خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


حل کردن معادلات درجه دوم ساده

حل کردن معادلات درجه دوم ساده
نویسنده : امیر انصاری
معادلات درجه دوم (Quadratic equations) یکی از رایج ترین انواع معادلات هستند که شما در کلاسهای ریاضی می بینید. یک معادله درجه دوم شامل یک جمله می باشد که دارای توانی از دو است، و هیچ جمله ای با توان بالاتر از دو وجود ندارد. شکل استاندارد یک معادله درجه دوم بدین صورت است: \(ax^2 + bx + c=0\) .



به عبارت دیگر، یک معادله درجه دوم یک عبارت درجه دوم (quadratic expression) است که در آن علامت برابری به کار رفته است. معادلات درجه دوم به صورت بالقوه دارای دو پاسخ می باشند. شما ممکن است نتوانید دو پاسخ برای یک معادله درجه دوم بیابید، اما با مفروض گرفتن اینکه می خواهید دو پاسخ را بیابید کار را آغاز می کنید و سپس ادامه می دهید تا فرضیه خودتان را اثبات یا رد کنید.

معادلات درجه دوم بسیار قابل مدیریت هستند، زیرا شما همواره می توانید راهی برای مقابله با آنها پیدا کنید، همچنین به عنوان یک الگوی خوب در بسیاری از برنامه های کاربردی نقش ایفا می کنند. برای مثال، اگر بخواهید ارتفاع یک تیر که رو به آسمان پرتاب می کنید را ردیابی کنید، می توانید با یک معادله درجه دوم به این پاسخ برسید. مساحت یک دایره از نظر فنی یک معادله درجه دوم می باشد. سود یا زیان تولید و فروش کالاها معمولاً یک الگوی درجه دوم را دنبال می کند.

در این فصل، شما روش های مختلفی را برای برخورد با معادلات درجه دوم ساده و همینطور معادلات درجه دوم پیشرفته می یابید. برخی از معادلات درجه دوم را تنها به یک روش می توانید حل کنید، و برخی دیگر از انواع معادلات درجه دوم را می توانید به انتخاب خودتان با یکی از چند روش ممکن حل کنید. اینکه قادر به انتخاب روش باشید، زیباست. اما در مواقعی که انتخابهای متفاوتی پیش رو دارید، امیدوارم که ساده ترین و سریعترین روش ممکن را برگزینید، بنابراین من اولین روشها را در این فصل پوشش می دهم. اما گاهی اوقات روش ساده و سریع جواب نمی دهد یا در آن لحظه به ذهن شما نمی رسد، از این رو برای مطالعه سایر گزینه ها وقت بگذارید. همچنین در این فصل به مقابله نامساوی های درجه دوم نیز می روید.

حل کردن معادلات درجه دوم ساده با قانون ریشه مربع


حل کردن برخی از معادلات درجه دوم ساده تر از بقیه آنها است. نیمی از نبرد اینست که تشخیص بدهید کدام معادله از نوع آسانش است و کدام از نوع چالش برانگیزتر می باشد.

قوانین جبر: ساده ترین نوع معادلات درجه دوم که شما می توانید سریعاً حلشان کنید، آنهایی هستند که به شما امکان می دهند ریشه مربع هر دو سمت را بگیرید. این معادلات دوست داشتنی از یک جمله مربع و یک عدد تشکیل شده اند، که در شکل \(x^2=k\) نوشته می شوند. معادلاتی را که به این روش نوشته می شوند می توانید با قانون ریشه مربع حل کنید: اگر \(x^2=k\) سپس \(x=\pm\sqrt{k}\) .

توجه داشته باشید که با استفاده از قانون ریشه مربع، شما به دو پاسخ دست می یابید: هم پاسخ مثبت و هم پاسخ منفی. هنگامی که ریشه مربع عددی مثبت را می گیرید، به نتیجه ای مثبت می رسید، و هنگامی که ریشه مربع عددی منفی را بدست می آورید، باز هم به پاسخ مثبتی می رسید.

اگر بخواهید با این قانون، پاسخ را در قالب عددی حقیقی (real) بدست آورید، عددی که توسط \(k\) نمایندگی می شود باید مثبت باشد. اگر \(k\) منفی باشد، به یک پاسخ موهومی (imaginary) مانند \(3i\) یا \(5-4i\) می رسید. (در فصل 14 در مورد اعداد موهومی بیشتر بحث شده است.)

پیدا کردن پاسخهای ساده ریشه مربع


شما می توانید از قانون ریشه مربع برای حل کردن معادلاتی که شکل ساده \(x^2=k\) را دارند استفاده کنید، مانند \(x^2=25\) که با این قانون پاسخش می شود: \(x=\pm \sqrt{25}=\pm 5\) .

پاسخهای این مسأله به اندازه کافی ساده می باشند، اما در مورد قانون ریشه مربع چیزهای بیشتری نسبت به آنچه چشم شما می بیند وجود دارد. برای مثال، اگر جمله \(x\) شما ضریبی داشته باشد چه می شود؟ معادله \(6x^2=96\) دقیقاً قالب قانون ریشه مربع را دنبال نکرده است، زیرا در آن ضریب \(6\) وجود دارد، اما شما می توانید خیلی سریع به شکل مناسب برسید. هر سمت از معادله را بر ضریب تقسیم کنید، در این مورد، به \(x^2=16\) می رسید. حالا همه چیزهای لازم برای شروع کار را دارید. با گرفتن ریشه مربع هر سمت به این نتیجه می رسید: \(x=\pm 4\) .

رویارویی با پاسخهای ریشه مربع رادیکال


وقتی که یک معادله با یک متغیر مربع و یک عدد مربع کامل دارید، انتخاب استفاده از قانون ریشه مربع کاملاً واضح است. اما اگر عددی که در معادله وارد شده است یک مربع کامل نباشد، تصمیم گیری اندکی مبهم خواهد بود. با این حال هیچ نگرانی وجود ندارد، شما هنوز هم می توانید در این وضعیت از قانون ریشه مربع استفاده کنید.

برای مثال، برای حل کردن \(y^2=40\) ، می توانید ریشه مربع هر سمت را بگیرید و سپس جمله رادیکال را ساده سازی کنید:
$$ y=\pm \sqrt{40}=\pm\sqrt{4}\sqrt{10}=\pm2\sqrt{10}$$
قوانین جبر: شما از قانون رادیکال ها برای تفکیک عدد زیر رادیکال به دو فاکتور جداگانه استفاده کردید، که یکی از آن فاکتورها مربع کامل می باشد: \(\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a}\sqrt{b}\)

در این مرحله، تقریباً به طور کامل کار را انجام داده اید. عدد \(2\sqrt{10}\) یک عدد یا مقدار دقیق می باشد، و شما نمی توانید بخش رادیکالی عدد را از این بیشتر ساده سازی کنید زیرا عدد \(10\) هیچ فاکتوری ندارد که اگر در خودش ضرب کنیم مربع کاملش ده گردد.

یادتان باشد: اگر عدد زیر رادیکال که مشغول گرفتن جذرش هستید، مربع کامل نباشد، مثل \(\sqrt{10}\) ، در این حالت می گویید مقدار رادیکال عددی گنگ (irrational) است، به این معنا که مقدار اعشاری عدد زیر رادیکال هرگز خاتمه نمی یابد. یک بخش رادیکالی با یک مقدار کامل (exact value) تا آنجا که پیش می رود ساده می شود.

بسته به دستوراتی که در یک تمرین دریافت می کنید، می توانید پاسختان را به شکل یک مقدار رادیکالی ساده شده رها کنید، یا اینکه پاسختان را تا چندین ممیز اعشاری گرد کنید. مقدار اعشاری \(\sqrt{10}\) که تا هشت رقم بعد از ممیز اعشاری گرد شده باشد می شود \(3.16227766\) . همچنین اگر بخواهید (و یا نیاز داشته باشید) می توانید تا تعداد ارقام اعشاری کمتری عدد را گرد کنید. برای مثال، نتیجه گرد کردن عدد \(3.16227766\) به پنج رقم اول بعد از ممیز اعشاری، \(3.16228\) می شود. پس شما می توانید تخمین بزنید که \(2\sqrt{10}\) می شود \(2(3.16228) = 6.32456\) .



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.