بسیاری از کاربردهای جبر شامل حل کردن معادلات درجه اول و درجه دوم می باشد. حتی در حساب دیفرانسیل و انتگرال (calculus) و فیزیک، این معادلاتِ دارای 1 و 2 توان به نظر می رسد که برای بیشتر کاربردها کفایت کنند. اگر این معادلات را به خوبی انجام بدهید، شما در کارتان خوب هستید. اما هر از گاهی، شما با یک معادله دارای بیش از توان 2 یا یک معادله دارای رادیکال یا توان کسری، سورپرایز می شوید. نیازی نیست وحشت زده شوید. شما می توانید با روشهای مختلفی با این معادله های سرکش برخورد کنید، و در این فصل، به شما خواهم گفت کارآمدترین این روشها کدامند. یک حلقه مشترک که در حل کردن این نوع معادلات خواهید دید اینست که معادلات را برابر با 0 قرار بدهید تا بتوانید از ویژگی ضرب در صفر (multiplication property of zero) برای پیدا کردن پاسخ استفاده کنید.

به خط کردن معادلات مکعبی (Cubic Equations)

معادلات مکعبی (Cubic Equations) شامل یک جمله متغیردار با توان 3 می باشند، اما توان آن بیشتر از 3 نمی باشد. در این معادلات، ممکن است انتظار شما این باشد که سه پاسخ متفاوت داشته باشید، اما ممکن است سه پاسخ نداشته باشد. همچنین، یک معادله مکعبی دست کم باید یک پاسخ داشته باشد، حتی اگر از آن معادله های خوب نباشد. یک معادله درجه دوم (quadratic equation) این تضمین را ارائه نمی دهد: معادلات درجه دوم مجبور نیستند پاسخهای حقیقی داشته باشند.

اگر یک معادله درجه دوم بتواند تا دو پاسخ متفاوت داشته باشد و یک معادله درجه سوم بتواند تا سه پاسخ متفاوت داشته باشد، آیا فکر می کنید که الگویی وجود داشته باشد؟ آیا گمان می کنید که معادلات درجه چهارم بتوانند دارای چهار پاسخ باشند و معادلات درجه پنجم ... ؟ بله، حقیقتاً می توانید - این یک قانون کلی است. درجه یک معادله می تواند به شما بگوید، حداکثر تعداد پاسخها می تواند چند پاسخ باشد. اگرچه، ممکن است تعداد پاسخها کمتر از تعداد درجه (توان) باشد، اما بیشتر از آن تعداد نخواهد شد.

حل کردن معادلات مکعب کامل

اگر یک معادله مکعبی فقط دو جمله داشته باشد و هر دوی آن جملات مکعب کامل باشند، کار شما راحت خواهد بود. مجموع یا تفاضل مکعب های کامل می توانند به دو عامل، فاکتورگیری گردند که فقط یک پاسخ در پی خواهد داشت. اولین فاکتور، یا دو جمله ای (binomial)، به شما یک پاسخ می دهد. دومین فاکتور، یا سه جمله ای (trinomial)، به شما پاسخی را نمی دهد. (اگر چگونگی فاکتورگیری از این مکعبها را به خاطر نمی آورید، فصل 10 را ببینید.)

اگر \(x^3-a^3=0\)، سپس \(x^3-a^3=(x-a)(x^2+ax+a^2)=0\) و \(x=a\) تنها پاسخ خواهد بود. به همین ترتیب، اگر \(x^3+a^3=0\) ، سپس \( (x+a)(x^2-ax+a^2)=0 \) و \(x=-a\) تنها پاسخ خواهد بود. دلیل اینکه شما فقط یک پاسخ برای هر کدام از این مکعب ها دارید اینست که \(x^2+ax+a^2=0\) و \(x^2-ax+a^2=0\) هیچ پاسخ حقیقی ندارند. این سه جمله ای ها را نمی توان فاکتورگیری کرد، و استفاده از فرمول حل معادلات درجه دوم نیز به شما پاسخ های موهومی (imaginary) می دهد. (برای اطلاعات بیشتر در مورد نتایج موهومی فصل 13 را ببینید.)

کلید حل کردن معادلات مکعبی که دارای دو جمله هستند که هر دو مکعبند تشخیص آن چیزی است که در اختیار دارید.

مثال: معادله \(x^3-8=0\) را برای \(x\) حل کنید.

1. ابتدا فاکتورگیری کنید.
   نتیجه فاکتورگیری \(x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)\) می شود.
   
2. ویژگی ضرب در صفر (MPZ) را بکار بگیرید.
   اگر \((x-2)(x^2+2x+4)=0\) ، سپس \(x-2=0\) یا \(x^2+2x+4=0\).
   

فقط معادله اول یعنی \(x-2=0\) یک پاسخ دارد: \(x=2\). معادله دیگر، هیچ پاسخی ندارد. در اینجا تنها یک پاسخ داریم.

دو مثال بعدی اشکال دیگری از این معادلات مکعبی خاص را به شما نشان می دهد.

مثال: معادله \(27y^3+64=0\) را با استفاده از فاکتورگیری برای \(y\) حل کنید. نتیجه فاکتورگیری در اینجا می شود:
$$27y^3+64=(3y+4)(9y^2-12y+16)$$
اولین فاکتور یک راه حل ارائه می دهد، بنابراین \(3y+4\) را برابر صفر قرار دهید تا به نتیجه \(3y=-4\) یا \(y=-{4 \over 3}\) برسید.

مثال: معادله \(8a^3-(a-2)^3=0\) را با روش فاکتورگیری برای \(a\) حل کنید.

در اینجا فاکتورگیری مشابه فاکتورگیری از تفاضل بین دو مکعب می باشد. فقط به دلیل اینکه جمله دوم یک دوجمله ای می باشد، کار کمی پیچیده تر است:
$$ 8a^3 - (a-2)^3 = [2a-(a-2)][4a^2+2a(a-2)+(a-2)^2]=0 $$
با توزیع علامت منفی، محتویات کروشه اول را ساده سازی کنید:
$$ [2a-(a-2)]=[2a-a+2]=[a+2] $$
فاکتور اول را برابر با صفر قرار دهید، خواهید داشت:
$$ a+2=0 $$
$$ a=-2 $$
طبق معمول، فاکتور دوم پاسخ حقیقی به شما نمی دهد، حتی اگر آن را توزیع کنید، دوجمله ای را مربع کنید، و تمامی جملات مشابه را ترکیب کنید، باز هم به پاسخی نخواهید رسید.

کار کردن با معادلاتی که مکعب کامل نیستند

اگر یک معادله مکعبی داشته باشید که عبارت از تنها دو جمله باشد، و اگر هر دوی آن جمله ها مکعب کامل باشند، شما می توانید آن جملات را فاکتورگیری نمایید. اما اگر متغیر مکعب باشد و جمله دیگر یک ثابت باشد که مکعب کامل نباشد، چه می شود؟ آیا شما گیر خواهید کرد؟ قطعاً نه - البته تا زمانیکه بخواهید با اعداد گنگ (irrational) کار کنید.


وقتی که در زیر رادیکال مکعب کامل نداشته باشید، ریشه های مکعب اعدادی گنگ هستند. اعداد گنگ دارای ارقام اعشاری هستند که بدون هیچ نوع الگوی تکراری تا ابد ادامه پیدا می کنند.

مثال: معادله \(5x^3-4=0\) را برای \(x\) حل کنید.

بنابر قانون، پاسخ \(x= \sqrt[3] {4 \over 5}\) می باشد، که تقریباً برابر با \(0.9283177667\) می باشد. اگر ترجیح می دهید برای حل این نوع معادله ها با هیچ قانون خاصی روبرو نشوید می توانید از قانونی شبیه قانون جذر (square root rule) که در فصل 13 بیان داشتیم استفاده کنید، با این استثناء که در اینجا به جای جذر (ریشه دوم) مقدار ریشه سوم را بدست آورید. برای این منظور معادله اصلی را به شکل \(5x^3=4\) بازنویسی کنید. سپس هر سمت از معادله را بر 5 تقسیم کنید و ریشه مکعب (cube root) هر سمت را بگیرید. هم اعداد مثبت و هم اعداد منفی دارای ریشه سوم می باشند، بنابراین اگر در زیر رادیکال یک عدد منفی داشته باشید مهم نیست.

پیش به سوی بزرگترین فاکتور مشترک

نوع دیگری از معادلات مکعبی که حل کردنش آسان می باشد نوعی است که در آن شما می توانید یک عامل مشترک را فاکتورگیری کنید، و در نتیجه فاکتورگیری، یک معادله خطی (linear) یا یک معادله درجه دوم (quadratic) بر جای بماند. شما با بکار بردن ویژگی ضرب در صفر می توانید پاسخ معادله را بیابید.

فاکتورگیری یک متغیر درجه اول

هنگامی که جملات یک معادله مکعبی سه جمله ای همگی دارای متغیر درجه اول (first-degree) یکسان به عنوان یک فاکتور باشند، سپس آن متغیر را فاکتورگیری کنید. معادله بدست آمده در نتیجه این فاکتورگیری، آن متغیر را به عنوان یک فاکتور دارد و یک عبارت درجه دوم (quadratic expression) را به عنوان فاکتور دومش دارد. وقتی که ویژگی ضرب در صفر را بکار می برید، آن متغیر درجه اول همیشه پاسخ 0 را به شما می دهد. اگر معادله درجه دوم پاسخهایی داشته باشد، شما می توانید آن پاسخها را با استفاده از روش هایی که در فصل 13 گفتیم، حل کنید.

مثال: معادله \(x^3-4x^2-5x=0\) را برای \(x\) حل کنید.

1. تعیین کنید که اگر هر جمله دارای فاکتوری از \(x\) باشد، آن را فاکتور بگیرید.
   در اینجا بزرگترین فاکتور مشترک \(x\) می باشد. با فاکتور گرفتن \(x\) خواهیم داشت:
   $$ x(x^2-4x-5)=0 $$
   شما آماده اعمال ویژگی ضرب در صفر می باشید که متوجه می شوید فاکتور دوم، یک عبارت درجه دوم، می باشد و خودش قابل فاکتورگیری است. ابتدا آن را انجام بدهید و سپس از ویژگی ضرب در صفر استفاده کنید.
   
   
2. اگر شدنی باشد، عبارت درجه دوم (quadratic expression) را فاکتورگیری کنید.
   $$ x(x^2-4x-5) = x(x-5)(x+1) = 0 $$
   
3. ویژگی ضرب در صفر (MPZ) را بکار ببندید و معادله را حل کنید.
   با قرار دادن تک تک فاکتورها برابر با 0 خواهیم داشت: \(x=0\) یا \(x-5=0\) یا \(x+1=0\) . این به این معنا می باشد که \(x=0\) یا \(x=5\) و یا \(x=-1\) .
   
   
4. پاسخها را در معادله اصلی جایگزین کرده و درست آزمایی را انجام بدهید.
   اگر \(x=0\)، سپس \(0^3-4(0)^2-5(0)=0-0-0=0\) .
   اگر \(x=5\) ، سپس \(5^3-4(5)^2-5(5)=125-4(25)-25=125-100-25=0\) .
   اگر \(x=-1\) ، سپس \(-1^3-4(-1)^2-5(-1)=-1-4(1)+5=-1-4+5=0\) .
   هر سه پاسخ به درستی کار می کنند!
   

مثال: معادله \(z^3+z^2+z=0\) را برای \(z\) حل کنید.

1. تعیین کنید که هر جمله فاکتوری از \(z\) داشته باشد و آن را فاکتور بگیرید.
   دوباره، اینجا هم یک عامل مشترک داریم و این بار آن عامل مشترک \(z\) می باشد. \(z\) را فاکتور بگیرید و خواهید داشت: \(z(z^2+z+1)=0\)
   
   
2. اگر شدنی باشد، عبارت درجه دوم را فاکتور بگیرید.
   اینجا جایی است که شما گیر می کنید. با وجود اینکه می توانید با استفاده از فاکتورگیری و یا فرمول حل معادلات درجه دوم برای معادله \(z^2+z+1=0\) پاسخهایی را بیابید، با بررسی متوجه می شوید که روش فاکتورگیری میسر نیست و در روش فرمول درجه دوم نیز به پاسخهای موهومی (imaginary) می رسید. بنابراین تنها پاسخ این معادله \(x=0\) می باشد.
   

فاکتورگیری یک متغیر درجه دوم

درست شبیه فاکتورگیری از متغیر درجه اول، شما همچنین می توانید یک متغیر درجه دوم (یا درجه سوم، درجه چهارم و ...) را نیز فاکتور بگیرید. فاکتورگیری شما را با عبارات دیگری باقی می گذارد که ممکن است پاسخهای اضافی داشته باشند.

مثال: معادله \(w^3-3w^2=0\) را برای \(w\) حل کنید.

1. تعیین کنید که هر جمله فاکتوری از \(w^2\) داشته باشد و آن را فاکتور بگیرید.
   با فاکتور گرفتن \(w^2\) خواهید داشت : \(w^3-3w^2=w^2(w-3)=0\)
   
   
2. از ویژگی ضرب در صفر (MPZ) استفاده کنید.
   \(w^2=0\) یا \(w-3=0\)
   
   
3. معادلات بدست آمده را حل کنید.
   حل کردن معادله اول شامل گرفتن ریشه دوم (جذر) هر دو سمت معادله می باشد. این رویه معمولاً منجر به ایجاد دو پاسخ متفاوت می گردد - یک پاسخ با علامت مثبت و یک پاسخ با علامت منفی. اگر چه در مورد \(w^2=0\) اینطور نیست، زیرا 0 نه مثبت و نه منفی است. بنابراین تنها یک پاسخ برای این فاکتور وجود دارد: \(w=0\) . و فاکتور دیگر نیز به شما پاسخ \(w=3\) را می دهد. بنابراین اگرچه این یک معادله مکعبی بود، اما فقط دو پاسخ برای آن وجود داشت.
   

مثال: معادله \(9t^3+108t^2+288t=0\) را برای \(t\) حل کنید. بزرگترین عامل مشترک را فاکتور بگیرید. بزرگترین فاکتور مشترک این سه جمله \(9t\) می باشد. آن را فاکتور بگیرید تا به نتیجه زیر برسید:
$$ 9t^3+108t^2+288t = 9t(t^2+12t+32) = 0 $$
شما می بینید که سه جمله ای داخل پرانتز قابل فاکتورگیری می باشد، و به شما این نتیجه را می دهد:
$$ 9t(t+4)(t+8)=0 $$
با استفاده از ویژگی ضرب صفر (MPZ) این معادله را حل کنید: \(9t=0\) یا \(t+4=0\) و یا \(t+8=0\) . به این معنا می باشد که : \(t=0\) یا \(t=-4\) یا \(t=-8\) .

گروه بندی مکعب ها

گروه بندی (Grouping) یک شکل از فاکتورگیری می باشد که شما می توانید در مواقعی که چهار یا تعداد بیشتری جمله دارید که یک فاکتور مشترک در بین تمامی جملات ندارند، از آن استفاده کنید. این چهار یا بیشتر جمله، در صورتی که جفت هایی از جملات دارای فاکتور مشترکی باشند، ممکن است گروه بندی شوند. روش گروه بندی درفصل 8 پوشش داده شده است. در اینجا مثالی را برای شما می زنم، اما اگر می خواهید جزئیات بیشتری در مورد گروه بندی بدانید، فصل 8 را ببینید.

مثال: معادله \(x^3+x^2-4x-4=0\) را برای \(x\) حل کنید.

1. از گروه بندی برای فاکتورگیری استفاده کنید، \(x^2\) را از دو جمله اول بیرون بکشید و \(-4\) را نیز از دو جمله بعدی بیرون بکشید. سپس \((x+1)\) را از جملاتی که ایجاد شده اند، فاکتور بگیرید.
   $$ x^3+x^2-4x-4=x^2(x+1)-4(x+1) = (x+1)(x^2-4)=0 $$
   
2. فاکتور دوم تفاضل بین دو مربع کامل می باشد و همچنین می تواند فاکتورگیری شود.
   $$ (x+1)(x^2-4)=(x+1)(x-2)(x+2)=0 $$
   
3. با استفاده از ویژگی ضرب صفر (MPZ) معادله را حل کنید:
   \(x+1=0\) یا \(x-2=0\) یا \(x+2=0\) ، که معنایش می شود \(x=-1\) یا \(x=2\) یا \(x=-2\) .
   

در این مورد سه پاسخ متفاوت وجود داشت، اما گاهی اوقات فقط یک یا دو پاسخ را بدست می آورید.

حل کردن معادلات مکعبی با اعداد صحیح (integers)

اگر شما نتوانید یک معادله درجه سوم (third-degree equation) را با مجموع یا تفاضل مکعب ها، فاکتورگیری، یا گروه بندی پیدا کنید، می توانید یک روش دیگر را هم امتحان کنید که اگر پاسخها عدد صحیح (integers) باشند، این روش می تواند تمامی پاسخها را بیابد. معادلات مکعبی می توانند یک، دو، یا سه پاسخ صحیح (integer) متفاوت داشته باشند. اینکه هر سه پاسخ عدد صحیح باشند معمولاً تنها زمانی اتفاق می افتد که ضریب جمله درجه سوم برابر با 1 باشد. صرفاً اینکه ضریب جملۀ دارای توان سوم برابر با 1 باشد تضمین نمی کند که پاسخها عدد صحیح باشند، اما اگر مورد شما از این نوع باشد این احتمال بیشتر است. اگر ضریب جملۀ دارای متغیری که به توان سوم رسیده است برابر با 1 نباشد، سپس دست کم یکی از پاسخها ممکن است که یک کسر باشد. برای پیدا کردن پاسخها می توانید از تقسیم ترکیبی (Synthetic division) - به آن تقسیم مصنوعی نیز می گویند - نیز استفاده نمایید. شما همچنین می توانید در فصل 10 نیز اطلاعاتی را در مورد تقسیم ترکیبی (Synthetic division) بیابید.

مثال: پاسخهای معادله \(x^3-7x^2+7x+15=0\) را با استفاده از روش فاکتورهای اعداد صحیح (integer factors) بیابید. اگر تمامی پاسخها عدد صحیح باشند، برای پیدا کردن پاسخها مراحل زیر را دنبال کنید:

1. معادله مکعبی را به ترتیب نزولی توان متغیرها بنویسید. به جمله ثابت (constant term) نگاه کنید و تمامی اعدادی که آن عدد ثابت را به طور مساوی تقسیم می کنند (یعنی فاکتورهایش) را لیست کنید. یادتان باشد که هم اعداد مثبت و هم اعداد منفی را در این لیست بیاورید.
   در معادله مکعبی \(x^3-7x^2+7x+15=0\) ، معادله به ترتیب نزولی توان متغیرها می باشد، و ثابت \(15\) می باشد. لیست اعدادی که \(15\) را به طور برابر تقسیم می کنند عبارتند از: \( \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15 \) . این یک لیست طولانی است، اما شما به نحوی می دانید که اینها فاکتورهایی هستند که حاصلضرب آنها 15 می شود.
   
   
2. عددی را از این لیست بیابید که معادله را برابر 0 قرار بدهد.
   به عنوان اولین حدس عدد \(3\) را انتخاب کنید. با جایگزینی \(x=3\) خواهید داشت: \( (3)^3-7(3)^2+7(3)+15=27-63+21+15=63-63=0 \) . این درست کار کرد!
   
   
   نکته: به عنوان روش دیگری برای ارزیابی (evaluating) مکعب ها، فرآیند تقسیم ترکیبی (synthetic division) را در فصل 10 بررسی کنید.
   
   
   
3. ثابت را بر آن عدد تقسیم کنید.
   پاسخ این تقسیم ثابت جدید شما می باشد. در این مثال، 15 اصلی را بر 3 تقسیم کنید که نتیجه 5 می شود. در اینجا 5 ثابت جدید شما می باشد.
   
   
4. لیستی از اعدادیکه ثابت جدید را به صورت برابر بخش می کنند، بسازید.
   برای ثابت جدید یعنی 5 یک لیست جدید بسازید. اعدادی که 5 را به طور برابر بخش می کنند، عبارتند از: \( \pm1, \pm5 \) .
   
   
5. از لیست جدید عددی را بیابید که معادله با آن درست کار کند (معادله با آن عدد برابر با 0 باشد).
   \(x=1\) را امتحان کنید، خواهید داشت:
   $$ (1)^3-7(1)^2+7(1)+15=1-7+7+15=23-7=16 $$ .
   معادله با این عدد درست کار نکرد، بنابراین عدد دیگری را از لیست انتخاب کنید. \(x=5\) را امتحان کنید، خواهید داشت:
   $$ (5)^3-7(5)^2+7(5)+15=125-175+35+15=175-175=0 $$ .
   درست کار کرد.
   
   
6. ثابت جدید را با جدیدترین پاسخ تقسیم کنید.
   آن پاسخ به شما انتخابی برای آخرین پاسخ را می دهد.
   با تقسیم ثابت جدید 5 بر 5، به 1 می رسید. تنها اعدادی که 5 را به طور برابر بخش می کنند شامل \(1\) و \(-1\) می باشند. از آنجا که 1 را قبلاً امتحان کردید و درست از آب در نیامد، به این معنا می باشد که آخرین پاسخ شما \(-1\) می باشد.
   اگر \(x=-1\) ، خواهیم داشت:
   $$ (-1)^3-7(-1)^2+7(-1)+15=-1-7-7+15=0 $$
   این پاسخ درست کار کرد. بنابراین پاسخهای شما برای معادله \(x^3-7x^2+7x+15=0\) عبارتند از:
   $$ x=3, x=5, x=-1 $$
   این پاسخها همچنین به این معنا می باشند که شکل فاکتور گیری شدۀ این معادله مکعبی اینست:
   $$ (x-3)(x-5)(x+1)=0 $$
   

اوه! حقیقتاً مراحل به این می گویند! در اینجا یک مثال دیگر داریم.

مثال: معادله \( y^3-4y^2+5y-2=0 \) را برای \(y\) حل کنید.

1. این معادله هم اکنون در ترتیب نزولی توان متغیرها می باشد. لیستی از اعدادی بسازید که ثابت \(-2\) را به طور برابر بخش می کنند، شما لیست کوتاهی خواهید داشت: \( \pm1, \pm2 \)
   
   
2. عددی را از لیست بیابید که معادله را برابر با 0 قرار دهد. با \(y=1\) خواهید داشت:
   $$ (1)^3-4(1)^2+5(1)-2=1-4+5-2=0 $$
   این پاسخ کار کرد. تنها اشکال در اینجا اینست که اگر سعی کنید ثابت را کوچکتر کنید، نمی توانید. تقسیم بر 1 مقدار عدد را تغییر نمی دهد. خدا را شکر که در اینجا لیست ما کوتاه است!
   
   
3. عدد دیگری را امتحان کنید.
   اگر \(y=-1\) را امتحان کنیم، خواهیم داشت:
   $$ (-1)^3-4(-1)^2+5(-1)-2=-1-4-5-2=-1-11=-12 $$
   این پاسخ جواب نداد. بنابراین 2 را امتحان کنید.
   اگر \(y=2\) خواهیم داشت:
   $$ (2)^3-4(2)^2+5(2)-2=8-16+10-2=18-18=0 $$
   پاسخ 2 بدرستی کار کرد. بنابراین، اگر ثابت 2 را بر 2 تقسیم کنید، به 1 خواهید رسید. تنها فاکتورهای 1 برابر با \( 1,-1 \) می باشند. شما هم اکنون این دو پاسخ را امتحان کرده اید که 1 درست بود و 1- درست نبود. این به این معنا می باشد که پاسخ 1 دوباره درست کار خواهد کرد و شما یک ریشه مضاعف (double root) از 1 در این مسأله خواهید داشت. پاسخهای این مسأله عبارتند از:
   $$ y=1, y=1, y=2 $$
   

روشی که یک ریشۀ مضاعف (double root) در این نوع معادلات کار می کند اینست که پاسخ دو مرتبه در شکل فاکتورگیری شده ظاهر می شود. اگر شما از طریق بازگشت عملیات ویژگی ضرب صفر (MPZ) عمل کنید، فاکتورهایی که پاسخهای این معادله مکعبی را به شما می دهند به شکل زیر خواهند بود:
$$ y^3-4y^2+5y-2=(y-1)(y-1)(y-2)=0 $$
یا اگر بخواهیم ریشۀ مضاعف را واضحتر نشان بدهیم، خواهیم داشت:
$$ (y-1)(y-1)(y-2)=(y-1)^2(y-2)=0 $$