خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


فرمول های حجم (Volume Formulas)

فرمول های حجم (Volume Formulas)
نویسنده : امیر انصاری
مساحت یک شکل یا تمثال دو بعدی دارد. مساحت یک ناحیۀ مسطح می باشد. حجم (Volume) سه بعدی می باشد. حجم برخلاف آخرین دوست دختر یا آخرین دوست پسر بازندۀ شما دارای عمق (depth) و ژرفا می باشد. برای پیدا کردن حجم، شما از این سمت تا آن سمت، از جلو تا عقب، بالا و پایین را اندازه گیری می کنید.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



با حجم شما می توانید تعداد مکعب هایی که در داخل یک شیء می توانید بگنجانید، شمارش کنید (برای درک بهتر قندهای مکعبی را در ذهنتان مجسم سازید). این مکعب ها می توانند \(1\) اینچ در هر ضلعشان باشند، یا اندازه هر ضلعشان \(1\) سانتیمتر، \(1\) فوت، یا هر واحد اندازه گیری دیگری باشند. و مطابق با موضوع مکعب (cube)، حجم را با واحدهایی مکعبی اندازه گیری می کنند: اینچ مکعب (cubic inches)، فوت مکعب (cubic feet)، سانتیمتر مکعب (cubic centimeters) و هر واحد مکعبی دیگر.

منشورها (prisms) و جعبه ها (boxes)


حجم یک منشور مستطیلی (rectangular prism)، که بیشتر با نام جعبه (box) شناخته می شود، در دنیای مسائل حجم، یکی از ساده ترین ها می باشد. پایین و بالای یک منشور مستطیلی دقیقاً اندازه گیری های یکسانی دارد. فاصله بالا تا پایین یکسان است، تا زمانی که آن فاصله را به صورت عمود هم بر بالا و هم بر پایین داشته باشید، مهم نیست کجایش را اندازه گیری کنید.

قوانین جبر: فرمول پیدا کردن حجم یک منشور \(V=lwh\) می باشد، که به این معنا می باشد که حجم یک منشور برابر با حاصلضرب طول \(l\) در عرض \(w\) در ارتفاع \(h\) می باشد.

مثال: حجم جعبه را پیدا کنید که طول آن \(4\) فوت، عرض آن \(3\) فوت، و ارتفاع آن \(9\) فوت می باشد.
$$ V=lwh=4(3)(9)=108 \text{ cubic feet } $$
حجم این جعبه \(108\) فوت مکعب می باشد، در واقع \(108\) مکعب با ابعاد \(1\) فوت در \(1\) فوت در \(1\) فوت، در این جعبه جای می گیرد.

مثال: اگر شما یخچالی با حجم \(12\) فوت مکعب (cubic feet) بخرید، ابعاد آن چقدر می باشد (بزرگی آن چقدر است)؟

تعداد روشهایی که می توانید طی آن سه عدد را در یکدیگر ضرب کنید تا حاصلضرب بدست آمده \(12\) گردد، بی نهایت است. در ادامه چند حالت عدد صحیح و عدد کسری را بررسی می کنیم.

سعی کنید تصور کنید که با هر کدام از این ابعاد، یخچال چه شکلی خواهد داشت.

  • \(12=1(1)(12)\) . یعنی \(1\) فوت طول، \(1\) فوت عرض، و \(12\) فوت بلندی (ارتفاع).
  • \(12=2(1)(6)\) . یعنی \(2\) فوت طول، \(1\) فوت عرض، و \(6\) فوت بلندی.
  • \(12=2(3)(2)\) . یعنی \(2\) فوت طول، \(3\) فوت عرض، و \(2\) فوت بلندی.
  • \(12=1{1 \over 2}(1{1 \over 2})(5{1 \over 3})\) . یعنی \(1{1 \over 2}\) طول، \(1{1 \over 2}\) عرض، و \(5{1 \over 3}\) بلندی.

شما کدام یخچال را می خواهید؟ قد شما چقدر است؟

استوانه ها (cylinders)


وقتی که برادرم در نیروی دریایی و در ناو هواپیما بر USS Guadalcanal خدمت می کرد، استوانه ها شکل مورد علاقه او بودند. از آنجا که من یک خواهر فوق العاده بودم، برای او کلوچه های شکلاتی ریزه میزه می فرستادم که دقیقاً در یک قوطی قهوۀ سه پاوندی (سه پاوند تقریباً با یک و نیم کیلو برابر است) جا می شدند. تصورش را بکنید هر دو هفته یکبار یک قوطی کلوچه خوش مزه برایتان بیاید. آیا این در آن کشتی رایج بود!

قوانین جبر: فرمول حجم استوانه \(V=\pi r^2h\) می باشد. حجم استوانه برابر است با \( \pi \) ضربدر مربع شعاع (نصف عرض یک دایره) ضربدر ارتفاع.

استوانه یک شکل سه بعدی است که پایه آن یک دایره می باشد. قوطی کنسرو، بیسکوئیت های رولی، قوطی نخود فرنگی، دستمال توالت های رولی، و البته قوطی قهوه، همگی می توانند مثالهایی از استوانه باشند. در بالا و پایین یک استوانه، دایره ها قرار دارند، و ارتفاع استوانه، فاصله بین این دو دایره است.

برای پیدا کردن حجم یک استوانه، به شعاع بالا و پایین نیاز دارید، همینطور ارتفاع استوانه را نیز نیاز دارید. این فرمول به شما می گوید چندتا مکعب در استوانه جای می گیرد.

مثال: حجم یک استخر آب استوانه ای شکل را که شعاع آن \(12\) فوت و ارتفاعش \(4\) فوت می باشد، پیدا کنید.

با استفاده از فرمول حجم استوانه داریم:
$$ V=\pi r^2h =\pi (12^2)(4) = \pi (576) \approx 3.14(576) = 1,808.64 \text{ cubic feet } $$

هرم ها (pyramids)


توصیف شکل هرم کار ساده ای می باشد، زیرا همه یک تصویر ذهنی از آن را دارند که با شنیدن نامش سریع آن تصویر در ذهنشان زنده می شود. از نقطه نظر فنی، هرم شکلی است که پایه ای دارد و از هر ضلع پایه آن مثلثهایی بیرون می آیند که در یک نقطه به هم می رسند.

پایه اهرام مصر مربع می باشد و مثلثهای هم اندازه ای در اضلاع آن مربع قرار دارند - دست کم، در ابتدا اینطور بوده اند. باد و شن به مرور زمان بالای اهرام مصر را فرسوده کرده است و به همین دلیل دیگر مثلثهای آن در یک نقطه به هم نمی رسند. پایه یک هرم می تواند یک مثلث متساوی الاضلاع (equilateral triangle)، یک مربع (square)، یک پنج ضلعی منتظم (regular pentagon)، و ... باشد. با این وجود، مثالی که در اینجا به شما نمایش داده شده است، با پایه مربع می باشد.

قوانین جبر: فرمول حجم هرم به شرح زیر می باشد، در این فرمول area of base مساحت شکل پایه و \(h\) ارتفاع می باشد :
$$ V = {1 \over 3}(\text{area of base}).h $$
مثال: حجم اصلی هرم بزرگ مصر (Great Pyramid) را، که در اصل یک پایه مربع شکل با ضلع \(756\) فوت دارد و ارتفاع آن \(480\) فوت است، پیدا کنید.

پایه این هرم مربع می باشد، بنابراین مساحت پایه با فرمول یک ضلع به توان دو \( (s^2) \) بدست می آید، بنابر فرمول محاسبه حجم هرم داریم:
$$ V={1 \over 3}s^2 \cdot h = {1 \over 3}(756)^2 \cdot 480 = 91,445,760 \text{ cubic feet } $$

مخروط ها (cones)


قوانین جبر: فرمول محاسبه حجم مخروط عبارتست از:
$$ V = {1 \over 3}\pi r^2h $$
فرمول محاسبه حجم مخروط به دو دلیل آشنا به نظر می رسد. دلیل اول اینکه در آن کسر \({1\over3}\) وجود دارد، مشابه چیزی که در فرمول حجم هرم وجود داشت. فاکتور \({1\over3}\) در مواقعی که شکل به سمت بالا و یک نقطه منتهی می شود رایج است. بخش آشنای دیگر \( \pi r^2h \) می باشد، که فرمول محاسبه حجم یک استوانه است. شما می توانید به مخروط به شکل یک استوانه فکر کنید که به صورت تدریجی از اندازۀ آن کاسته شده است. بستنی مخروطی یک مثال کلاسیک از مخروط ها می باشد، مثل مخروط های ترافیکی که در خیابانها می بینید.

مثال: حجم یک چادر مخروطی شکل که قطر آن \(18\) فوت و ارتفاعش \(20\) فوت می باشد، چقدر است؟

از آنجا که قطر \(18\) می باشد، شعاع برابر با \(9\) خواهد بود.
$$ V={1 \over 3}\pi r^2h={1 \over 3}\pi (9)^2 \cdot 20 = 540 \pi \approx 1,696 \text{ cubic feet } $$

کره ها (spheres)


کره (sphere) یک شکل آشنا می باشد. توپهای بسکتبال، توپ های بیسیال، تیله ها، و کره زمین، همگی کروی شکل هستند. برای پیدا کردن حجم کره، تنها به یک چیز نیاز دارید: شعاع کره (radius)، که فاصله بین مرکز کره تا سطح بیرونی آن می باشد.

قوانین جبر: فرمول محاسبه حجم کره به شرح زیر می باشد:
$$ V = {4 \over 3}\pi r^3 $$
مثال: حجم توپی که قطر آن \(18\) اینچ می باشد، چقدر است؟
$$ V={4 \over 3}\pi r^3={4 \over 3}\pi \cdot 9^3=972\pi \approx3,052 \text{ cubic inches } $$
مثال: حجم کره ای با قطر \(4\) اینچ، چقدر است؟
$$ V={4 \over 3}\pi r^3={4 \over 3}\pi \cdot 2^3 = 10{2 \over 3}\pi \approx 33.5 \text{ cubic inches } $$


نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.