معادلات و نامعادلات قدر مطلق

هنگامی که یک عملیات قدر مطلق (absolute value) را انجام می دهید، مشغول انجام یک جراحی نمی باشید، شما یک عدد را دریافت می کنید، آن را بین دو علامت قدر مطلق $ |a| $ قرار می دهید، و فاصلۀ آن عدد تا صفر در خط اعداد را ثبت می کنید. برای مثال، $ |3|=3 $ ، زیرا $3$ سه واحد از صفر در خط اعداد (محور اعداد) فاصله دارد. از سوی دیگر، $ |-4|=4 $ ، زیرا $-4$ چهار واحد با صفر فاصله دارد.

قوانین جبر: قدر مطلق $a$ به شکل زیر تعریف می شود:
$$
|a| =
\begin{cases}
a & \text{if } a \ge 0 \\
-a & \text{if } a \lt 0
\end{cases}
$$
شما این تعریف را بدین شکل می خوانید: "قدر مطلق $a$ برابر با $a$ ،یعنی خودش، می باشد، اگر $a$ عددی مثبت یا صفر باشد. قدر مطلق $a$ برابر با معکوس $a$ می باشد، اگر $a$ عددی منفی باشد."

حل کردن معادلات قدر مطلق (absolute-value equations)

یک معادله قدر مطلق خطی معادله ای است که به شکل $ |ax+b|=c $ می آید. شما نمی دانید ظاهر معادله را بپذیرید یا خیر، زیرا نمی دانید مقدار داخل قدرمطلق مثبت یا منفی می باشد. علامت عبارت داخل میله های قدر مطلق بستگی به علامت متغیر $x$ دارد. برای حل کردن یک معادله قدر مطلق در این شکل خطی آن، شما باید هر دو احتمال ممکن را در نظر بگیرید: $ax+b$ ممکن است مثبت یا منفی باشد.

قوانین جبر: جهت حل کردن معادله $|ax+b|=c$ برای بدست آوردن $x$ ، شما باید هر دو معادلۀ $ax+b=c$ و $ax+b=-c$ را حل کنید.

برای مثال، برای حل کردن معادله قدر مطلق $ |4x+5|=13 $ ، شما دو معادله خطی می نویسید و آنها را برای $x$ حل می کنید:
$$
\begin{array}{c c}
4x+5=13 & 4x+5=-13 \\
4x=8 & 4x= -18 \\
x = 2 & x = -{18 \over 4}=-{9 \over 2}
\end{array}
$$
شما دو پاسخ دارید: $2$ و $-{9 \over 2}$ . هر دو پاسخ در هنگامی که آنها را جایگزین $x$ در معادله اصلی کنید به درستی جواب خواهند داد.

یادتان باشد: یک محدودیت که شما باید در هنگام به کار بردن قانون تبدیل معادله قدرمطلق به معادلات خطی جداگانه از آن آگاه باشید، اینست که جمله قدر مطلق باید در یک سمت معادله تنها باشد.

برای مثال، برای حل کردن معادله $3|4-3x|+7=25$ ، ابتدا باید $7$ را از هر سمت معادله تفریق کنید و سپس هر سمت را بر $3$ تقسیم نمایید:
$$
3|4-3x|+7=25 \\
3|4-3x|=18 \\
|4-3x|=6
$$
اکنون می توانید دو معادله خطی را بنویسید و آنها را برای $x$ حل کنید:
$$
\begin{array}{c c}
4-3x=6 & 4-3x=-6 \\
-3x=2 & -3x=-10 \\
x = -{2 \over 3} & x ={10 \over 3}
\end{array}
$$

نامعادلات قدر مطلق (absolute value inequality)

یک نامعادله (نامساوی) قدر مطلق شامل یک قدر مطلق ـــ $|a|$ ـــ و یک علامت نابرابری ـــ $ \lt, \gt, \le, \ge $ ـــ می باشد.

قوانین جبر: برای حل کردن یک نامساوی قدر مطلق شما باید شکل آن را از قدر مطلق به یک نامساوی ساده تغییر بدهید. روش رسیدگی به تغییر شکل دادن نماد قدر مطلق به نماد نامساوی بستگی به جهتی دارد که نامساوی، با توجه به جمله قدر مطلق، به آن اشاره دارد. بسته به جهت ها، روش ها کاملاً متفاوت می باشند:

برای حل کردن $x$ در نامساوی $ |ax+b| \lt c $ ، شما باید $ -c \lt ax + b \lt c$ را حل کنید.
برای حل کردن $x$ در نامساوی $ |ax+b| \gt c $ شما باید $ax+b \gt c$ و $ax+b \lt -c$ را حل کنید.

اولین تغییر $ax+b$ را بین $c$ و متضاد آن در تنگنا قرار می دهد. دومین تغییر مقادیر بزرگتر از $c$ (رو به سمت مثبت بی نهایت) و مقادیر کوچکتر از $-c$ (رو به سمت منفی بی نهایت) بررسی می کند.

در تنگنا قرار دادن مقادیر در نامساوی ها

شما اولین قانون حل کردن نامساوی های قدر مطلق را بر روی نامساوی $|2x-1| \le 5$ بکار می گیرید، زیرا جهت نماد نابرابری کوچکتر از می باشد. شما نامساوی را با قوانین تغییر قالب بازنویسی می کنید: $-5 \le 2x-1 \le 5$ . سپس، به هر بخش یک را اضافه می کنید تا متغیر را تنها بگذارید: $-4 \le 2x \le 6$ . هر بخش را بر دو تقسیم کنید: $-2 \le x \le 3$ . شما می توانید این پاسخ را در نماد بازه نیز بنویسید: $[-2,3]$ .

قبل از بکار بردن قانون مطمئن شوید که نامساوی قدر مطلق در شکل صحیحی قرار دارد. بخش قدر مطلق باید در محل مربوط به خودش تنها باشد. برای مثال، اگر شما داشته باشید $2|3x+5|-7 \lt 11$ ، نیاز دارید تا $7$ را به هر سمت بیفزایید و سپس هر سمت را بر $2$ تقسیم کنید و سپس اقدام به تغییر شکل نامساوی قدر مطلق کنید:
$$
2|3x+5|-7 \lt 11 \\
2|3x+5| \lt 18 \\
|3x+5| \lt 9 \\
\begin{array}{c c c}
-9 & \lt 3x +5 \lt & 9 \\
-5 & -5 & -5 \\
\hline
-14 & \lt 3x \lt & 4 \\
{-14 \over 3} & {3x \over 3} & {4 \over 3} \\
\hline
-{14 \over 3} & \lt x \lt & {4 \over 3} \\
\end{array}
$$
می توانید این پاسخ را با نماد بازه به این شکل بنویسید: $ (-{14 \over 3},{4 \over 3} ) $ .

مهار کردن نامساوی هایی که در جهت متضاد هم هستند

یک نامساوی قدر مطلق با یک نماد بزرگتر از، همچون $ |7-2x| \gt 11$ ، دارای پاسخهایی می باشد که بی نهایت به سمت راست و بی نهایت به سمت چپ خط اعداد می روند. برای حل کردن نامساوی جهت یافتن مقادیری که در آن به درستی کار کند، قدر مطلق را با استفاده از قانون نامساوی بزرگتر از، بازنویسی می کنید. دو نامساوی کاملاً جداگانه برای حل کردن خواهید داشت. پاسخها به نامساوی $7-2x\gt 11$ یا نامساوی $7-2x\lt -11$ ، مرتبطند. توجه داشته باشید که وقتیکه نماد علامت $11$ از مثبت به منفی تغییر می کند، نماد نامساوی جهتش معکوس می شود.

هنگامی که دو نامساوی را حل می کنید، مطمئن شوید که یادتان باشد در هنگام تقسیم بر $-2$ علامت نامساوی را معکوس کنید:
$$
\begin{array}{c c}
7-2x \gt 11 & 7-2x \lt -11 \\
-2x \gt 4 & -2x \lt -18 \\
x \lt -2 & x \gt 9
\end{array}
$$
پاسخها $x \lt -2$ یا $x \gt 9$ می باشند، که در نماد بازه به ترتیب به شکل $ (-\infty, -2) $ و $ (9, \infty) $ نوشته می شوند.

هشدار: پاسخهای $x \lt -2$ یا $x \gt 9$ را به شکل $ 9 \lt x \lt -2$ ننویسید. اگر چنین کاری کنید، شما نشان داده اید که برخی اعداد می توانند همزمان هم از $9$ بزرگتر باشند و هم از $-2$ کوچکتر، که قطعاً نه چنین است.

افشاء کردن یک نامساوی غیرممکن دغل باز

قوانین حل کردن نامساوی های قدر مطلق نسبتاً سرراست هستند. شما شکل نامساوی را تغییر می دهید و آنها را برای پیدا کردن متغیرهایی که در مسأله به درستی کار کنند، حل می کنید. با این حال، گاهی اوقات در میان سراسیمگی دنبال کردن قوانین، یک وضعیت غیرممکن تدریجاً راهش را باز می کند و سعی می کند تا شما را غافلگیر کند.

برای مثال، فرض کنید می خواهید نامساوی قدر مطلق $2|3x-7|+8 \lt 6$ را حل کنید. چیز مهمی به نظر نمی رسد. شما صرفاً $8$ را از هر سمت نامساوی کم می کنید و هر سمت را بر $2$ تقسیم می کنید. مقدار تقسیم شده مثبت می باشد، بنابراین شما جهت را معکوس نمی کنید. بعد از انجام گامهای آغازین، از قانون تغییر شکل دادن یک نامساوی قدر مطلق به یک نامساوی که در آن جمله متغیر دار در بین دو نماد نامساوی در تنگنا قرار گرفته باشد، استفاده می کنید. خوب، چه چیز آن اشتباه است؟ در اینجا مراحل را می بینید:
$$
\begin{array}{c c}
2|3x-7|+8 \lt & 6 \\
-8 & -8 \\
\hline
2|3x-7| \lt & -2 \\
|3x-7| \lt & -1 \\
\end{array}
$$
تحت قالب $-c \lt ax+b \lt c$ ، این نامساوی نادر به نظر می رسد. آیا می خواهید جمله متغیردار را بین $-1$ و $1$ در تنگنا قرار بدهید یا اینکه بین $1$ و $-1$ قرار دهید (اولین عدد در سمت چپ و دومین عدد در سمت راست)؟ معلوم می شود که هیچ کدام درست کار نمی کنند. قبل از هر چیز، شما می توانید گزینه نوشتن $1 \lt 3x - 7 \lt -1$ را دور بریزید. هیچ عددی نداریم که هم زمان هم از $1$ بزرگتر و هم از $-1$ کوچکتر باشد. در ابتدا به نظر می رسد که نسخۀ دیگر شدنی باشد:
$$
\begin{array}{c c c}
-1 & \lt 3x -7 \lt & 1 \\
+7 & +7 & +7 \\
\hline
6 & \lt 3x \lt & 8 \\
2 & \lt x \lt & {8 \over 3}
\end{array}
$$
پاسخ می گوید که $x$ عددی بین $2$ و $2{2 \over 3}$ می باشد. اگر پاسخ را با امتحان کردن یک عدد (فرضاً $2.1$) در نامساوی اصلی، درست آزمایی کنید، به نتایج زیر خواهید رسید:
$$
2|3(2.1)-7|+8 \lt 6 \\
2|6.3-7|+8 \lt 6 \\
2|-0.7|+8 \lt 6 \\
2(0.7)+8 \lt 6 \\
1.4+8 \lt 6 \\
9.4 \lt 6 \\
$$
از آنجا که $9.4$ از $6$ کوچکتر نمی باشد، شما می دانید که عدد $2.1$ پاسخ صحیحی نیست. شما هیچ پاسخی که درست کار کند، پیدا نخواهید کرد. بنابراین، نمی توانید برای این مسأله پاسخی بیابید. آیا قبل از اینکه در این وضعیت شیرجه بزنید راهنمایی وجود نداشت که شما فراموشش کرده باشید؟ بله وجود داشت.

آیا می خواهید در زمان و انرژی تان صرفه جویی کنید؟ در این مورد می توانید با دقت در آن علامت منفی آزار دهنده این کار را انجام دهید. هنگامی که $8$ را از هر سمت از نامساوی اصلی تفریق می کنید و به $2|3x-7| \lt -2$ می رسید، زنگها باید به صدا در بیآیند و چراغهای خطر باید روشن خاموش شوند. این گزاره به شما می گوید که $2$ ضربدر قدر مطلق یک عدد کوچکتر از $-2$ می باشد، که غیرممکن است. قدر مطلق یا مثبت و یا صفر است و نمی تواند عددی منفی باشد، بنابراین این عبارت نمی تواند کوچکتر از $-2$ باشد. اگر شما قبل از تمامی این کارها مشکل را پیدا کرده بودید، آفرین بر شما! با این حال، معمولاً شما گرفتار فرآیند می شوید و تا انتهای مسأله و در هنگام درست آزمایی، متوجه غیرممکن بودن آن نمی گردید.

آموزش قبلی صفحۀ اصلی دوره آموزش بعدی