایت، هر سمت را بر 7 تقسیم کنید تا به پاسخ برسید.

مثال: این معادله را برای بدست آوردن y حل کنید:

اولین کاری که باید انجام بدهیم اینست که این معادله را به یک تناسب (proportion) تبدیل کنیم. دومین کسر را با افزون آن کسر به هر دو سمت معادله به سمت راست معادله ببرید:


اکنون از صورت هر دو کسر فاکتورگیری کنید و به صورت افقی کاهش را انجام بدهید:



در ادامه، ضرب متقابل و ساده سازی را انجام بدهید:


اکنون با تفریق 18y از هر دو سمت معادله و سپس افزون 25 به هر دو سمت، معادله را حل کنید:


و در نهایت هر دو سمت را بر 2 تقسیم کنید تا به پاسخ برسید.

تبدیل معادلات کسری (fractional equations) به تناسب ها

کار کردن با تناسب ها (Proportions)، به دلیل ویژگی های منحصر به فرد آنها در زمینه کاهش دادن و تبدیل آنها به معادلات غیر کسری، بسیار زیباست. با بسیاری از معادله هایی که شامل کسرها می باشند باید به همان شکل کسری اش برخورد شود، اما سایر معادلات به سادگی قابل تبدیل به تناسب ها می باشند. هر گاه که این تبدیل ها ممکن باشد، شما تمایل دارید که از مزایای آن استفاده کنید.

مثال: معادله زیر را برای بدست آوردن x حل کنید:


شما می توانید این مسأله را با ضرب کردن هر کسر در کوچکترین فاکتور مشترک هر سه کسر که 24 می باشد، حل کنید. گزینه دیگر اینست که یک مخرج مشترک برای دو کسر سمت چپ پیدا کنید و آن دو را از یکدیگر تفریق کنید، و سپس برای دو کسر سمت راست نیز به همین شکل مخرج مشترک بیابید و آنها را با یکدیگر جمع بزنید. نتیجه این کار یک تناسب خواهد شد:


این تناسب با تقسیم بر 2 می تواند به صورت افقی کاهش داده شود:


اکنون ضرب متقابل را انجام بدهید و حاصلضرب را ساده سازی کنید:


به هر دو سمت 12X را بیفزایید، سپس 39 را به هر دو سمت بیفزایید:


آخرین مرحله عبارت از اینست که هر دو سمت را بر 51 تقسیم کنید تا به برسید.