خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


معادلات شبه درجه دوم (quadratic-like)

معادلات شبه درجه دوم (quadratic-like)
نویسنده : امیر انصاری
برخی از معادلات دارای توان های بالا یا توانهای کسری، معادلات شبه درجه دوم (quadratic-like) می باشند، به این معنا که دارای سه جمله می باشند و

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



  • متغیر موجود در جمله اول یک توان زوج دارد \( (4, 6, 8, ...) \) یا \( ( {1 \over 2}, {1 \over 4}, {1 \over 6}, ... ) \) .
  • متغیر جمله دوم دارای توانی است که نصف توان جمله اول است.
  • جمله سوم یک عدد ثابت (constant number) است.

در حالت کلی، شکل یک معادله شبه درجه دوم (quadratic-like) این می باشد: \( ax^{2n}+bx^n+c=0 \) . درست همانند معادله درجه دوم کلی، \(x\) متغیر است و \(a,b,c\) اعداد ثابت می باشند. \(a\) نمی تواند 0 باشد، اما دو حرف دیگر یعنی \(b,c\) محدودیتی از این لحاظ ندارند و می توانند 0 باشند. همچنین \(n\) یک ثابت می باشد و می تواند هر عددی به غیر از 0 باشد. برای مثال اگر \(n=3\) ، معادله به این شکل خواهد بود: \(ax^6+bx^3+c=0\) .

برای حل کردن یک معادله شبه درجه دوم، ابتدا وانمود کنید که آن معادله یک معادله درجه دوم می باشد و از همان روشی که برای معادلات درجه دوم استفاده می کنید، برای معادلات شبه درجه دوم نیز استفاده کنید، فقط یک یا دو مرحله بیشتر باید انجام بدهید. این مراحل اضافی معمولاً شامل گرفتن یک ریشۀ اضافی یا رساندن به یک توان اضافی می باشند.

توجه کنید که هر کدام از معادلات شبه درجه دوم زیر تمامی شرایط لازم را دارند:
  • \( x^4-5x^2+4=0 \)
  • \( y^6+7y^3-8=0 \)
  • \( z^8+7z^4+6=0 \)
  • \( w^{1\over2}-7w^{1\over4}+12=0 \)

وقتیکه تشخیص دادید یک معادله شبه درجه دوم دارید، با دنبال کردن مراحل زیر آن را حل کنید:

  1. معادله شبه درجه دوم را به شکل یک معادله درجه دوم واقعی بازنویسی کنید، توان های واقعی را با توان 2 و توان 1 جایگزین کنید.
    نکته: حروف الفبای متغیرها را تغییر بدهید تا معادله بازنویسی شده را با معادله اصلی اشتباه نگیرید.
  2. معادله درجه دوم جدید را فاکتور گیری کنید. اگر معادله قابل فاکتورگیری نباشد از فرمول حل معادله درجه دوم (quadratic formula) استفاده کنید.
  3. جایگزینی را به حالت اول برگردانید و متغیرهای اصلی را جایگزین کنید.
  4. از ویژگی ضرب صفر (MPZ) برای یافتن پاسخها استفاده کنید.

بالاترین توان یک معادله، در زمانی که یک عدد صحیح (whole number) باشد، تعداد پاسخهای ممکن را به شما می گوید. تعداد پاسخهای ممکن از این تعداد بیشتر نخواهد بود.

مثال: معادله \(x^4-5x^2+4=0\) را برای \(x\) حل کنید.

  1. معادله را بازنویسی کنید، توان های اصلی را با اعداد 2 و 1 جایگزین کنید.
    این معادله را به شکل یک معادله درجه دوم با استفاده از ضریب ها (coefficients) و ثابت های یکسان بازنویسی کنید.
    نکته: حروف الفبای استفاده شده برای متغیرها را تغییر بدهید تا این معادله جدید را با معادله اصلی اشتباه نگیرید. \(q\) را جایگزین \(x^2\) کنید و \(q^2\) را جایگزین \(x^4\) کنید:
    $$ q^2 - 5q + 4 =0 $$
  2. معادله درجه دوم را فاکتورگیری کنید.
    نتیجه فاکتورگیری را در زیر می بینید:
    $$ q^2 - 5q + 4 =(q-4)(q-1)=0 $$
  3. جایگزینی را به حالت اول برگردانید و از الگوی فاکتورگیری برای فاکتورگیری معادله اصلی استفاده کنید.
    از الگوی یکسانی برای نوشتن فاکتورگیری مسأله اصلی استفاده کنید، از \(x^2\) استفاده کنید:
    $$ x^4 - 5x^2 + 4 =(x^2-4)(x^2-1)=0 $$
  4. با استفاده از ویژگی ضرب صفر (MPZ) معادله را حل کنید.
    اگر \(x^2-4=0\) سپس \(x^2=4\) و \(x=\pm2\).
    اگر \(x^2-1=0\) سپس \(x^2=1\) و \(x=\pm1\) .

این معادله درجه چهارم (fourth-degree equation) انتظاراتی را که در مورد تعداد پاسخها از آن می رفت، بخوبی برآورده کرد، و دارای چهار پاسخ بود.

مثال بعدی یک مسأله جالب را ارائه می دهد زیرا توانهای آن کسری هستند. اما این سه جمله ای (trinomial) در دسته بندی معادلات شبه درجه دوم قرار می گیرد، بنابراین من به شما نشان می دهم که چگونه می توانید از این شکل بهره ببرید و معادله را حل کنید. در اینجا قانون تعداد پاسخها بر اساس بالاترین توان درست کار نخواهد کرد. اینکه ما نیمی از پاسخ را برای یک معادله داشته باشیم، شدنی نیست.

مثال: این معادله را حل کنید: \( w^{1 \over 2} - 7w^{1 \over 4} + 12 =0 \)

  1. معادله را با توان های 2 و 1 بازنویسی کنید. \(q\) را با \(w^{1 \over 4}\) جایگزین کنید و \(q^2\) را با \(w^{1 \over 2}\) جایگزین کنید. (یادتان باشد: مربع کردن \(w^{1 \over 4}\) به شما نتیجه \( (w^{1 \over 4})^2 = w^{2 \over 4} = w^{1 \over 2} \) را می دهد. )
    نتیجه بازنویسی معادله این می شود:
    $$ q^2-7q+12=0 $$
  2. فاکتورگیری کنید.
    نتیجه فاکتورگیری \( (q-3)(q-4)=0 \) می شود.
  3. متغیرها را با معادله اصلی، و با استفاده از الگو، جایگزین کنید.
    با جایگزینی مقادیر معادله اصلی خواهید داشت: \( (w^{1 \over 4}-3)(w^{1 \over 4}-4)=0 \)
  4. معادله را برای مقدار اصلی \(w\) حل کنید.
    \( (w^{1 \over 4}-3)(w^{1 \over 4}-4)=0 \)
    اکنون اگر از ویژگی ضرب صفر (MPZ) استفاده کنید، به \(w^{1 \over 4} - 3 =0\) و \(w^{1 \over 4} - 4 =0\) می رسید. چگونه اینها را حل می کنید؟
    به \(w^{1 \over 4} - 3 =0\) نگاه کنید. با اضافه کردن \(3\) به هر سمت، به \(w^{1 \over 4} = 3 \) می رسید. شما می توانید این معادله را برای \(w\) با به توان 4 رساندن هر دو سمت معادله حل کنید: \( (w^{1 \over 4})^4 = (3)^4 \) . این به شما می گوید که \(w=81\) .
    با فاکتور دیگر نیز کار مشابهی را انجام بدهید. اگر \(w^{1 \over 4} - 4 =0\) سپس \(w^{1 \over 4} = 4 \) و \( (w^{1 \over 4})^4 = (4)^4 \) . این یعنی \(w=256\) .
  5. پاسخها را درست آزمایی کنید.
    اگر \(w=81\) خواهیم داشت:
    $$ (81)^{1 \over 2} - 7 (81)^{1 \over 4} + 12 = 9 - 7(3)+12=21-21=0 $$
    اگر \(w=256\) خواهیم داشت:
    $$ (256)^{1 \over 2} - 7 (256)^{1 \over 4} + 12 = 16-7(4)+12=28-28=0 $$
    هر دو پاسخ به درستی کار می کنند.

همانطور که در مثال بعدی خواهید دید، توان های منفی یکی دیگر از پیچ و تاب های جالب این نوع معادلات هستند.

مثال: معادله \(2x^{-6}-x^{-3}-3=0\) را برای \(x\) حل کنید.

  1. معادله را با توانهای 2 و 1 بازنویسی کنید. \(q\) را جایگزین \(x^{-3}\) کنید و \(q^2\) را جایگزین \(x^{-6}\) کنید.
    معادله را به شکل \( 2q^2-q-3=0 \) بازنویسی کنید.
  2. فاکتور بگیرید.
    نتیجه فاکتورگیری \( (2q-3)(q+1) \) می شود.
  3. به متغیرها و توانهای اصلی بازگردید.
    از این الگو استفاده کنید و معادله اصلی را به شکل زیر فاکتور بگیرید:
    $$ (2x^{-3}-3)(x^{-3}+1)=0 $$
  4. معادله را حل کنید.
    از ویژگی ضرب صفر (MPZ) استفاده کنید. دو معادله ای که باید حل کنید، عبارت از \(2x^{-3}-3=0\) و \(x^{-3}+1=0\) می باشند. این دو معادله تبدیل به \(2x^{-3}=3\) و \(x^{-3}=-1\) می گردند. این معادلات را با استفاده از تعریف توان منفی که در ادامه آمده است بازنویسی کنید.
    $$ x^{-n}={1 \over x^n} $$
    بنابراین، این دو معادله را می توان به شکل \( {2 \over x^3}=3 \) و \( {1 \over x^3} = -1 \) نوشت. با ضرب صلیبی (Cross-multiply) - طرفین وسطین کردن - در هر مورد به نتایج \(3x^3=2\) و \(x^3=-1\) می رسید. طرفین اولین معادله را بر \(3\) تقسیم کنید تا \(x^3\) را در یک سمت معادله منزوی کنید (تنها بگذارید)، و سپس ریشه مکعب (cube root) هر سمت را برای بدست آوردن \(x\) بگیرید. دو پاسخ این معادله را در ادامه می بینید:
    $$ x = \sqrt[3]{2 \over 3}$$
    $$ x = \sqrt[3]{-1} = -1 $$



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.