خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


نامساوی های درجه دوم (Quadratic Inequalities)، نامساوی های گویا (rational inequality)

نامساوی های درجه دوم (Quadratic Inequalities)، نامساوی های گویا (rational inequality)
نویسنده : امیر انصاری
یک نابرابری درجه دوم (quadratic inequality) یک نابرابری است که دارای یک جمله متغیردار با توان دوم می باشد. هنگام حل کردن نابرابری های (نامساوی ها) درجه دوم، قوانین جمع، تفریق، ضرب، و تقسیم نابرابری ها هنوز هم حفظ می شوند، اما مرحله نهایی در راه حل متفاوت می باشد. حل کردن این نابرابری های درجه دوم تقریباً شبیه یک معما است که همچنان که روی آن کار می کنید به صورت شسته و رفته سازماندهی می گردد. بهترین روش برای تشریح چگونگی حل کردن یک نامساوی درجه دوم اینست که از یک مثال استفاده کنیم و قوانین را در مثال به کار بگیریم.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



مثال: نامساوی \(x^2+3x \gt 4\) را برای \(x\) حل کنید.

پاسخهای این نامساوی ها می تواند در بیش از یک جهت باشد - اعداد می توانند بزرگتر از عددی باشند یا کوچکتر از عدد دیگری باشند یا هر دوی این حالتها - بنابراین من تصمیم دارم قبل از نمایش چگونگی حل کردن نامساوی ها، به شما نشان بدهم، پاسخها چگونه کار می کنند. کار را با حدس زدن چند مقدار آغاز می کنیم تا ببینیم چه مقادیری برای x درست کار می کنند:

  • اگر \(x=2\)، سپس \( (2)^2+3(2)=4+6=10\) و \(10 \gt 4\)، بنابراین \(2\) یک پاسخ صحیح است.
  • اگر \(x=5\) سپس \( (5)^2+3(5)=25+15=40 \) و \(40 \gt 4\). بنابراین \(5\) یک پاسخ صحیح است. به نظر می رسد هر چه اعداد بزرگتر باشند، بهتر است.
  • اگر \(x=0\) ، سپس \( (0)^2+3(0)=0+0=0 \) و \(0\) بزرگتر از \(4\) نمی باشد، بنابراین \(0\) یک پاسخ صحیح نیست. اما آیا اعداد کوچکتر درست کار می کنند؟ در مورد اعداد منفی چطور؟
  • اگر \(x=-6\) ، سپس \( (-6)^2 + 3(-6)=36-18=18 \) و \(18 \gt 4\). بنابراین \(-6\) یک پاسخ صحیح می باشد.

برخی از اعداد منفی درست کار می کنند. برخی از اعداد مثبت درست کار می کنند. چالش اینست که تعیین کنیم آن اعداد مثبت و منفی کجا هستند. روشی وجود دارد که می توانید با استفاده از آن روش تعیین کنید کدام اعداد درست کار می کنند و کدام اعداد درست کار نمی کنند، و نیازی به اینهمه حدس زدن کورکورانه هم ندارید.

قوانین جبر: برای حل کردن نامساوی های درجه دوم، این مراحل را دنبال کنید:

  1. تمامی جملات را به یک سمت نماد نابرابری منتقل کنید، بنابراین جملات شما بزرگتر یا کوچکتر از \(0\) خواهند شد.
  2. اگر ممکن باشد، فاکتورگیری کنید.
  3. تمامی مقادیری که قسمت فاکتورگیری شده را برابر با \(0\) قرار می دهد پیدا کنید.
    اینها اعداد مهم (critical numbers) شما هستند.
  4. یک خط اعداد بسازید و اعداد مهم بدست آمده در مرحله قبل را در آن قرار دهید.
    فضاهای خالی بین اعداد را برای علامتها خالی بگذارید. علامتهای (مثبت و منفی) عبارت فاکتورگیری شده را تعیین کنید و آنها را روی نمودار بنویسید.
  5. تعیین کنید چه بازه هایی (intervals) پاسخهای مسأله را به شما می دهد.

حالا این روش را بر روی مسأله بکار بگیرید.

  1. تمامی جملات را به یک سمت منتقل کنید.
    ابتدا با تفریق \(4\) از هر دو سمت نابرابری، \(4\) را به سمت چپ منتقل کنید.
    $$ x^2+3x \gt 4 $$
    $$ x^2+3x-4 \gt 0 $$
  2. فاکتورگیری کنید.
    با استفاده از unFOIL عبارت درجه دوم (quadratic) سمت چپ را فاکتورگیری کنید.
    $$ (x+4)(x-1) \gt 0 $$
  3. تمامی مقادیر \(x\) که منجر می شود سمت فاکتورگیری شده برابر با \(0\) گردد، پیدا کنید.
    در این مورد، دو مقدار داریم. با استفاده از ویژگی ضرب صفر (multiplication property of zero)، خواهید داشت: \(x+4=0\) یا \(x-1=0\)، که نتیجه اش می گردد \(x=-4\) یا \(x=1\) .
  4. یک خط اعداد (محور اعداد) بسازید که مقادیر مرحله 3 در آن لیست شده باشند، و علامت عبارتهای بین مقادیر روی نمودار را تعیین کنید.
    هنگامی که عددی در سمت چپ \(-4\) را انتخاب می کنید، هر دو فاکتور منفی خواهند بود و حاصلضرب آنها مثبت می گردد. بین \(-4\) و \(1\) اولین فاکتور منفی و دومین فاکتور مثبت می باشد، حاصلضرب این دو منفی می شود. در سمت راست \(1\) ، هر دو فاکتور مثبت هستند، و حاصلضرب بدست آمده نیز عددی مثبت می باشد. صرف اینکه در هر بازه (interval) یک عدد را تست کنید، به شما می گوید که برای بقیه اعداد آن بازه چه اتفاقی خواهد افتاد. شکل 5-15 یک خط اعداد را به شما نشان می دهد که اعداد مهم (critical numbers) در مکانهایشان قرار گرفته اند و علامت بازه ها در بین این نقاط مشخص شده است.

    نامساوی های درجه دوم (Quadratic Inequalities)، نامساوی های گویا (rational inequality)
  5. تعیین کنید کدام بازه ها به شما پاسخ های مسأله را می دهند.
    مقادیر \(x\) که منجر می شوند تا عبارت درجه دوم \( x^2+3x-4 \gt 0 \) عددی مثبت گردد، شامل تمامی اعداد منفی کوچکتر از \(-4\) و تمامی اعداد مثبت بزرگتر از \(1\) می باشند. تنها اعدادی که درست کار نمی کنند شامل اعداد بین \(-4\) و \(1\) می باشند. شما می توانید پاسخ را به شکل \(x \lt -4\) یا \(x \gt 1\) بنویسید.

    در نماد بازه (interval notation)، پاسخ این مسأله \( (-\infty,-4) \cup (1,\infty) \) می باشد. نماد \( \cup \) نشان دهندۀ union (اجتماع در مجموعه ها) می باشد، به این معنا که تمامی چیزهای موجود در هر یک از این دو بازه به درستی کار می کنند.

در مثال بعدی، نقاط پایانی بازه ها (اعداد مهم:critical numbers) شامل پاسخ می گردند.

مثال: نامساوی \( y^2+15 \le 8y \) را برای \(y\) حل کنید.

  1. \(8y\) را از هر دو سمت تفریق کنید.
    $$ y^2-8y+15 \le 0 $$
  2. فاکتور بگیرید.
    $$ (y-3)(y-5) \le 0 $$
  3. مقادیری از \(y\) را پیدا کنید که عبارت فاکتورگیری شده را برابر با \(0\) قرار دهد.
    اعدادی که شما می خواهید \(3\) و \(5\) می باشند.
  4. با استفاده از اعدادی که عبارت را برابر با \(0\) قرار می دهند یک خط اعداد ترسیم کنید.
    علامت فاکتورها و حاصلضرب آنها را بررسی کنید تا علامت بین اعداد مهم (critical numbers) را تعیین کنید. در شکل 6-15 می توانید این کارها را مشاهده کنید.
    نامساوی های درجه دوم (Quadratic Inequalities)، نامساوی های گویا (rational inequality)
  5. تعیین کنید کدامیک از بازه ها پاسخهای مسأله را به شما می دهند.
    عبارت اصلی \(y^2+15 \le 8\) در مواقعی که \(y^2-8y+15 \le 0\) برابر با \(0\) یا کمتر از \(0\) (منفی) می شود. بنابراین اعداد \(3\) و \(5\) و تمامی اعداد بین \(3\) و \(5\) پاسخهای این نامساوی می باشند. پاسخ این مسأله به شکل \( 3 \le y \le 5 \) یا با نماد بازه به شکل \( [3,5] \) نوشته می شود.

کارکردن بدون صفر


قرار دادن یک نامساوی برابر با \(0\) مشروط بر اینکه بتوانید اعدادی پیدا کنید که کار کنند، بخوبی کار می کند. وقتیکه عبارت مربوطه اعداد مهم (critical numbers) یا پاسخهایی نداشته باشد که آنها را برابر با \(0\) قرار دهید، سپس آن عبارت هرگز علامتش تغییر نمی کند. نتیجه این عبارت همواره مثبت و یا همواره منفی خواهد بود. شما تنها کافیست تعیین کنید که آیا چیزی مسأله را حل می کند یا خیر.

برای مثال، عبارت \(x^2+4\) در نامساوی \(x^2+4 \gt 0\) قابل فاکتورگیری نیست. و هر عددی که شما در \(x\) جایگذاری کنید به شما یک مقدار مثبت در سمت چپ نامساوی می دهد. بنابراین، این گزاره همواره مثبت است، و این نابرابری به ازاء تمامی اعداد درست خواهد بود.

برخورد با بیش از دو فاکتور


با وجود اینکه این بخش شامل مسأله هایی می شود که نامساوی درجه دوم (quadratic inequalities) هستند، برخی از انواع دیگر نامساوی ها نیز به همین بخش متعلق هستند، زیرا شما با آنها نیز به همان شیوه نامساوی های درجه دوم برخورد می کنید. شما می توانید واقعاً به هر تعداد فاکتور و همینطور به هر تعداد چینش فاکتورها را داشته باشید و به همین شکل با انجام کارهای مثبت و منفی در خط اعداد به پاسخها برسید. مثال بعدی چگونگی این کار را به شما نشان می دهد.

مثال: نامساوی \( (x-4)(x+3)(x-2)(x+7) \gt 0 \) را برای مقادیر \(x\) حل کنید.

این مسأله در حال حاضر فاکتورگیری شده است، بنابراین به سادگی می توانید اعدادی را که عبارت را برابر با \(0\) قرار می دهند (اعداد مهم)، تعیین کنید، که عبارتند از \(x=4\) ، \(x=-3\) ، \(x=2\) ، \(x=-7\) . آنها را بترتیب از کوچک به بزرگ در خط اعداد قرار بدهید (شکل 7-15 را ببینید)، و علامت حاصلضرب ها در بازه ها (intervals) را آزمایش کنید.

نامساوی های درجه دوم (Quadratic Inequalities)، نامساوی های گویا (rational inequality)
یادتان باشد: هنگامی که اعداد صحیح را در یکدیگر ضرب یا تقسیم می کنید، اگر تعداد علامتهای منفی در مسأله زوج باشد، نتیجه مثبت خواهد بود. اگر تعداد علامت های منفی در مسأله فرد باشد، نتیجه منفی خواهد بود.

از آنجا که عبارت اصلی به دنبال مقادیری می باشد که عبارت را بزرگتر از \(0\) می کنند (یا مثبت)، پاسخها شامل اعدادی در بازه های مثبت می باشند. آن اعداد عبارتند از:

  • کوچکتر از \(-7\)
  • بین \(-3\) و \(2\)
  • بزرگتر از \(4\)

پاسخها به شکل \(x \lt -7\) یا \(-3 \lt x \lt 2\) یا \(x \gt 4\) نوشته می شوند. در نماد بازه، پاسخها به شکل \( (-\infty , -7) \cup (-3,2) \cup (4,\infty) \) نوشته می شود.

نامساوی های کسری (fractional inequalities)


نامساوی های دارای کسرها که متغیرهایی در مخرج کسر دارند، نوع خاص دیگری از نامساوی ها هستند که تحت عنوان کلی نامساوی های درجه دوم قرار می گیرند. آنها را به دلیل روشی که با آن حلشان می کنید، در این فصل آورده ایم.

برای حل کردن این نامساوی های گویا (rational inequalities) یا همان نامساوی های کسری (fractional inequalities)، تا حدی کاری مشابه کاری که با نامساوی های دارای دو یا چند فاکتور صورت می دهید، را انجام می دهید: پیدا می کنید که کجا عبارت برابر با \(0\) قرار می گیرد. در واقع، مسأله را به این صورت بسط دهید که به به صورت جداگانه دنبال این بگردید که چه چیزی صورت کسر را برابر با \(0\) قرار می دهد و چه چیزی مخرج کسر را برابر با \(0\) قرار می دهد. اینها اعداد مهم (critical numbers) شما می باشند. بازه های بین صفرها را بررسی کنید و پاسخها را بنویسید.

هشدار: یک هشدار بزرگ در مورد نامساوی های گویا اینست که اعدادی را که مخرج کسر را برابر با \(0\) قرار می دهند، در پاسخ نهایی نگنجانید. صفر در مخرج کسر یک وضعیت غیرممکن را به وجود می آورد. خوب، چرا باید مراقب آنچیزهایی که مخرج کسر را برابر با \(0\) قرار می دهند، باشیم؟ عدد \(0\) مرز بین اعداد مثبت و منفی می باشد و آنها را از یکدیگر جدا می کند. با وجود اینکه \(0\) خودش نمی تواند در پاسخ استفاده شود، تعیین می کند که علامتها در چه جاهایی از مثبت به منفی یا از منفی به مثبت تغییر می کنند.

مثال: نامساوی زیر را برای \(y\) حل کنید.
$$ {y+4 \over y-3} \gt 0 $$
اعدادی که صورت یا مخرج کسر را برابر با \(0\) قرار می دهند، عبارتند از \(y=-4\) یا \(y=3\) . یک خط اعداد با این دو عدد مهم در ترتیب مناسب خودش ایجاد کنید. علامت خارج قسمت ایجاد شده توسط این دو جمله ای را تعیین کنید. در شکل 8-15 شما اعداد مهم و علامت بازه ها را می بینید. عدد مهم \(3\) یک دایره توخالی می گیرد تا نشان داده شود که نمی تواند به عنوان بخشی از پاسخ مورد استفاده قرار گیرد.

نامساوی های درجه دوم (Quadratic Inequalities)، نامساوی های گویا (rational inequality)
این مسأله فقط به دنبال مقادیری می باشد که عبارت را بزرگتر از \(0\) می کنند، یا در واقع عبارت را عددی مثبت می کنند، بنابراین پاسخ اینست: \(y \lt -4\) یا \(y \gt 3\) . در نماد بازه، پاسخ به شکل \( (-\infty,-4) \cup (3,\infty) \) نوشته می شود.

مثال: نامساوی زیر را برای \(z\) حل کنید.
$$ {z^2-1 \over z^2-9} \le 0 $$
صورت و مخرج کسر را فاکتورگیری کنید تا به عبارت زیر برسید:
$$ {(z+1)(z-1) \over (z+3)(z-3)} \le 0 $$
اعدادی که صورت یا مخرج کسر را برابر با \(0\) قرار می دهند، عبارتند از \(z=+1,-1,+3,-3\) . یک خط اعداد بسازید که حاوی این اعداد مهم باشد و علامت بازه ها را تعیین کنید (شکل 9-15 را ببینید).

نامساوی های درجه دوم (Quadratic Inequalities)، نامساوی های گویا (rational inequality)
از آنجا که شما به دنبال مقادیری از \(z\) می گردید که عبارت را منفی می سازند، شما مقادیر بین \(-3\) و \(-1\) را می خواهید و آنهایی که بین \(1\) و \(3\) می باشند. همچنین، شما مقادیری که عبارت را \(0\) می سازند نیز می خواهید، که تنها می تواند شامل اعدادی گردد که صورت کسر را برابر با \(0\) قرار می دهند، \(1\) و \(-1\) . پاسخ به شکل زیر نوشته می شود:
$$ -3 \lt z \le -1 \text{ or } 1 \le z \lt 3 $$
در شکل نماد بازه، پاسخ به این صورت نوشته می شود:
$$ (-3,-1] \cup [1,3) $$
به نماد \( \lt \) که با \(-3\) و \(3\) مورد استفاده قرار گرفته است دقت کنید، که به این معنا می باشد که خود آن دو عدد در پاسخ شامل نمی شوند.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.