عملیات جبری بسیار زیادی در دنیا انجام می شود: همه کسانی که از سطح تحصیلات مقدماتی فراتر رفته باشند، یک کلاس جبر را گذرانده اند، بنابراین تعداد زیاد افرادی که از جبر استفاده می کنند به این معنا می باشد که تعداد زیادی خطای اجتناب ناپذیر نیز وجود خواهد داشت. در گرماگرم کشاکش با مسائل جبری، فراموش کردن برخی از قوانین مبهم تر یا اشتباه گرفتن یک قانون با قانونی دیگر به سادگی محتمل است. اما برخی از خطاها به این دلیل اتفاق می افتند که به نظر می رسد آن خطاها راه ساده تری برای حل کردن مسأله باشند. این خطاها معمولاً زمانی اتفاق می افتند که یک قانون برخلاف گرایشات طبیعی شما باشد. بیشتر قوانین جبر معنادار به نظر می رسند، بنابراین یادآوری آنها زیاد سخت نیست. اگرچه، برخی از این قوانین غیرمعمول می باشند.





خطاهای عمده در جبر زمانی رخ می دهند که مشغول انجام عملیات هایی از نوع بسط دادن باشید: توزیع کردن، مربع کردن دو جمله ای ها، جدا کردن کسرها، یا به توان رساندن اعداد. ناحیه مستعد خطای دیگر کار با اعداد منفی می باشد. مراقب آن ارتعاشات منفی باشید.

پیگیری جمله میانی

در نتیجه یک دوجمله ای مربع شده، سه جمله وجود دارد. جمله ای که معمولاً حذف می شود، جمله میانی می باشد. این اشتباه معمولاً زمانی اتفاق می افتد که شما اولین و آخرین جمله را مربع می کنید و جمله میانی را فراموش می کنید.
$$
\begin{array}{|c|c|} \hline
\color{green}{\text{ ✅ Right }} & \color{red}{\text { ❌ Wrong }} \\ \hline
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 & (a+b)^2 \ne a^2+b^2 \\ \hline
\end{array}
$$
برای اطلاعات بیشتر در مورد مربع کردن دوجمله ای ها، فصل 7 را ببینید.

توزیع: یکی برای تو یکی برای من

توزیع یک عدد یا یک علامت منفی بر روی دو یا چند جمله در داخل پرانتزها، در صورتیکه فراموش کنید باید مقدار بیرون پرانتز را در تک تک جملات داخل پرانتز توزیع کنید، می تواند مشکل ساز شود. خطا زمانی اتفاق می افتد که ضرب کردن جمله بیرونی در جملات داخل پرانتز را قبل از رسیدن به انتهای پرانتز، خاتمه می دهید.
$$
\begin{array}{|c|c|} \hline
\color{green}{\text{ ✅ Right }} & \color{red}{\text { ❌ Wrong }} \\ \hline
x-2(y+z-w)=x-2y-2z+2w & x-2(y+z-w) \ne x-2y+z-w \\ \hline
\end{array}
$$
در فصل 7 می توانید اطلاعات بیشتری را در مورد توزیع ببینید.

جدا کردن کسرها (جدایی همیشه سخت است!)

جدا کردن یک کسر به چندین قسمت کوچکتر مادامیکه هر تکه دارای صورت کسر و مخرجی از کل کسر باشد، مشکلی ندارد. شما نمی توانید مخرج را بین عبارتها بشکنید.
$$
\begin{array}{|c|c|} \hline
\color{green}{\text{ ✅ Right }} & \color{red}{\text { ❌ Wrong }} \\ \hline
{x+y \over a+b}={x \over a+b}+{y \over a+b} & {x+y \over a+b} \ne {x \over a}+{y \over b} \\ \hline
\end{array}
$$
برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد چگونگی برخورد با کسرها فصل 3 را ببینید.

بازسازی رادیکال ها

اگر عبارت زیر یک رادیکال دارای مقادیری باشد که در یکدیگر ضرب یا تقسیم شده اند، سپس می توانید آن رادیکال را به دو یا چند رادیکال بشکنید که در یکدیگر ضرب یا تقسیم شده اند. اما اگر عبارت زیر رادیکال دارای جمع و تفریق باشد، نمی توانید این شکستن رادیکال ها را انجام بدهید.
$$
\begin{array}{|c|c|} \hline
\color{green}{\text{ ✅ Right }} & \color{red}{\text { ❌ Wrong }} \\ \hline
\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{a^2+b^2} & \sqrt{a^2+b^2} \ne \sqrt{a^2}+\sqrt{b^2} \\ \hline
\end{array}
$$
برای اطلاعات بیشتر در مورد رادیکال ها فصل 4 را ببینید.

ترتیب انجام عملیات جبری

ترتیب انجام عملیات (order of operations) به شما دستور می دهد تا قبل از اینکه جمع یا تفریق را انجام بدهید، ابتدا عبارت را به توان برسانید. علامت منفی پیش از یک جمله مشابه تفریق عمل می کند، بنابراین تفریق باید در انتها انجام شود. اگر می خواهید یک عدد منفی را به توان برسانید، باید آن عدد را همراه با علامت منفی اش داخل یک پرانتز بگذارید.
$$
\begin{array}{|c|c|} \hline
\color{green}{\text{ ✅ Right }} & \color{red}{\text { ❌ Wrong }} \\ \hline
-3^2=-9 & -3^2 \ne 9 \\ \hline
(-3)^2=9 & \\ \hline
\end{array}
$$
در فصل 5 به طور کامل در مورد ترتیب انجام عملیات در جبر، بحث شده است.

توان های کسری

یک توان کسری (fractional exponent) دارای توان در صورت کسر و ریشه در مخرج کسر می باشد.

$$
\begin{array}{|c|c|} \hline
\color{green}{\text{ ✅ Right }} & \color{red}{\text { ❌ Wrong }} \\ \hline
\sqrt[5]{x^3}=x^{3\over5} & \sqrt[5]{x^3} \ne x^{5\over3} \\ \hline
\end{array}
$$
برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد توان کسری فصل 4 را ببینید.

ضرب کردن پایه ها در یکدیگر

هنگامی که اعداد توان دار را در یکدیگر ضرب می کنید، و آن اعداد دارای پایه یکسانی باشند، توان ها را با هم جمع می کنید و پایه ها را به همان شکل بدون تغییر رها می کنید. پایه ها هرگز در یکدیگر ضرب نمی شوند.
$$
\begin{array}{|c|c|} \hline
\color{green}{\text{ ✅ Right }} & \color{red}{\text { ❌ Wrong }} \\ \hline
2^3 \cdot 2^4=2^7 & 2^3 \cdot 2^4 \ne 4^7 \\ \hline
\end{array}
$$
برای اطلاعات بیشتر در مورد ضرب اعداد توان دار فصل 4 را مرور کنید.

توان برای توان

برای به توان رساندن عددی که خودش در حال حاضر توان دار می باشد، توان ها را در یکدیگر ضرب کنید تا کل عبارت به یک توان جدید برسد. صرفاً خود توان را به توان نرسانید، این پایه است که به توان رسیده است و نه توان.
$$
\begin{array}{|c|c|} \hline
\color{green}{\text{ ✅ Right }} & \color{red}{\text { ❌ Wrong }} \\ \hline
(x^2)^4 = x^8 & (x^2)^4 \ne x^{16} \\ \hline
\end{array}
$$
در فصل 4 می توانید اطلاعات بیشتری را در مورد توان ها بیابید.

کاهش کسرها برای رسیدن به کسری مناسبتر

هنگام کاهش کسرهایی که در صورت آنها بیش از یک جمله وجود دارد که با جمع یا تفریق از یکدیگر جدا شده اند، کاهش کسر باید به صورت جداگانه برای هر جمله در کسر صورت پذیرد.
$$
\begin{array}{|c|c|} \hline
\color{green}{\text{ ✅ Right }} & \color{red}{\text { ❌ Wrong }} \\ \hline
{(4+6x)\over 4}={(2+3x)\over 2} & {(4+6x)\over 4} \ne {(2+6x)\over 2} \\ \hline
\end{array}
$$
برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد کسرها فصل 3 را ببینید.

توان منفی

هنگام تبدیل کسرها به عبارتهای معادلشان با توان های منفی، به هر فاکتور به صورت جداگانه توان منفی تخصیص بدهید.
$$
\begin{array}{|c|c|} \hline
\color{green}{\text{ ✅ Right }} & \color{red}{\text { ❌ Wrong }} \\ \hline
{1 \over 2ab^2} = 2^{-1}a^{-1}b^{-2} & {1 \over 2ab^2} \ne 2a^{-1}b^{-2} \\ \hline
\end{array}
$$
در فصل 4 می توانید اطلاعات بیشتری در مورد توان های منفی بیابید.