نابرابری های خطی (Linear Inequalities)، مشابه معادلات خطی، آن گزاره هایی هستند که در آنها توان متغیرها بیشتر از 1 نمی باشد. حل کردن نابرابری های خطی بسیار شبیه به حل کردن معادلات خطی می باشد. مهمترین چیز و همینطور تنها چیزی که باید به خاطر داشته باشید اینست که هنگامی که طرفین معادله را بر عددی منفی ضرب یا تقسیم می کنید، نماد نابرابری را معکوس نمایید. همینطور لازم است یادتان باشد که در یک نابرابری خطی شما صرفاً یک پاسخ ندارید، بلکه یک گروه کامل از پاسخها را خواهید داشت - تعداد پاسخهای یک نابرابری خطی می تواند بی نهایت باشد. پاسخ می تواند چیزی شبیه این باشد که \(x\) بزرگتر از \(3\) می باشد. هر عدد بزرگتر از \(3\) می تواند جایگزین \(x\) گردد و نابرابری را یک گزاره صحیح کند.





حالا اجازه بدهید به شما یک نابرابری خطی نشان بدهم که نیاز به حل کردن دارد.

مثال: نابرابری \( -2(3z+4) \gt 10 \) را برای \(z\) حل کنید.

در این مورد، تنها جملۀ متغیردار در سمت چپ می باشد. یک روش معمول برای شروع حل این نوع مسأله اینست که \(-2\) را بر روی جملات داخل پرانتز در سمت چپ، توزیع کنید. اما، از آنجا که \(2\) می تواند \(10\) را به صورت مساوی بخش کند، یک گام جایگزین اینست که به جای توزیع، دو سمت نابرابری را بر \(-2\) تقسیم کنید.

1. هر سمت نابرابری را بر \(-2\) تقسیم کنید.
   مطمئن شوید که نماد نابرابری را چرخانده باشید.
   $$ {-2(3z+4) \over -2} \lt {10 \over -2} $$
   $$ 3z + 4 \lt -5 $$
   
2. \(4\) را از هر دو سمت تفریق کنید.
   $$ 3z+4-4 \lt -5-4 $$
   $$ 3z \lt -9 $$
   
3. هر سمت را بر \(3\) تقسیم کنید.
   $$ {3z \over 3} \lt {-9 \over 3} $$
   $$ z \lt -3 $$
   
4. درست آزمایی کنید.
   اگر \(z=-9\) ، سپس:
   $$ -2([3(-9)]+4) \gt 10 \\
   -2(-27+4) \gt 10 \\
   -2(-23) \gt 10 \text{ or } 46 \gt 10 $$
   درست آزمایی با موفقیت انجام شد و پاسخ صحیح بود.