سهمی، شلجمی، یا منحنی U شکل (Parabola)

سهمی ها یا شلجمی ها یا پارابولاها منحنی های زیبای U شکل هستند. آنها نمودارهای معادلات درجه دوم (quadratic equations) می باشند که در آنها یک جمله دارای \(x\) مربع شده است و یا یک جمله دارای \(y\) مربع شده است، اما هر دوی این جملات همزمان مربع نشده اند. بازتابنده های چراغ جلوی ماشین منحنی های شبیه سهمی دارند. کمان های طلایی لوگوی مک دونالد (McDonald) سهمی هستند. فراوانی سهمی های تولید شده به این واقعیت اشاره می کند که ویژگیهایی که مسئول ساخت یک سهمی هستند معمولاً به طور طبیعی رخ می دهند. ریاضیدانان قادر هستند تا یک معادله را در این پدیده طبیعی قرار دهند.

سهمی ها (Parabolas) دارای یک بالاترین نقطه یا یک پایین ترین نقطه (یا دورترین نقطه در سمت راست، یا دورترین نقطه در سمت چپ) می باشند که رأس (vertex) نامیده می شود. منحنی در سمت چپ و راست رأسی که در بالاترین نقطۀ قرار دارد، کاهش می یابد، و منحنی در سمت چپ و راست رأسی که در پایین ترین نقطه قرار داشته باشد، افزایش می یابد.

امتحان کردن سهمی ساده

معادله محبوب من برای سهمی \(y=x^2\) می باشد، که یک سهمی ساده است. شکل 9-19 نموداری ازاین فرمول را نشان می دهد. این معادله می گوید که مختصات \(y\) در هر نقطه از سهمی برابر با مختصات مربع \(x\) می باشد. توجه داشته باشید که \(x\) چه مثبت و چه منفی باشد، \(y\) مربع آن می باشد و عددی مثبت خواهد بود.

رأس سهمی در شکل 9-19 در مبدأ مختصات \( (0,0) \) می باشد، و منحنی آن رو به سمت بالا می باشد.

شما می توانید با ضرب کردن \(x^2\) در برخی اعداد این سهمی را تندتر یا مسطح تر کنید. اگر جمله مربع را در اعداد بزرگتر از \(1\) ضرب کنید، منجر می شود تا شیب سهمی تندتر شود. اگر جمله مربع را در عددی بین \(0\) و \(1\) ضرب کنید (در یک کسر سره)، منجر می شود تا سهمی مسطح تر گردد (همانطور که در شکل 10-19 می بینید). تندتر کردن شیب سهمی یا مسطح تر کردن آن نسبت به سهمی ساده (basic parabola) کمک می کند تا سهمی برای کاربردهای متفاوت مناسب گردد. سهمی های مسطح تر بیشتر شبیه منحنی بازتابنده چراغ جلوی خودرو هستند. سهمی تندتر می تواند مدلی از زمانی که طول می کشد تا مسافتی را شنا کنید باشد (البته بسته به سن شما).

شما می توانید با ضرب کردن \(x^2\) در عددی منفی کاری کنید که سهمی رو به پایین باز شود، و در حالت رو به پایین آن را نسبت به سهمی ساده، مسطح تر یا تندتر کنید.

قرار دادن رأس بر روی یک محور

سهمی ساده \(y=x^2\) می تواند به اطراف چرخانده شود - چپ، راست، بالا، پایین - ، می توانید رأس آن را در جایی دیگر بر روی یک محور قرار دهید و شکل کلی آن تغییری نکند.

اگر شما معادله ساده را با افزودن یک ثابت به \(x^2\) تغییر بدهید - مانند \(y=x^2+3\) ، \(y=x^2+8\) ، \(y=x^2-5\) ، یا \(y=x^2-1\) - سپس سهمی شما بر روی محور \(y\) بالا و پایین می رود. توجه داشته باشید که جمع زدن با یک عدد منفی نیز بخشی از این قانون می باشد. این دستکاری ها کمک می کنند تا یک سهمی را برای مدل کردن برخی وضعیتها مناسب سازید.

نکته: همه چیز از \(0\) آغاز نمی شود. شکل 11-19 چندین سهمی به شما نشان می دهد که فقط یکی از آنها از \(0\) آغاز شده است.

اگر شما معادله ساده سهموی (parabolic) را ابتدا با افزودن عددی به \(x\) و سپس مربع کردن عبارت تغییر بدهید - مانند \(y=(x+3)^2\) ، \(y=(x+8)^2\) ، \(y=(x-5)^2\) ، یا \(y=(x-1)^2\) - نمودار را به سمت راست یا چپ جایی که سهمی ساده قرار می گیرد، منتقل می کنید. استفاده از \(+3\) همانطور که در معادله \(y=(x+3)^2\) آمده است، نمودار را به سمت چپ منتقل می کند، و استفاده از \(-3\) همانطور که در معادله \(y=(x-3)^2\) آمده است، نمودار را به سمت راست منتقل می کند. این دو متضاد آن چیزی که انتظار دارید عمل می کنند، اما با این روش همواره کار می کند (شکل 12-19 را ببینید).

حرکت سهمی با ضرب کردن

شما می توانید دو عملیات تغییر تندی شیب سهمی و حرکت دادن رأس آن را با یکدیگر ترکیب کنید. اینها سهمی ساده را تغییر می دهند تا با نیاز شما متناسب گردد.

معادله ای که برای مدل سازی از یک وضعیت مورد استفاده قرار می گیرد ممکن است نیاز به یک سهمی با شیب تند داشته باشد، زیرا تغییرات با سرعت اتفاق می افتند، و ممکن است نیاز باشد که نقطۀ آغازین در ارتفاع \(8\) فوت باشد و نه در ارتفاع \(0\) فوت. با حرکت دادن سهمی از محلی به محل دیگر و تعییر دادن شکل آن، می توانید آن را با اطلاعاتی که می خواهید نشان بدهید، متناسبتر کنید.

معادلات زیر و نمودارهای آنها در شکل 13-19 نمایش داده شده اند:

\(y=3x^2-2\) : \(3\) که در \(x^2\) ضرب می گردد، سهمی را تندتر می کند، و \(-2\) رأس سهمی را پایینتر و به مختصات \((0,-2)\) منتقل می کند.
\(y={1 \over 4}x^2+1\) : \({1\over4}\) که در \(x^2\) ضرب شده است، سهمی را مسطح تر می کند، و \(+1\) رأس را تا نقطۀ \((0,1)\) بالاتر می برد.
\(y=-5x^2+3\) : \(-5\) که در \(x^2\) ضرب می شود، شیب سهمی را تندتر می کند و منجر می شود تا سهمی رو به پایین برود، \(+3\) رأس سهمی را به مختصات \((0,3)\) منتقل می کند.
\(y=2(x-1)^2\) : ضریب \(2\) سهمی را تندتر می کند، و تفریق \(1\) از آن رأس را به مختصات \((1,0)\) می برد.
\(y=-{1\over3}(x+4)^2\) : \(-{1\over3}\) سهمی را مسطح تر می کند و منجر می شود تا رو به سمت پایین برود، و افزودن \(4\) رأس سهمی را به مختصات \((-4,0)\) منتقل می کند.
\(y=-{1\over20}x^2+5\) : \(-{1\over20}\) که در \(x^2\) ضرب می شود، سهمی را مسطح تر می کند و منجر می شود تا رو به پایین برود، و \(+5\) منجر می شود تا رأس به مختصات \((0,5)\) منتقل گردد.