خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


تکنیک های فاکتورگیری (Factoring Techniques)

تکنیک های فاکتورگیری (Factoring Techniques)
نویسنده : امیر انصاری
هنگامی که یک عبارت جبری را فاکتورگیری می کنید، حاصل جمع و تفاضل جملات را به صورت یک حاصل ضرب می نویسید. برای مثال، شما سه جمله \(x^2-x-42\) را در شکل فاکتورگیری شده آن به صورت \( (x-7)(x+6) \) می نویسید. این عبارت از یک سه جمله ای به یک عبارت طولانی تر که در آن جملات در یکدیگر ضرب شده اند، تبدیل می شود. شما می توانید دو جمله ای ها، سه جمله ای ها، چهار جمله ای ها، و غیره را برای اهداف مختلفی فاکتورگیری کنید. در مواقعی که شکل فاکتورگیری شده را برابر با صفر قرار می دهید تا معادله ای را حل کنید، فاکتورگیری بسیار سودمند خواهد بود. فاکتورگیری در صورت و همینطور مخرج کسرها به شما امکان می دهد تا کسرها را کاهش بدهید.



شما می توانید به فاکتورگیری به عنوان متضاد توزیع فکر کنید. شما برای توزیع یا ضرب کردن عبارتهای داخل یک پرانتز در یک عدد بیرونی، دلایل خوبی دارید، این فرآیند به شما کمک می کند تا جملات مشابه را با هم ترکیب کنید و عبارت را ساده سازی کنید. بیرون کشیدن یک فاکتور مشترک نیز اهداف خودش را در حل کردن معادلات و ترکیب کسرها دارد. قالب های مختلف یکسان می باشند، آنها فقط کاربردهای متفاوتی دارند.

فاکتورگیری از دو جمله ای ها


قوانین جبر: وقتیکه یک عبارت جبری دارای دو جمله باشد، در صورتیکه آن عبارت قابل فاکتورگیری باشد، شما برای فاکتورگیری آن چهار انتخاب دارید. اگر شما چهار روش ذیل را امتحان کنید و هیچکدام از آنها جواب ندهد، می توانید تلاشتان را متوقف کنید، شما نمی توانید آن عبارت را فاکتورگیری نمایید:

  • بزرگترین عامل مشترک (Greatest common factor):
    $$ ax + ay = a(x + y) $$
  • تفاضل بین دو مربع کامل:
    $$ x^2 – a^2 = (x – a)(x + a) $$
  • تفاضل بین دو مکعب کامل:
    $$ x^3 – a^3 = (x – a)(x^2 + ax + a^2) $$
  • مجموع بین دو مکعب کامل:
    $$ x^3 + a^3 = (x + a)(x^2 - ax + a^2) $$
نکته: به طور کلی، قبل از تلاش برای سایر انواع فاکتورگیری، ابتدا بزرگترین عامل مشترک را بررسی می کنید. با بیرون کشیدن بزرگترین عامل مشترک، معمولاً اعداد را کوچکتر و قابل مدیریت تر می کنید، که به شما کمک می کند به وضوح ببینید که آیا سایر انواع فاکتورگیری مورد نیاز می باشند یا خیر.

برای مثال، برای فاکتورگیری عبارت \(6x^4-6x\) ، ابتدا بزرگترین عامل مشترک یعنی \(6x\) را فاکتور می گیرید، و سپس خواهید دید که با الگوی تفاضل بین دو مربع کامل، مواحه خواهید شد:
$$
6x^4-6x = 6x(x^3-1) \\
=6x(x-1)(x^2+x+1)
$$
یادتان باشد: یک سه جمله ای درجه دوم (quadratic trinomial)، یک چندجمله ای (polynomial) با سه جمله می باشد که یکی از آنها به توان دوم رسیده باشد. هنگامی که چیزی شبیه \(x^2+x+1\) (در این مورد) را می بینید، احتمالاً می خواهید فوراً امکان فاکتورگیری آن به حاصلضرب دو، دوجمله ای را بررسی کنید. متوقف شوید. این سه جمله ای ها که در نتیجه فاکتورگیری مکعب ها سر در آوده اند، با شما همکاری نخواهند کرد.

نکته ای را که به شما گفتم در خاطر داشته باشید که همیشه یک مسأله فاکتورگیری را با جستجو به دنبال بزرگترین عامل مشترک آغاز کنید. به مثال \(48x^3y^2-300x^3\) بنگرید. وقتی که این عبارت را فاکتورگیری می کنید، ابتدا بزرگترین عامل مشترک یعنی \(12x^3\) را بیرون می کشید، تا به \(12x^2(4y^2-25) \) برسید. حالا می توانید با الگوی تفاضل بین دو مربع کامل فاکتورگیری را انجام بدهید:
$$ 48x^3y^2-300x^3=12x^3(2y-5)(2y+5) $$
در اینجا مثال دیگری داریم: عبارت \(z^4-81\) تفاضل بین دو مربع کامل می باشد. وقتی آن را فاکتورگیری می کنید، \(z^4-81=(z^2-9)(z^2+9) \) را بدست می آورید. توجه کنید که فاکتور اول خودش تفاضل بین دو مربع می باشد و می توانید آن را دوباره فاکتورگیری نمایید. با این حال، عبارت دوم، مجموع مربع ها می باشد و شما نمی توانید آن را دوباره فاکتورگیری کنید. در مکعب کامل شما هم می توانید مجموع و هم تفاضل دو مکعب را فاکتورگیری کنید، اما در مربع کامل فقط تفاضل دو مربع قابل فاکتورگیری می باشد. در نهایت خواهیم داشت:
$$ z^4-81=(z-3)(z+3)(z^2+9) $$

فاکتورگیری از سه جمله ای ها


قوانین جبر: وقتیکه یک عبارت درجه دوم دارای سه جمله باشد، و یک سه جمله ای (trinomial) را بسازد، شما دو روش مختلف برای فاکتورگیری آن دارید. یک روش اینست که بزرگترین عامل مشترک را فاکتور بگیرید، و روش دیگر اینست که دو دوجمله ای را بیابید که حاصلضرب آنها برابر با آن سه جمله ای گردد:

  • بزرگترین عامل مشترک:
    $$ ax + ay + az = a(x + y + z) $$
  • دو دوجمله ای:
    $$ x^{2n} + (a+b)^{xn} + ab = (x^n + a)(x^n + b) $$

شما معمولاً به سادگی می توانید متوجه بزرگترین عامل مشترک گردید، شما مضربی از چند عدد یا متغیر را در هر جمله می بینید. با حاصلضرب دو دوجمله ای، شما صرفاً باید تلاش کنید تا این حاصلضرب را پیدا کنید یا اینکه قانع شوید، این حاصلضرب وجود ندارد.

برای مثال، شما می توانید عبارت \(6x^3-15x^2y+24xy^2\) را با تقسیم کردن جملات آن بر عامل مشترک یعنی \(3x\) فاکتورگیری کنید:
$$ 6x^3-15x^2y+24xy^2 = 3x(2x^2-5xy+8y^2) $$
نکته: شما ابتدا می خواهید دنبال عامل مشترک بگردید. فاکتورگیری از عبارات وقتیکه اعداد کوچکتر باشند معمولاً ساده تر است. در مثال قبلی، تنها کاری که شما می توانید انجام بدهید اینست که عامل مشترک را بیرون بکشید. سه جمله ای باقی مانده اول (prime) می باشد، شما نمی توانید آن را بیشتر از این فاکتورگیری کنید.

سه جمله ای هایی که به دو دوجمله ای فاکتورگیری می شوند بر روی متغیرهایشان توان های مرتبط دارند. ارتباط بین توانها اینست که یکی از آنها دوبرابر دیگری می باشد. وقتی که یک سه جمله ای را به حاصلضرب دو دوجمله ای، فاکتورگیری می کنید، ابتدا نگاه کنید آیا یک حاصلضرب خاص دارید: یک سه جمله ای مربع کامل. اگر اینطور نباشد، می توانید با روش unFOIL ادامه بدهید. FOIL که مخفف \( \text{First, Outer, Inner, Last} \) می باشد، به شما کمک می کند تا دوجمله ای ها را در یکدیگر ضرب کنید. روش unFOIL به شما کمک می کند تا حاصلضرب آن دوجمله ای ها را فاکتورگیری کنید.

یادداشت مترجم: در دوره آموزشی رایگان جبر 1 و در آموزش های زیر در مورد FOIL و unFOIL بحث شده است:

پیدا کردن مربع کامل سه جمله ای


قوانین جبر: یک مربع کامل سه جمله ای (perfect square trinomial) یک عبارت متشکل از سه جمله است که نتیجه اش مربع یک دوجمله ای می شود، یا به عبارت دیگر حاصلضرب آن دوجمله ای در خودش می شود. تشخیص دادن مربع سه جمله ای ها نسبتاً آسان می باشد، جملات اول و آخر آنها مربع کامل می باشند، و جمله میانی آن دوبرابر حاصلضرب ریشه های جمله اول و جمله آخر می باشد:
$$
a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \\
a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2
$$
به عنوان مثال، برای فاکتور گیری \(x^2-20x+100\) ، ابتدا باید تشخیص بدهید که \(20x\) دوبرابر حاصلضرب ریشه های \(x^2\) و \(100\) می باشد. بنابراین، شکل فاکتورگیری شدۀ این سه جمله ای برابر با \( (x-10)^2 \) می باشد. یک عبارت که کاملاً واضح نمی باشد عبارت \(25y^2+30y+9\) است. شما می توانید ببینید که جمله اول و جمله آخر مربع کامل می باشند. ریشه \(25y^2\) برابر با \(5y\) است، و ریشه \(9\) برابر با \(3\) می باشد. عبارت میانی یعنی \(30y\) مساوی با دوبرابر حاصلضرب \(5y\) و \(3\) است، بنابراین شما یک سه جمله ای مربع کامل دارید که نتیجه فاکتورگیری آن \( (5y+3)^2 \) است.

متوسل شدن به unFOIL


هنگامی که یک سه جمله ای را فاکتورگیری می کنید که نتیجۀ آن حاصلضرب دو دوجمله ای می شود، شما باید کارآگاه بازی در بیاورید و تکه های معما را کنار هم بچینید. به حاصلضرب دو جمله ای های تعمیم یافته زیر و الگوی آشکار شده، نگاهی بیندازید:
$$ (ax + b)(cx + d) = acx^2 + adx + bcx + bd = acx^2 + (ad + bc)x + bd $$
بنابراین، FOIL چه زمانی وارد می شود؟ شما قبل از اینکه بتوانید unFOIL کنید، ابتدا نیاز به FOIL دارید، اینطور فکر نمی کنید؟

حرف F در FOIL نماینده First (اولین) می باشد. در مسأله قبلی، اولین جملات \(ax\) و \(cx\) می باشند. شما این جملات را در یکدیگر ضرب می کنید تا به \(acx^2\) برسید. جملات بیرونی (Outer) عبارت از \(ax\) و \(d\) می باشند. درسته، شما قبلاً \(ax\) را با نام اولین مورد استفاده قرار دادید، اما در اینجا هر کدام از جملات دو نام مختلف دارند. جملات درونی (Inner) عبارت از \(b\) و \(cx\) می باشند. حاصلضرب بیرونی ها (Outer) و درونی ها (Inner) به ترتیب عبارت از \(adx\) و \(bcx\) می باشند. شما این دو مقدار را با یکدیگر جمع می زنید. (در مورد کار با اعداد زیاد نگران نباشید، آنها به زیبایی با یکدیگر ترکیب می شوند.) جملات پایانی (Last) عبارت از \(b\) و \(d\) می باشند که حاصلضربشان \(bd\) می گردد. در ادامه یک مثال واقعی داریم که در آن از FOIL برای ضرب کردن ضریب های عددی به جای حروف الفبا استفاده شده است :
$$ (4x + 3)(5x – 2) = 20x^2 – 8x + 15x – 6 = 20x^2 + 7x – 6 $$
حالا، به هر سه جمله ای درجه دوم به شکل \(acx^2+(ad+bc)x+bd \) فکر کنید. ضریب جمله \(x^2\) یعنی \(ac\) ، حاصلضرب ضریب های دو جمله \(x\) دار در داخل پرانتزها می باشد. جمله آخر یعنی \(bd\) حاصلضرب دو جمله دوم در پرانتزها می باشد. و ضریب جمله میانی مجموع حاصلضرب دو جمله بیرونی و درونی می باشد. برای فاکتورگیری این سه جمله ای به حاصلضرب دو دوجمله ای، شما باید از معکوس FOIL استفاده کنید.

یادتان باشد: در اینجا مراحل اصلی روش unFOIL کردن یک سه جمله ای را می بینید:

  1. تمامی روش هایی را که طی آن می توانید دو عدد را در یکدیگر ضرب کنید تا به \(ac\) برسید، لیست کنید. \(ac\) ضریب جمله مربع شده می باشد.
  2. تمامی روش هایی را که طی آن حاصلضرب دو عدد \(bd\) می شود، لیست کنید. \(bd\) جمله ثابت می باشد.
  3. اگر آخرین جمله مثبت باشد، ترکیبی از فاکتورهای مرحله 1 و 2 را بیابید که مجموع آنها جمله میانی و حاصلضرب آنها جمله پایانی گردد. اگر جمله آخر منفی باشد، تفاضل آن دو باید جمله میانی گردد.
  4. انتخابهای خودتان را به شکل دوجمله ای مرتب کنید تا فاکتورها بدرستی به خط شوند.
  5. علامتهای \(+\) و \(-\) را وارد کنید تا فاکتورگیری را کامل کنید و کاری کنید علامت جمله میانی درست در بیاید.

سازماندهی فاکتورها در دوجمله ای ها هیچ تدارکی برای علامت های مثبت یا منفی در الگوی unFOIL فراهم نمی کند، شما خودتان باید قسمت علامتها را به صورت جداگانه مد نظر داشته باشید. آرایش های ممکن برای علامت ها در بخش هایی که در ادامه خواهید دید، آمده اند.

عملیات UnFOI \(+ +\)


یکی از آرایش های ممکن علامت ها که در هنگام فاکتورگیری سه جمله ای ها می بینید اینست که تمامی جملات با علامت \(+\) از یکدیگر جدا شده باشند.

نکته: از آنجا که آخرین جمله در مثال سه جمله ای یعنی \(bd\) مثبت می باشد، دو دوجمله ای دارای علامت یکسانی می باشند، زیرا حاصلضرب دو عدد مثبت عددی مثبت می شود، و حاصلضرب دو عدد منفی نیز عددی مثبت می گردد.

به عنوان مثال، برای فاکتورگیری از عبارت \(x^2+9x+20\) ، شما نیاز دارید تا دو جمله را بیابید که حاصل ضربشان \(20\) و حاصل جمعشان \(9\) گردد. ضریب جملۀ مربع شده \(1\) می باشد، بنابراین لازم نیست تا هیچ فاکتور دیگری را در نظر بگیرید. شما می توانید عدد \(20\) را با حاصلضرب های \(1 \cdot 20, 2 \cdot 10, 4 \cdot 5 \) بدست آورید. آخرین جفت انتخاب شما خواهد بود، زیرا \(4+5=9\) . با چینش فاکتورها و \(x\) ها در دو دوجمله ای خواهید داشت:
$$ x^2+9x+20=(x+4)(x+5) $$

عملیات UnFOI \(- +\)


یک آرایش دوم در سه جمله ای ها اینست که جمله میانی منفی باشد و جمله آخر مثبت باشد. دو دوجمله ای تولید شده در نتیجه فاکتورگیری این نوع سه جمله ای ها هر دو علامت منفی خواهند داشت.

نکته: کلیدی که شما دنبال آن هستید مجموع حاصل ضرب جملات درونی (Inner) و جملات بیرونی (Outer) می باشد، زیرا علامت ها باید یکسان باشند.

به عنوان مثال، فرض کنید می خواهید سه جمله ای \(3x^2-25x+8\) را فاکتور بگیرید. شما با جستجوی فاکتورهای \(3\) کار را آغاز می کنید، و فقط \(1 \cdot 3\) را می یابید. همچنین به دنبال فاکتورهای \(8\) می گردید که عبارت از \(1 \cdot 8, 2 \cdot 4\) می باشند. تنها انتخاب شما برای اولین جملات در دوجمله ای ها \( (1x \text{ ___ })(3x \text{ ___ }) \) می باشد. حالا یا \(1\) و \(8\) و یا \(2\) و \(4\) را انتخاب می کنید به نحویکه وقتی این اعداد را در دومین موقعیت در دو جمله ای ها قرار دادید، حاصلضرب دو جمله بیرونی و دو جمله درونی ، مجموعشان \(25\) گردد. با استفاده از \(1\) و \(8\) ، امکان می دهید تا \(3x\) در \(8\) ضرب گردد و \(1x\) در \(1\) ضرب شود، که مجموع این دو حاصلضرب \(25\) خواهد شد. بنابراین: \(3x^2-25x+8=(x-8)(3x-1)\) . شما نیازی ندارید تا ضریب \(1\) را در اولین \(x\) بنویسید، زیرا ضریب \(1\) حتی اگر نوشته نشود از آن درک می گردد.

عملیات UnFOI \(+ -\) یا \(- -\)


نکته: هنگامی که آخرین جمله در یک سه جمله ای منفی باشد، شما باید به دنبال تفاضل بین دو حاصلضرب بگردید. برای مثال، هنگام فاکتورگیری عبارت \(x^2+2x-24\) یا عبارت \(6x^2-x-12\) ، عملیات دو دوجمله ای باید یکی مثبت و دیگری منفی باشد. داشتن علامتهای متفاوت چیزی است که منجر می شود تا آخرین جمله در سه جمله ای منفی گردد.

برای فاکتورگیری عبارت \(x^2+2x-24\) ، شما به دو عدد نیاز دارید که حاصلضرب آنها \(24\) و تفاضل بین آنها \(2\) شود. فاکتورهای \(24\) عبارت از \( 1\cdot 24, 2 \cdot 12, 3 \cdot 8, 4 \cdot 6\) می باشند. اولین جمله ضریبی از \(1\) دارد، بنابراین شما می توانید فقط بر روی فاکتورهای \(24\) تمرکز کنید. جفتی که شما می خواهید \(4 \cdot 6\) می باشد. دوجمله ای ها را با \(x\) ها و \(4\) و \(6\) بنویسید. برای قرار دادن علامتها می توانید تا آخر فرآیند ثبت کنید. شما تصمیم گرفته اید که \((x \text{ __ } 4)(x \text{ __ } 6))\) آرایش مورد نظرتان می باشد. شما نیاز به تفاضل بین حاصلضرب جملات درونی و بیرونی دارید که عددی مثبت گردد، بنابراین اجازه دهید \(6\) مثبت و \(4\) منفی باشد تا این مطلوب حاصل گردد. با نوشتن فاکتورگیری خواهید داشت: \(x^2+2x-24=(x-4)(x+6) \) .

فاکتورگیری از عبارت \(6x^2-x-12\) اندکی بیشتر چالش انگیز است، زیرا شما باید هم فاکتورهای \(6\) و هم فاکتورهای \(12\) را در نظر بگیرید. فاکتورهای \(6\) عبارت از \(1 \cdot 6, 2 \cdot 3\) می باشند، و فاکتورهای \(12\) عبارت از \(1 \cdot 12, 2 \cdot 6, 3 \cdot 4\) می باشند. من نمی توانم یک روش جادویی برای پیدا کردن بهترین ترکیب ها به شما ارائه بدهم. این کار تمرین و البته شانس می خواهد. اما، اگر تمامی انتخابهای ممکن را بنویسید، می توانید به محض اینکه تشخیص دادید کدام یکی درست کار نمی کند، آن را خط بزنید. شما ممکن است با فاکتورهای \(2\) و \(3\) از \(6\) کار را آغاز کنید. دوجمله ای ها عبارت از \( (2x \text{ __ })(3x \text{ __ }) \) می باشند. تا انتهای فرآیند هیچ نوع علامتی را درج نکنید. اکنون، از فاکتورهای \(12\) استفاده کنید، شما به دنبال یک جفت هستید که تفاضل حاصلضرب بین جملات درونی و بیرونی را برابر \(1\) نماید. حاصلضرب \(3 \cdot 4\) را امتحان کنید. \(3\) را با \(3x\) مطابقت بدهید و \(4\) را با \(2x\) مطابقت بدهید. خودشه! شما الان آنرا دارید. شما عبارت \( (2x \text{ __ } 3)(3x \text{ __ } 4) \) را می خواهید. شما می خواهید \(3\) و \(3x\) را در یکدیگر ضرب کنید، زیرا آنها در پرانتزهای جداگانه ای هستند. تفاضل بین آنها باید منفی باشد، بنابراین می توانید علامت منفی را در برابر \(3\) در اولین دوجمله ای قرار بدهید: \(6x^2-x-12=(2x-3)(3x+4)\) .

فاکتورگیری از چهار یا تعداد بیشتری جمله با گروه بندی


هنگامیکه چهار یا تعداد بیشتری جمله گرد هم می آیند تا یک عبارت را تشکیل دهند، شما چالش بزرگتری در فاکتورگیری دارید. همانطور که در عبارتهای دارای جملات کمتر انجام می دادید، در اینجا هم همیشه ابتدا به دنبال بزرگترین عامل مشترک بگردید. اگر نتوانید عامل مشترکی را در بین تمامی جملات پیدا کنید، گزینه بعدی شما گروه بندی می باشد. برای گروه بندی، جملات را دوتا دوتا در نظر بگیرید و به دنبال عامل مشترک در هر جفت به صورت جداگانه بگردید. بهترین روش برای توضیح دادن اینست که فاکتورگیری به وسیله گروه بندی را به شما نشان بدهیم. در اینجا به دو مثال می پردازیم، مثال اول \(x^3-4x^2+3x-12\) و مثال دوم \(xy^2-2y^2-5xy+10y-6x+12\) می باشد.

چهار جملۀ \(x^3-4x^2+3x-12\) هیچ عامل مشترکی ندارند. با این حال، دو جمله اول دارای عامل مشترک \(x^2\) و دو جمله آخر دارای عامل مشترک \(3\) می باشند:
$$ x^3-4x^2+3x-12=x^2(x-4)+3(x-4) $$
توجه داشته باشید که اکنون شما دو جمله دارید و نه چهار جمله، و هر دوی این جملات دارای فاکتور مشترک \( (x-4) \) می باشند. حالا، \( (x-4) \) را از هر جمله فاکتور بگیرید تا به \( (x-4)(x^2+3) \) برسید.

یادتان باشد: فاکتورگیری با روش گروه بندی تنها زمانی درست کار می کند که بعد از گروه بندی فاکتور جدیدی به صورت یکسان در تمامی جملات ظاهر گردد.

شش جملۀ \(xy^2-2y^2-5xy+10y-6x+12\) هیچ فاکتور مشترکی ندارند، اما با گروه بندی آنها به صورت دوتایی، می توانید فاکتورهای \(y^2\) ، \(-5y\) ، و \(-6\) را از آنها بیرون بکشید. با فاکتورگیری به روش گروه بندی به نتیجه زیر می رسید:
$$ xy^2-2y^2-5xy+10y-6x+12 = y^2(x-2)-5y(x-2)-6(x-2) $$
سه جملۀ جدید هر کدام دارای عامل مشترک \( (x-2) \) می باشند، بنابراین فاکتورگیری به صورت \( (x-2)(y^2-5y-6) \) در می آید. سه جمله ای ایجاد شده در نتیجۀ فاکتورگیری، برای فاکتورگیری با روش unFOIL مناسب است، در نتیجه خواهیم داشت:
$$ (x-2)(y^2-5y-6)=(x-2)(y-6)(y+1) $$
فاکتورگیری با موفقیت انجام شد، بزن بریم!



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.