فرمول حل کردن معادلات درجه دوم (Quadratic Formula) یک ابزار فوق العاده برای مواقعی است که سایر روش های فاکتورگیری با شکست مواجه می شوند. شما اعداد را از یک معادله درجه دوم دریافت می کنید، آنها را در فرمول جایگذاری می کنید، و خروجی فرمول، پاسخهای معادله خواهند بود. شما همچنین می توانید در مواقعی که معادله قابل فاکتورگیری می باشد نیز از فرمول استفاده کنید.






منظور من را اشتباه برداشت نکنید، شما نباید در مواقع لازم در استفاده از فرمول حل کردن معادلات درجه دوم تردید کنید! این فرمول عالی است. اما فاکتورگیری معمولاً بهتر، سریعتر، و دقیق تر است.

پیدا کردن پاسخهای گویا

شما می توانید معادلات درجه دوم مانند \(3x^2+11x+10=0\) را فاکتورگیری کنید تا پاسخهای آنها را بیابید، اما فاکتورگیری ممکن است فوراً برای شما مشخص نباشد. با استفاده از فرمول حل معادله درجه دوم در این مثال، شما \(a=3\) ، \(b=11\) ، و \(c=10\) را دارید. با جایگذاری مقادیر در فرمول و حل کردن آن برای \(x\) خواهید داشت:
$$
x={-11 \pm \sqrt{11^2-4(3)(10)} \over 2(3) } \\
= {-11 \pm \sqrt{121-120} \over 6 } \\
= {-11 \pm \sqrt{1} \over 6 } \\
= {-11 \pm 1 \over 6 }
$$
شما با رسیدگی به هر قسمت از نماد \(\pm\) در مراحل جداگانه مسأله را به پایان می رسانید. ابتدا به نماد \(+\) رسیدگی کنید:
$$
x = {-11 + 1 \over 6 } = {-10 \over 6} = -{5 \over 3}
$$
حالا به نماد \(-\) رسیدگی کنید:
$$
x = {-11 - 1 \over 6 } = {-12 \over 6} = -2
$$

با توجه به نکات منتج شده از روی پاسخهای معادله، شکل فاکتورگیری شده معادله \(3x^2+11x+10=0\) بدست می آید: \(5\) تقسیم بر \(3\) و \(-2\) خودشان به تنهایی به شما کمک می کنند تا معادله اصلی را فاکتورگیری کنید: \(3x^2+11x+10=(3x+5)(x+2)=0\) .

رسیدگی کردن به پاسخهای گنگ

فرمول حل کردن معادلات درجه دوم مخصوصاً در مواقعی ارزشمند است که میخواهید معادلات درجه دوم غیر قابل فاکتورگیری را حل کنید. معادلات غیرقابل فاکتورگیری، در صورتیکه دارای پاسخ باشند، در پاسخهایشان اعداد گنگ (irrational numbers) یافت می گردد. اعداد گنگ (اصم) هیچ معادل کسری ندارند، آنها اعداد اعشاری را نشان می دهند که قسمت اعشاری آنها برای همیشه ادامه می یابد و در ضمن هیچ الگوی تکرار شونده ای را هم دنبال نمی کنند.

برای مثال، شما مجبور هستید معادله درجه دوم \(2x^2+5x-6=0\) را با فرمول حل کردن معادلات درجه دوم، حل کنید. در اینجا داریم \(a=2\) ، \(b=5\) ، و \(c=-6\) . با جایگزینی این مقادیر در فرمول خواهیم داشت:
$$
x={-5 \pm \sqrt{5^2-4(2)(-6)} \over 2(2)} \\
={-5 \pm \sqrt{25+48} \over 4} \\
={-5 \pm \sqrt{73} \over 4} \\
$$
پاسخ \({-5 + \sqrt{73} \over 4}\) تقریباً برابر با \(0.886\) می باشد و \({-5 - \sqrt{73} \over 4}\) تقریباً برابر با \(-3.386\) است. شما پاسخهای کاملاً خوبی را بدست آورده اید، که به نزدیکترین یک هزارم گرد شده اند. این حقیقت که عدد زیر رادیکال یک مربع کامل نمی باشد، چیز دیگری را به شما می گوید: شما هرچقدر سخت هم که تلاش کنید، نمی توانید این معادله درجه دوم را فاکتورگیری کنید.

به فرمول درآوردن نتایج درجه دوم بسیار بزرگ

برای مثال، یک مشکل بزرگ در حسابان (calculus)، دارای پاسخی می باشد که برای پیدا کردن آن باید معادله درجه دوم \(48x^2-155x+125=0\) را حل کنید. فاکتورهای \(48\) عبارتنداز \(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24,48\) . فاکتورهای \(125\) نیز عبارتند از \(1, 5, 25, 125\) . اما قبل از اینکه شروع به فاکتورگیری کنید، تصور کنید چگونه می خواهید اینهمه عدد یا مضرب های آنها را به خط کنید تا فاکتورگیری را بسازید. در عوض، با استفاده از فرمول معادلات درجه دوم و یک ماشین حساب راحت و مفید، شما به نتایج زیر می رسید:
$$
x={ -(-155) \pm \sqrt{(-155)^2 -4(48)(125)} \over 2(48)} \\
={ 155 \pm \sqrt{24,025 -24,000} \over 96} \\
={ 155 \pm \sqrt{25} \over 96} \\
={ 155 \pm 5 \over 96} \\
$$
اگر با علامت بعلاوه آغاز کنید، به \({ 155 + 5 \over 96} ={ 160 \over 96}={5\over3}\) می رسید. برای علامت منها، به \({ 155 - 5 \over 96} ={ 150 \over 96}={25\over16}\) خواهید رسید. این حقیقت که پاسخهای شما کسری بودند، به شما می گوید که می توانستید معادله درجه دوم را فاکتورگیری کنید: \(48x^2-155x+125=(3x-5)(16x-25)=0\) . آیا می دانید اعداد \(3\) ، \(5\) ، \(16\) ، و \(25\) از پاسخها استخراج شده اند؟