خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


فرمول های مساحت (Area Formulas)

فرمول های مساحت (Area Formulas)
نویسنده : امیر انصاری
مساحت اندازه گیری اینست که یک شیء یا سطح خاص چند تا واحد اندازه گیری دو بعدی (مربع) را می پوشاند - چقدر سطح صاف اشغال می شود. معمولاً مساحت (area) در واحدهای اینچ مربع (square inches)، سانتیمتر مربع (square centimeters)، فوت مربع (square feet)، یا مایل مربع (square miles) و به همین ترتیب، بیان می شود.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



کف یک اتاق که با کاشی های مربع شکل پوشیده شده است، را تصور کنید. اگر اندازه هر کاشی \(1 \text{ foot }\) در \(1 \text{ foot }\) باشد، شمارش تعداد کاشی ها به شما می گوید اندازه کف اتاق بر اساس فوت مربع (square feet) چقدر می باشد. در دنیای واقعی، کف بیشتر جاها با کاشی هایی با اندازه \(1 \text{ foot }\) در \(1 \text{ foot }\) پوشانده نشده اند تا شما به راحتی با شمارش کاشی ها مساحت آن را بدست آورید. حتی در جاهای کاشی کاری شده نیز، برخی از کاشی ها اندازه های کامل ندارند و بخشی از یک کاشی هستند (مخصوصاً در گوشه های اتاق ها)، حتی ممکن است کاشی ها مربع شکل نباشند و در شکل های عجیب و غریب دیگری باشند. بنابراین فرمولهای مساحت، همانند آنهایی که در این بخش خواهید دید، می توانند در دانستن مساحت اشیاء به شما کمک فراوانی بکنند.

در بخش قبلی، فرمول های محیط با اندازه های خطی سر و کار داشتند. اندازه خطی (Linear measure) فقط یک بُعد دارد. اندازه خطی از یک نقطه تا نقطه دیگری می باشد و وسعتی در آن وجود ندارد. شما آن را با خط کش یا چوب ذرع (yardstick)، یا متر نواری در یک جهت، اندازه گیری می کنید. اندازه گیری مربع (Square) برای اندازه گیری مساحت مورد استفاده قرار می گیرد. مساحت با دو اندازه سر و کار دارد - یکی در امتداد یک ضلع و دیگری عمود بر آن ضلع (با زاویۀ \(90^\circ\)).

مستطیل ها (rectangles) و مربع ها (squares)


مستطیل ها و مربع ها اساساً فرمول مساحت یکسانی دارند، زیرا هر دوی آنها گوشه های برابر دارند و اضلاع روبروی آنها نیز هم اندازه اند. رویه کلی در اینجا صرفاً اینست که اندازه طول را در اندازه عرض ضرب کنیم. حاصلضرب دو ضلع که در کنار یکدیگر قرار دارند، مساحت می باشد.

پیدا کردن مساحت مستطیل یا مربع


بیشتر اتاقها در خانه ها و اداره ها مستطیل شکل هستند. میزها، میز تحریرها، و قالیچه ها نیز مستطیل شکل هستند. این شکل گنجاندن اثاثه و سایر اشیاء در اتاق ها را ساده می کند.

قوانین جبر: مساحت مستطیل (Rectangle) برابر با طول آن ضربدر عرضش می باشد، و مساحت مربع (Square)، مربع اندازه یکی از اضلاع آن می باشد:
$$ \text{Rectangle: } A=l \times w $$
$$ \text{Square: } A=s^2 $$

مثال: باغی با \(85 \text{ feet }\) طول و \(35 \text{ feet }\) عرض، نیاز به کود دارد. اگر یک کیسه از کود برای \(6 \text{ square yards }\) کافی باشد، چقدر کود مورد نیاز است؟

توجه داشته باشید که واحدهای اندازه گیری متفاوت هستند. باغ در واحد فوت (feet) اندازه گیری شده است و کود در واحد یارد مربع (square yards) پوشش داده شده است. تعیین کنید باغ چند فوت مربع (square feet) می باشد. سپس کود مشمول را به فوت مربع در هر کیسه (square feet per bag) تبدیل کنید.
$$ \text{ area of garden } = l \times w = 85 \times 35 = 2,975 \text{ square feet } $$
area of garden: مساحت باغ
حالا، در هر یارد مربع چند فوت مربع وجود دارد؟ اگر یک یارد برابر با \(3 \text{ feet }\) باشد، سپس یک یارد مربع می شود \(3 \text{ feet }\) ضربدر \(3 \text{ feet }\)، بنابراین مساحتش برابر با \(3^2 = 9 \text{ square feet }\) می شود. در هر یارد مربع \(9 \text{ square feet }\) می باشد. یک کیسه (bag) کود \(6 \text{ square yards }\) را پوشش می دهد، بنابراین \(6 \times 9 = 54 \text{ square feet per bag }\) .

\(2,975 \text{ square feet }\) را بر \(54 \text{ square feet }\) تقسیم کنید:
$$ {2,975 \over 54} = 55{5 \over 54} \approx 55.09 \text{ square feet } $$
شما می توانید \(56\) کیسه کود بخرید و مقدار زیادی هم باقی می ماند، یا می توانید \(55\) کیسه کود بخرید و به اندکی از زمین کمتر کود بدهید.

مثلث ها (triangles)


پیدا کردن مساحت یک مثلث می تواند اندکی چالش داشته باشد. اساساً، مساحت یک مثلث برابر با نصف مساحت یک مستطیل خیالی است که آن مثلث در آن می گنجد. گرچه، همیشه آسان یا ضروری نیست که طول و عرض این مستطیل فرضی را بدست آورید - شما صرفاً به یک یا دو اندازه گیری در مثلث نیاز دارید.

فرمول رایج برای پیدا کردن مساحت مثلث شامل طول ضلع پایه - ضلع پایینی - و ارتفاع - فاصله عمودی بین ضلع پایه و رأس مثلث - می باشد. رأس مثلث محل تقاطع دو ضلع دیگر مثلث می باشد. پیدا کردن مساحت یک مثلث در صورتیکه بتوانید با استفاده از یک خط کش ارتفاع آن را اندازه بگیرید، کار ساده ای می باشد، اما این کار همیشه عملی نیست. بنابراین، شما گزینه دیگری دارید - فرمول هرون (Heron’s formula)، که در ادامه این بخش پوشش داده می شود.

فرمول سنتی مساحت مثلث


قوانین جبر: مساحت یک مثلث برابر است با نصف حاصلضرب اندازه ضلع پایه \( (b) \) در ارتفاع \( (h) \) مثلث.
$$A={1 \over 2}bh$$
ضلع پایه (base) اندازه ضلع پایینی مثلث است که ارتفاع به سمت آن رو به پایین کشیده شده است. ارتفاع (height) اندازه خط راستی است که از زاویه بالایی بر ضلع پایه عمود شده است. ارتفاع با ضلع پایه یک زاویه قائمه \( (90^\circ) \) را تشکیل می دهد. شکل 4-16 یک مثلث را که ارتفاع آن ترسیم شده است، به شما نشان می دهد.

فرمول های مساحت (Area Formulas)
شما از این قانون سنتی مساحت مثلث، در هر جایی که این اندازه گیری ها شدنی باشند، می توانید استفاده کنید - یعنی هر گاه که بتوانید ارتفاع را به صورت عمود بر ضلع پایه ترسیم کرده و بتوانید هر دوی آنها را اندازه گیری نمایید. این مثال به شما نشان می دهد چگونه ابتدا از مشهورترین فرمول استفاده کنید، و مثال بعدی همان مساحت را با استفاده از فرمول هرون (Heron’s formula) پیدا می کند.

مثال: مساحت مثلثی را که طول آن \(21 \text{ feet }\) و ارتفاع آن \(8 \text{ feet }\) می باشد، پیدا کنید. برای مشاهده طرح این مثلث شکل 4-16 را ببینید.
$$ A={1 \over 2}(21)(8)={1 \over 2}(168)=84 \text{ square feet }$$

پیدا کردن مساحت مثلث با فرمول هرون (Heron’s formula)


قوانین جبر: بنابر فرمول هرون، مساحت هر مثلثی برابر است با جذر (ریشه دوم) حاصلضرب چهار مقدار آن:
  • نصف محیط (semi-perimeter)
  • نصف محیط منهای طول ضلع اول
  • نصف محیط منهای ضلع دوم
  • نصف محیط منهای ضلع سوم
فرض کنید \(s\) نماینده نصف محیط (semi-perimeter) باشد و \(a,b,c\) نماینده اندازه اضلاع مثلث باشند:
$$ A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} $$
هنگامی که در تلاش برای پیدا کردن مساحت یک مثلث بزرگ - مثل یک پارک بزرگ - هستید، یا نمی توانید هیچ کدام از زوایا را اندازه گیری کنید تا یک خط عمود به عنوان ارتفاع ترسیم کنید، در این شرایط می توانید به سادگی با اندازه گیری سه ضلع و استفاده از فرمول هرون، مساحت مثلث را محاسبه کنید.

مثال: مساحت مثلثی را بیابید که اضلاع آن \(10 \text{ inches } \) ، \(17 \text{ inches } \) ،و \(21 \text{ inches } \) می باشند (شکل 4-16 را ببینید). فرض کنیم: \(a = 10\) ، \(b = 17\) ،و \(c =21\) می باشند. محیط می شود \(P=10+17+21=48 \text{ inches } \) ، بنابراین نصف محیط (semi-perimeter) می شود \(s=24 \text{ inches } \) . با استفاده از فرمول هرون به شکل زیر می توانیم مساحت این مثلث را بیابیم:
$$ A= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ =\sqrt{24(24-10)(24-17)(24-21)} \\ =\sqrt{24(14)(7)(3)} \\ =\sqrt{7056} =84 $$
مساحت \(84\) اینچ مربع (square inches) می باشد. آیا این عدد آشنا به نظر نمی رسد؟ همینطور است. \(84\) همان پاسخی است که در مثال قبلی، البته با فرمول مشهور سنتی بدست آوردیم.

من باید اعتراف کنم که تعمداً از اندازه گیریهایی استفاده کردم که نتیجه اش یک عدد صحیح زیبا گردد. این پاسخ زیبا و صحیح در واقعیت معمولاً عددی اعشاری می باشد. بودن رادیکال در یک فرمول می تواند انواع پیچیدگی ها را با خود همراه داشته باشد. مثال بعدی منظور من را به شما نشان می دهد.

مثال: مساحت مثلثی را که اضلاع آن \(2\) ، \(3\) ، و \(4\) فوت (feet) می باشد، پیدا کنید. اگر اضلاع \(2,3,4\) باشند، داریم: \(a=2\) ، \(b=3\) ،و \(c=4\) و \(s={1 \over 2}(2+3+4)=4.5 \). بنابراین با استفاده از فرمول هرون می توانیم مساحت مثلث را به شکل زیر بیابیم:
$$ A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ =\sqrt{4.5(4.5-2)(4.5-3)(4.5-4)} \\ =\sqrt{4.5(2.5)(1.5)(0.5)} \\ =\sqrt{8.4375} \approx 2.905 \text{ square feet } $$

دایره ها (circles)


مساحت یک دایره هم با شعاع (radius) دایره و هم با مقدار عدد \( \pi \) گره خورده است.

قوانین جبر: فرمول محاسبه مساحت دایره برابر است با عدد \( \pi \) که مقدار تقریبی اش \( \pi \approx 3.14 \) می باشد، ضربدر مربع شعاع دایره:
$$ A= \pi r^2 $$
مثال: مساحت یک میز تحریر مدور را که عرض آن \(50\) فوت (feet) می باشد، پیدا کنید. ابتدا، شما باید شعاع (radius) را پیدا کنید. اگر عرض دایره \(50\) فوت باشد، یعنی اندازه قطر دایره (diameter) اینقدر است. بنابراین از آنجا که شعاع نصف قطر می باشد، شعاع این دایره \(25\) فوت خواهد بود. با استفاده از فرمول محاسبه مساحت دایره، خواهیم داشت:
$$ A= \pi r^2= \pi \times 25^2 = 3.14 \times 625 = 1,962.5 \text{ square feet } $$



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.