نامساوی های قدر مطلق (Absolute-Value Inequalities)، دقیقاً همان چیزی هستند که نامشان می گوید - نامساوی هایی که در جایی از آنها نماد قدر مطلق وجود داشته باشد.






معادلات قدر مطلق و نامساوی های قدر مطلق می توانند شبیه موارد زیر باشند:
\( |x+3|=5 \)     \( |2x+3| \gt 7 \)     \( |5x+1| \le 9 \)

معادلات قدر مطلق (absolute-value equations)

قبل از گلاویز شدن با نامساوی ها، نگاهی به معادلات قدر مطلق بیندازید. رمزگشایی یک معادله همچون \( |x|=7 \) نسبتاً ساده است. این معادله از شما مقادیری از \(x\) را می خواهد که وقتی آنها را در نماد قدر مطلق قرار می دهید به شما \(7\) را نتیجه بدهد. دو پاسخ \(7\) و \(-7\) ، قدر مطلقشان \(7\) می گردد. اینها فقط دو پاسخ بودند. اما در مورد چیزی کمی پیچیده تر همچون \( |3x+2|=4 \) چطور؟


مثال: معادله \( |3x+2|=4 \) را برای \(x\) حل کنید.

1. معادله را به شکل دو معادله خطی بازنویسی کنید.
   $$ 3x+2=4 \text{ or } 3x+2=-4 $$
   
2. هر کدام از معادلات را برای مقدار متغیر حل کنید.
   \(2\) را از هر دو سمت معادله تفریق کنید: \(3x=2 \text{ or } 3x=-6\)
   هر سمت را بر \(3\) تقسیم کنید: \(x={2 \over 3} \text{ or } x=-2\)
   
3. درست آزمایی کنید.
   اگر \(x=-2\) ، سپس:
   $$ |3(-2)+2|=|-6+2|=|-4|=4 $$
   اگر \(x=\frac{2}{3}\) ، سپس:
   $$ |3({ 2 \over 3})+2|=|2+2|=4 $$
   هر دو پاسخ به درستی کار می کنند.
   

در مثال بعدی می بینید که معادله برابر با \(0\) قرار داده شده است. برای این نوع مسأله ها، شما نباید معادله را برابر با \(0\) قرار دهید. برای اینکه بتوانید قانون تبدیل معادله قدر مطلق به دو معادله خطی را انجام بدهید، باید مقدار قدرمطلق را در یک سمت معادله منزوی کنید.

مثال: معادله \( |5x-2|+3=0 \) را برای \(x\) حل کنید.

1. \(-3\) را به هر دو سمت معادله بیفزایید.
   $$ |5x-2|=-3 $$
   
2. معادله قدر مطلق را به صورت دو معادله خطی بازنویسی کنید.
   $$ 5x-2=-3 \text{ or } 5x-2=+3 $$
   
3. دو معادله خطی را برای مقدار متغیر حل کنید.
   \(2\) را به هر دو سمت بیفزایید:
   $$ 5x=-1 \text{ or } 5x=5 $$
   هر دو سمت را بر \(5\) تقسیم کنید:
   $$ x=-{1\over5} \text{ or } x =1 $$
   
4. درست آزمایی کنید.
   اگر \(x=-{1\over5}\) سپس:
   $$ |5(-{1\over5})-2|+3=|-1-2|+3=|-3|+3=6 $$
   اوه! پاسخ درست نبود. پاسخ بعدی را درست آزمایی کنید.
   اگر \(x=1\) ، سپس:
   $$ |5(1)-2|+3=|3|+3=6 $$
   نه! این پاسخ هم درست کار نکرد.
   

اکنون وقت آن است که درک کنید این معادله ممتنع (ناممکن) بود و هیچ پاسخی هم نداشت. البته اگر از ابتدا می توانستید متوجه ناممکن بودن آن شوید، در زمان صرفه جویی می کردید. تعریف قدر مطلق به شما می گوید که نتیجه همواره عددی مثبت است. وقتی در آغاز نتیجه معادله شما \(-3\) باشد، یعنی این یک وضعیت ممتنع (ناممکن) است. از اینکه پاسخی برای معادله پیدا نشد، نگران نباشید!

نامساوی های قدر مطلق (absolute-value inequalities)

حل کردن نامساوی های قدر مطلق، دو رویه متفاوت را در یک موضوع گرد هم می آورد. اولین رویه شامل روشی مشابه روشی است که برای معادلات قدر مطلق مورد استفاده قرار گرفت، و دومین رویه شامل قوانینی برای حل کردن نامساوی ها می باشد.


دو مثال زیر چگونگی استفاده از این قوانین را به شما نشان می دهد.

مثال: نامساوی \(|2x-5|\gt7\) را برای \(x\) حل کنید.

1. نامساوی را به شکل دو نامساوی بازنویسی کنید.
   $$ 2x-5 \gt 7 \text{ or } 2x-5 \lt -7 $$
   
2. هر کدام از این نامساوی ها را حل کنید.
   \(5\) را به هر سمت نامساوی اضافه کنید:
   $$ 2x \gt 12 \text{ or } 2x \lt -2 $$
   هر سمت را بر \(2\) تقسیم کنید:
   $$ x \gt 6 \text{ or } x \lt -1 $$
   در نماد بازه (interval notation) پاسخ به شکل زیر نوشته می شود:
   $$ (-\infty,-1) \cup (6,\infty) $$
   

مثال: نامساوی \( |5x+1| \le 9 \) را برای \(x\) حل کنید.

1. نامساوی را به شکل دو نامساوی بازنویسی کنید.
   $$ -9 \le 5x + 1 \le 9 $$
   
2. نامساوی را حل کنید.
   \(1\) را از هر سمت تفریق کنید.
   $$ -10 \le 5x \le 8 $$
   حالا بر \(5\) تقسیم کنید.
   $$ -2 \le x \le {8 \over 5} $$
   پاسخ در نماد بازه به شکل زیر نوشته می شود.
   $$ [-2,{8\over5}] $$
   

توجه کنید که این مسأله دارای یک نماد کوچکتر یا مساوی می باشد. قوانین مربوط به نماد کوچکتر از یا بزرگتر از، در مورد نمادهایی که مساوی نیز در آنها وجود دارد، یکسان می باشند.