شیب خط (slope of a line)

شیب یک خط (slope of a line) عددی است که تندی و جهت نمودار آن خط را توصیف می کند. اگر خط از سمت چپ به راست رو به سمت بالا حرکت کند، شیب (slope) عددی مثبت می باشد. اگر خط از سمت چپ به راست رو به سمت پایین حرکت کند، شیب عددی منفی می باشد. هر چه قدر خط تندتر باشد، قدر مطلق (absolute value) شیب خط بزرگتر خواهد بود.

دانستن پیشاپیش شیب یک خط به شما کمک می کند تا نمودار آن خط را ترسیم کنید. شما می توانید یک نقطه بر روی خط را پیدا کنید و سپس از شیب آن خط و آن نقطه برای ترسیم نمودار آن خط استفاده کنید. یک خط با شیب $6$ به شدت رو به سمت بالا می رود. اگر شما بدانید خط باید چه شکلی باشد (یعنی، اینکه آیا رو به سمت بالا یا پایین باشد) - اطلاعاتی که از شیب خط دریافت می کنید - برای ترسیم نمودار آن خط هیچ مشکل یا سختی نخواهید داشت.

وقتی که از معادله خط برای مدل سازی وضعیت ها استفاده می شود، مقدار شیب خط مهم است. برای مثال، در معادلاتی که هزینه اقلام خیلی زیادی را نمایش می دهند، مقدار شیب، هزینه نهائی (marginal cost) نامیده می شود. در معادلاتی که استهلاک را نشان می دهند، شیب خط، استهلاک سالانه (annual depreciation) نامیده می شود.

شکل 5-20 چند خط را با شیب آنها نشان می دهد. صرفاً به خاطر راحتی تمامی این خطها از مبدأ عبور می کنند.

در مورد یک خط افقی چطور - خطی که نه رو به سمت بالا و نه رو به سمت پایین می رود؟ یک خط افقی دارای شیب $0$ می باشد. یک خط عمودی هیچ شیبی ندارد، شیب یک خط عمودی (که بسیار تند است) تعریف نشده (undefined) است. شکل 6-20 به شما نمودارهایی از خطوطی را که دارای شیب $0$ یا شیب تعریف نشده (undefined) می باشند، نشان می دهد.

نکته: یک روش برای اشاره به شیب، در زمانی که با یک کسر نوشته شده است، روش "rise over run" می باشد. اگر شیب $ {3\over2} $ باشد، یعنی به ازاء هر $2$ واحدی که خط در امتداد محور $x$ می پیماید (runs) ، $3$ واحد در امتداد محور $y$ بالا می رود (rises). شیب $ {-1 \over 8} $ نشان می دهد که همچنان که خط $8$ واحد به صورت افقی و موازی با محور $x$ می پیماید (runs)، $1$ واحد به صورت عمودی سقوط می کند (negative rise).

یادداشت مترجم: به فرمول شیب خط گاهی rise over run نیز گفته می شود.

به فرمول درآوردن شیب خط (Formulating slope)

اگر شما مختصات دو نقطه را بر روی یک خط بدانید، می توانید عددی را که نشان دهندۀ شیب خط می باشد، محاسبه کنید.

قوانین جبر: شیب یک خط که با حرف $m$ کوچک نمایش داده می شود، هنگامی که شما مختصات دو نقطه بر روی خط را داشته باشید، بدست می آید. اگر مختصات این دو نقطه $ (x_1,y_1) $ و $ (x_2,y_2) $ باشند، خواهیم داشت:
$$ m = {y_2-y_1 \over x_2 - x_1} $$

در اینجا زیرنویس ها برای تعیین اینکه کدام نقطه اولین نقطه و کدام دومین نقطه می باشد، مورد استفاده قرار گرفته اند. هیچ قانونی برای تعیین اینکه کدام، کدام است، وجود ندارد. شما می توانید این نقطه ها را به هر روشی که بخواهید نامگذاری کنید. این فقط یک ایده خوب است که آنها را شناسایی کنید تا ترتیبشان را رعایت کنید. اگر این نقاط را در فرمول جابجا کنید، شیب یکسانی را بدست می آورید (هنگامی که ترتیب تفریق را برعکس کنید):
$$ m = {y_1-y_2 \over x_1 - x_2} $$
شما فقط نمی توانید آنها را با هم ترکیب کنید و $ (x_1 - y_2) $ را بر روی $ (x_2 - y_1) $ قرار بدهید.

اکنون، با مثالهای زیر می توانید چگونگی محاسبه شیب خط را ببینید.

مثال: شیب خطی را که از نقاط $ (3,4) $ و $ (2,10) $ عبور می کند، پیدا کنید.
اجازه دهید $ (3,4) $ به جای $ (x_1,y_1) $ باشد و $ (2,10) $ به جای $ (x_2,y_2) $ . این مقادیر را در فرمول جایگذاری کنید:
$$ m = {y_2 - y_1 \over x_2 - x_1} = {10-4 \over 2-3} $$
ساده سازی کنید:
$$ m = {6 \over -1}=-6 $$
این خط همچنانکه از سمت چپ به سمت راست سقوط می کند، دارای شیب کاملاً تند است.

مثال: شیب خطی را که از نقاط $ (4,2) $ و $ (-6,2) $ عبور می کند، پیدا کند.

اجازه دهید $ (4,2) $ نماینده $ (x_1,y_1) $ باشد و $ (-6,2) $ نیز به جای $ (x_2,y_2) $ باشد. مقادیر را در فرمول جایگذاری کنید:
$$ m = {y_2 - y_1 \over x_2 - x_1}= {2-2 \over -6-4} $$
ساده سازی کنید:
$$ m = {0 \over -10} = 0 $$
هر دوی این نقاط $2$ واحد بالاتر از محور $x$ قرار دارند و یک خط افقی را تشکیل می دهند. به همین دلیل هم هست که شیب آن $0$ شد.

مثال: شیب خطی را که از نقاط $ (2,4) $ و $ (2,-6) $ عبور می کند، پیدا کنید.

فرض کنید $ (2,4) $ به جای $ (x_1, y_1) $ و $ (2,-6) $ به جای $ (x_1, y_2) $ باشند. مقادیر را در فرمول جایگذاری کنید:
$$ m = {y_2-y_1 \over x_2-x_1}={-6-4 \over 2-2} $$
عبارت ساده سازی کنید:
$$ m={-10\over0} $$
اوه! شما نمی توانید عددی را بر $0$ تقسیم کنید. چنین عددی وجود ندارد. شیب خط وجود ندارد یا تعریف نشده (undefined) می باشد. این دو نقطه بر روی یک خط عمودی قرار دارند.

هشدار: در هنگام کار با فرمول شیب خط (slope formula) مراقب این خطاهای رایج باشید:

مطمئن گردید که در صورت کسر مقادیر $y$ را از یکدیگر تفریق می کنید. یک اشتباه رایج اینست که مقادیر $x$ را در صورت کسر از یکدیگر تفریق می کنند.
مطمئن شوید که اعداد را در ترتیب صحیحی در هنگام تفریق بیاورید. ابتدا تصمیم بگیرید که کدام نقطه را به عنوان اولین نقطه تعیین می کنید و کدام نقطه را به عنوان دومین نقطه در نظر می گیرید. سپس دومین $y$ را منهای اولین $y$ کنید و همینطور دومین $x$ را منهای اولین $x$ کنید. یک اشتباه رایج اینست که این ترتیب را اشتباه می کنند.

ترکیب شیب خط و تقاطع

معادله یک خط می تواند اشکال زیادی داشته باشد. درست همانطور که می توانید یک فرمول را برای بدست آوردن یک متغیر یا متغیر دیگری حل کنید، می توانید معادله یک خط را نیز برای بدست آوردن یکی از متغیرها حل کنید. این تغییر شکل می تواند به شما کمک کند نقاطی را برای ترسیم نمودار خط پیدا کنید یا شیب یک خط را بیابید.

یک شکل رایج و عمومی از معادله یک خط شکل شیب-تقاطع (slope-intercept) می باشد. دلیل این نامگذاری اینست که شیب خط و عرض از مبدأ (y-intercept) خط، به محض دیدن آشکار هستند. هنگامی که یک خط به شکل $6x+3y=5$ نوشته می شود، شما می توانید با جایگذاری اعداد برای $x$ یا $y$ معادله را برای مختصات دیگر حل کنید. اما با استفاده از روشهای حل کردن معادلات خطی (فصل 12 را ببینید) همین معادله می تواند به صورت $y=-2x+{5\over3}$ نوشته شود، که به شما می گوید شیب خط $-2$ است و محلی که این خط از محور $y$ عبور می کند (عرض از مبدأ) برابر با $ \biggl( 0,{5\over3} \biggr) $ می باشد.

قوانین جبر: در موقعیتی که $y$ و $x$ نماینده نقاطی بر روی خط باشند، $m$ شیب خط باشد، و $b$ عرض از مبدأ خط باشد، شکل شیب-تقاطع (slope-intercept) برابر با $y=mx+b$ می باشد.

در تمامی موارد زیر، معادله در شکل شیب-تقاطع نوشته شده است. ضریب $x$ شیب خط می باشد و مقدار ثابت عرض از مبدأ می باشد.

$y=2x+3$ : شیب این خط $2$ می باشد. عرض از مبدء آن $ (0,3) $ می باشد.
$y={1\over3}x-2$ : شیب این خط ${1\over3}$ و عرض از مبدأ آن $ (0,-2) $ می باشد.
$y=7$ : شیب این خط $0$ و عرض از مبدأ آن $ (0,7) $ می باشد. شما می توانید این معادله را به شکل $ y = 0 \times x + 7$ تعبیر کنید.

شکل شیب-تقاطع (slope-intercept)

اگر معادله خطی هم اکنون در شکل شیب-تقاطع نباشد، حل کردن معادله برای $y$ آن را به شکل شیب-تقاطع تغییر می دهد.

معادله $5x-2y=10$ را به شکل شیب-تقاطع تغییر بدهید.

جمله دارای $y$ را در سمت چپ منزوی (تنها) کنید.
از هر دو سمت معادله $5x$ را تفریق کنید تا جمله دارای $y$ را منزوی کنید: $-2y=-5x+10$
معادله را برای $y$ حل کنید.
هر دو سمت معادله را بر $-2$ تقسیم کنید. و هر دو سمت معادله را ساده سازی کنید.
$$
{-2y \over -2}={(-5x+10) \over 2} \\
y={-5x \over -2} + {10 \over -2} \\
y={5 \over 2}x-5
$$
شیب $5\over2$ و عرض از مبدأ در نقطۀ $(0,-5)$ می باشد.

ترسیم نمودار با شیب-تقاطع

یکی از مزایای داشتن معادله ای در شکل شیب-تقاطع اینست که ترسیم نمودار خط، همچنان که در مثال بعدی خواهید دید، یک کار نسبتاً سریع می باشد.

مثال: نمودار $y={3\over2}x+1$ را ترسیم کنید.

شیب این خط $ {3\over2} $ می باشد، و عرض از مبدأ آن $ (0,1) $ است. ابتدا عرض از مبدأ را روی نمودار ترسیم کنید (شکل 7-20 را ببینید). سپس با استفاده از تفسیر روش "rise-over-run" می توانید با داشتن نقطه ای روی نمودار، و داشتن شیب خط نقطه دیگری را به شکلی که در ادامه خواهید دید، ترسیم کنید. با استفاده از روش "rise-over-run" ابتدا از نقطه عرض از مبدأ $2$ خانه به سمت راست بروید و از آنجا $3$ خانه به سمت بالا بروید. در نهایت باید به نقطۀ $(2,4)$ رسیده باشید.

روش "rise-over-run" چیزی شبیه یافتن محل گنج می ماند: "دو قدم رو به سمت مشرق، سه قدم رو به سمت شمال، حالا همانجا را حفر کنید!". تنها تفاوت در اینست که ما در اینجا به جای کندن چاله نقطه را در آن محل ترسیم می کنیم و سپس این نقطه را با یک خط راست به نقطه آغازین یعنی نقطه عرض از مبدأ متصل می سازیم. به سمت راست شکل 7-20 یعنی قسمت b نگاه کنید تا کار انجام شده را ببینید.

استفاده از یک نقطه و شیب خط یک روش ساده و سریع برای ترسیم یک خط می باشد، بنابراین من یکبار دیگر آن را به شما نشان می دهم.

مثال: نمودار معادله $y=-3x+2$ را ترسیم کنید.

ابتدا، عرض از مبدأ که نقطه $ (0,2) $ می باشد، را ترسیم کنید. به شیب خط که $-3$ می باشد، به صورت کسری فکر کنید که می شود ${-3\over1}$ . با این روش، حرکت افقی شما $1$ خانه می باشد. در اینجا چون صورت کسر یعنی $3$، عددی منفی می باشد، حرکت رو به بالای شما تبدیل به حرکت رو به پایین می گردد. از عرض از مبدا یعنی مختصات $ (0,2) $ تعداد $1$ خانه به سمت راست و سپس $3$ خانه به سمت پایین حرکت کنید، مقصد نقطه $ (1,-1) $ خواهد بود. آن نقطه را به نقطۀ عرض از مبدأ متصل سازید. شکل 8-20 خط $y=-3x+2$ را که شیب آن $-3$ می باشد به شما نشان می دهد.