خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


تقسیم ترکیبی (synthetic division)

تقسیم ترکیبی (synthetic division)
نویسنده : امیر انصاری
معادلات مکعبی (Cubic equations) که دارای پاسخهایی از نوع اعداد صحیح زیبا می باشند، زندگی را ساده تر می کنند. اما این چقدر واقع بینانه است؟ بسیاری از پاسخهای معادلات مکعبی (درجه سوم) که زیبا پنداشته می شوند در واقع کسرها هستند. و اگر شما بخواهید افق دیدتان را فراتر از چندجمله ای های درجه سوم گسترش بدهید و بخواهید معادلات درجه چهارم، معادلات درجه پنجم، یا بالاتر را تجربه کنید، چه خواهد شد؟ تلاش برای حدس زدن پاسخها تا زمانیکه پاسخی را پیدا کنید که درست کار کند، خیلی زود می تواند روشی قدیمی و منسوخ شود.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



یک روش که با نام تقسیم ترکیبی (synthetic division) شناخته می شود (به آن تقسیم مصنوعی نیز می گویند) می تواند در مورد تمامی این نگرانی ها به شما کمک کند و کارهای دشوار و طاقت فرسا را کاهش بدهد. این تقسیم اندکی عجیب و غریب به نظر می رسد، این تقسیم ترکیب کردن است. ترکیب کردن (Synthesize) به این معنا می باشد که بخشهای جداگانه را گرد هم بیاورید. این چیزی است که یک ترکیب کننده (synthesizer) با موسیقی انجام می دهد. بنابراین یک آهنگ از بتهوون بگذارید و کار را ادامه بدهید.

تقسیم ترکیبی (مصنوعی) یک فرآیند تقسیم میانبر می باشد. این فرآیند ضریب های تمامی جملات در یک معادله را می گیرد و روشی را برای پیدا کردن پاسخ یک مسأله تقسیم صرفاً با ضرب کردن و جمع زدن، فراهم می کند. این رویه واقعاً شسته و رفته است. من از روش تقسیم ترکیبی برای کمک به پیدا کردن هم پاسخهای عدد صحیح و هم پاسخهای کسری برای معادلات چندجمله ای (polynomial equations) استفاده می کنم.

پیشتر در همین فصل، به شما نشان دادم که چگونه پاسخهای احتمالی را برای معادلات مکعبی که ضریب جمله اصلی (جمله دارای توان بالاتر) آنها 1 می باشد، انتخاب کنید. این بخش توانایی شما در یافتن پاسخهای گویا (rational) را افزایش می دهد. شما خواهید دید چگونه معادلات با درجه بالاتر از 3 را حل کنید، همینطور خواهید دید چگونه معادلاتی را که ضریب جمله اصلی آنها (جمله دارای توان بالاتر) چیزی به غیر از 1 باشد را نیز شامل این روش کنید.

برای آگاهی از مراحل خاصی که در تقسیم ترکیبی وجود دارند به فصل 10 مراجعه کنید. در این بخش، من بر روی پیدا کردن پاسخهایی برای چندجمله ای ها تمرکز می کنم و بخش فاکتورگیری را نادیده می گیرم.

در اینجا فرآیند عمومی استفاده کردن از این روش را می بینید:

  1. جملات معادله را به ترتیب نزولی توان متغیرها بنویسید.
  2. تمامی فاکتورهای ممکن برای جمله ثابت (constant term) را بنویسید.
  3. تمامی فاکتورهای ممکن برای ضریب بالاترین توان متغیرها را بنویسید. این عامل، ضریب پیشرو (lead coefficient) نامیده می شود.
  4. تمامی فاکتورهای مرحله 2 را بر فاکتورهای مرحله 3 تقسیم کنید.
    این لیست اعداد گویای احتمالی برای معادله شما می باشد.
  5. با استفاده از تقسیم ترکیبی احتمالات را درست آزمایی کنید.

مثال: پاسخهای این معادله را بیابید: \(2x^4+13x^3+4x^2=61x+30\)

  1. جملات معادله را به ترتیب نزولی توان متغیرها مرتب سازید.
    $$ 2x^4+13x^3+4x^2-61x-30=0 $$
  2. تمامی فاکتورهای ممکن جمله ثابت را لیست کنید.
    در اینجا جمله ثابت ما \(-30\) می باشد که فاکتورهای زیر را دارد:
    $$ \pm1, \pm2, \pm3, \pm5, \pm6, \pm10,\pm15, \pm30 $$
  3. تمامی فاکتورهای ممکن ضریب توان بالاتر (ضریب پیشرو) را لیست کنید.
    در اینجا ضریب پیشرو \(2\) می باشد که فاکتورهای آن \( \pm1, \pm2 \) می باشند.
  4. تمامی فاکتورهای مرحله 2 را بر فاکتورهای مرحله 3 تقسیم کنید. این لیست پاسخهای گویا (rational) محتمل می باشد.
    تقسیم کردن فاکتورهای \(-30\) بر \(+1\) لیست فاکتورها را تغییر نمی دهد. تقسیم کردن بر \(+2\) یا \(-2\) در مواقعی که عدد تقسیم شوند فرد باشد، کسرهایی را ایجاد می کند - اعداد زوج در واقع منجر به تولید همان اعداد موجود در لیست خواهند شد. بنابراین، لیست کامل پاسخهای احتمالی به شرح زیر می باشند:
    $$ \pm1, \pm2, \pm3, \pm5, \pm6, \pm10,\pm15, \pm30, \pm{1\over2}, \pm{3\over2}, \pm{5\over2}, \pm{15\over2} $$
  5. از تقسیم ترکیبی برای درست آزمایی احتمالات استفاده کنید.
    من ابتدا عدد \(2\) را به عنوان یک پاسخ احتمالی استفاده می کنم. عدد نهایی در تقسیم ترکیبی مقدار چندجمله ای است که با جایگزین کردن آن با \(2\) بدست می آورید، بنابراین عدد نهایی باید 0 گردد.
    $$ \begin{array}{c|rrrrr}& 2x^4 & 13x^3 & 4x^2 & -61x & -30\\ & 2 & 13 & 4 & -61 & -30\\ {\color{red}2} & \downarrow & 4 & 34 & 76 & 30\\ \hline & 2 & 17 & 38 & 15 & |\phantom{-} {\color{blue}0} \end{array} $$
    \(2\) یک پاسخ می باشد، زیرا عدد نهایی (آن چیزی که در ارزیابی عبارت با عدد \(2\) بدست می آورید) برابر با \(0\) می باشد.
    اکنون به ردیف پایین تقسیم ترکیبی نگاه کنید و از ضریب پیشرو \(2\) و عدد ثابت \(15\) استفاده کنید. اکنون می توانید انتخابهای خودتان را صرفاً محدود به فاکتورهای \(+15\) و نتیجه تقسیم آن بر \(2\) محدود کنید. لیست تجدید نظر شده شامل فاکتورهای زیر می باشد:
    $$ \pm1, \pm3, \pm5, \pm15, \pm{1\over2}, \pm{3\over2}, \pm{5\over2}, \pm{15\over2} $$
    من احتمالاً باید فقط اعداد صحیح را قبل از اعداد کسری امتحان کنم، اما برای اینکه می خواهم ببینید یک عدد کسری در تقسیم ترکیبی به چه شکلی می باشد، انتخاب من \(-{1\over2}\) می باشد. تنها از نتایج تقسیم قبلی (آخرین ردیف) برای تقسیم جدید استفاده کنید.
    $$ \begin{array}{c|rrrr}& 2 & 17 & 38 & 15\\ {\color{red}{-{1\over2}}} & \downarrow & -1 & -8 & -15 \\ \hline & 2 & 16 & 30 & |\phantom{-} {\color{blue}0} \end{array} $$
    چه انتخاب خردمندانه ای بود! این عدد درست کار کرد و یکی از پاسخها می باشد. شما می توانید تقسیمات ترکیبی را ادامه بدهید، اما در این مرحله، من معمولاً کار را متوقف می کنم. سه عدد موجود در ردیف پایینی یک معادله درجه دوم را نشان می دهند. این سه جمله ای را بنویسید، آن را فاکتورگیری کنید، از ویژگی ضرب صفر استفاده کنید، و دو پاسخ آخر را نیز پیدا کنید.
    معادله درجه دوم ارائه شده توسط ردیف آخر عبارتست از: \(2x^2+16x+30=0\) .
    ابتدا \(2\) را از تمامی جملات فاکتور بگیرید. سپس سه جمله ای را فاکتورگیری کنید:
    $$ 2(x^2+8x+15)=2(x+3)(x+5)=0 $$
    پاسخهای بدست آمده از سه جمله ای فاکتورگیری شده عبارت از \(x=-3\) و \(x=-5\) می باشند. این دو پاسخ را به دو پاسخ قبلی یعنی \(x=2\) و \(x=-{1\over2}\) اضافه کنید، در مجموع شما برای این معادله چهار پاسخ دارید.
    چی شد؟ چرا از من رنجیدید! احتمالاً شما از من انتظار داشتید که مسأله را با تقسیم ترکیبی انجام بدهم؟ اوکی. از همان نقطه که تقسیم ترکیبی را متوقف کردم دوباره ادامه می دهم و دو تقسیم ترکیبی نهایی را نیز در ادامه آورده ام:
    $$ \begin{array}{c|rrr}& 2 & 16 & 30 \\ {\color{red}{-3}} & \downarrow & -6 & -30 \\ \hline & 2 & 10 & |\phantom{-} {\color{blue}0} \end{array} $$

    و در نهایت:
    $$ \begin{array}{c|rr}& 2 & 10 \\ {\color{red}{-5}} & \downarrow & -10 \\ \hline & 2 & |\phantom{-} {\color{blue}0} \end{array} $$



نمایش دیدگاه ها (1 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.