اصطلاح رادیکال (radical) معمولاً نشان می دهد که شما می خواهید یک ریشه را بیابید ـــ ریشه مربع یک عدد، ریشه مکعب آن، و به همین ترتیب. رادیکال در یک معادله همان پیام را به شما می رساند، اما یک بُعد کاملاً جدید را به آنچه که ممکن بود یک معادله خیلی زیبا برای حل کردن باشد، اضافه می کند. به طور کلی، شیوه برخورد شما با رادیکال ها در معادلات، مشابه شیوه برخورد شما با کسرها در معادلات می باشد ـــ شما باید از شر آنها خلاص شوید. اما مراقب باشید: مسأله پاسخهای اضافی (extraneous answers) که در آموزش مربوط به معادلات گویا مطرح کردیم، در اینجا نیز ممکن است ناگهان ظاهر شوند. بنابراین شما باید پاسخهایتان را درست آزمایی کنید.

مربع کردن هر دو سمت یک معادله رادیکال

اگر معادله ای در شکل \(\sqrt{ax+b}=c\) داشته باشید، برای خلاص شدن از شر رادیکال می توانید هر دو سمت معادله را مربع کنید. تنها مشکلی که ممکن است پدیدار شود اینست که با یک پاسخ اضافی مواجه گردید.

نامعادله \(-3=3\) را در نظر بگیرید. شما می دانید که این معادله صحیح نمی باشد، اما اگر هر دو سمت این گزاره را مربع کنیم، چه اتفاقی می افتد؟ شما به \((-3)^2=(3)^2\) ، یا \(9=9\) می رسید. حالا شما یک معادله دارید. مربع کردن هر دو سمت می تواند یک گزاره نادرست را بپوشاند یا مخفی سازد.


برای مثال، برای حل کردن معادلۀ \(\sqrt{4x+21}-6=x\) ، مراحل زیر را دنبال کنید:

1. معادله را به نحوی تغییر بدهید که جمله دارای رادیکال در سمت چپ با خودش تنها بماند.
   
2. هر دو سمت معادله را مربع سازید.
   

بر روی کاغذ، فرآیند شبیه اینست:
$$
\sqrt{4x+21}=x+6 \\
(\sqrt{4x+21})^2 = (x+6)^2 \\
4x+21=x^2+12x+36
$$

در این مرحله، شما یک معادله درجه دوم دارید. آن را برابر با صفر قرار بدهید و حلش کنید:
$$
4x+21=x^2+12x+36 \\
0 = x^2+8x+15 \\
0 = (x+3)(x+5) \\
x+3=0, x=-3 \\
x+5=0, x=-5
$$
اکنون پاسخها را در معادله اصلی درست آزمایی می کنید. وقتیکه \(x=-3\) ، خواهید داشت:
$$
\sqrt{4(-3)+21}-6=\sqrt{-12+21}-6=\sqrt{9}-6=3-6=-3
$$
پاسخ درست کار کرد. به سراغ درست آزمایی \(x=-5\) می رویم:
$$
\sqrt{4(-5)+21}-6=\sqrt{-20+21}-6=\sqrt{1}-6=1-6=-5
$$
این پاسخ نیز به درستی کار کرد.

دوبار به کار بردن قانون مربع کردن دو سمت معادله

برخی از معادلات شامل رادیکال ها بیش از یکبار، نیاز به اعمال قانون مربع کردن هر دو سمت معادله دارند. برای مثال، اگر نتوانید یک جمله رادیکال را در یک سمت معادله منزوی کنید، مجبور خواهید بود که طرفین معادله را بیش از یکبار مربع سازید. و هنگامیکه سه جمله در معادله تان داشته باشید که دو تا از آن جملات دارای رادیکال باشند، معمولاً نیاز خواهید داشت که هر دو سمت معادله را بیش از یکبار مربع سازید.

برای مثال، فرض کنید می خواهید با معادله \( \sqrt{3x+19}-\sqrt{5x-1}=2\) کار کنید. در اینجا چگونگی حل کردن این مسأله را می بینید:

1. رادیکال ها را به نحوی جابجا کنید که در هر سمت فقط یک رادیکال قرار بگیرد.
   
2. هر دو سمت معادله را مربع سازید.
   بعد از دو مرحله اول خواهید داشت:
   $$ \sqrt{3x+19}=2+\sqrt{5x-1} \\
   (\sqrt{3x+19})^2 = (2+\sqrt{5x-1})^2 \\
   3x+19=4+4\sqrt{5x-1}+5x-1 $$
   
3. تمامی جملات غیر رادیکال را به سمت چپ منتقل کنید و ساده سازی کنید.
   خواهید داشت:
   $$ 3x+19-4-5x+1=4\sqrt{5x-1} \\
   -2x+16=4\sqrt{5x-1} $$
   
4. شما می توانید با تقسیم کردن هر جمله بر یک عامل مشترک یعنی عدد دو، کار مربع کردن دو جمله ای را ساده تر کنید.
   در نتیجه خواهید داشت:
   $$ {-2x \over 2}+{16 \over 2} = {4\sqrt{5x-1} \over 2} \\
   -x+8=2\sqrt{5x-1} $$
   
5. هر دو سمت را مربع کنید، ساده سازی کنید، معادله درجه دوم بدست آمده را برابر با صفر قرار دهید، و معادله نهایی را برای \(x\) حل کنید.
   چگونگی انجام این فرآیند را در ادامه می بینید:
   $$
   (-x+8)^2 = (2\sqrt{5x-1})^2 \\
   x^2-16x+64=4(5x-1) \\
   x^2-16x+64=20x-4 \\
   x^2-36x+68=0 \\
   (x-2)(x-34) = 0 \\
   x-2=0, x=2 \\
   x-34=0, x=34
   $$
   دو پاسخی که به آنها رسیده اید عبارت از \(x=2\) و \(x=34\) می باشند.
   

فراموش نکنید که هر پاسخ را در معادله اصلی درست آزمایی نمایید:
$$
\sqrt{3x+19} - \sqrt{5x-1}=2 \\
x=2, \sqrt{3(2)+19} - \sqrt{5(2)-1}=\sqrt{25}-\sqrt{9}=5-3=2 \\
x=34, \sqrt{3(34)+19} - \sqrt{5(34)-1}=\sqrt{121}-\sqrt{169}=11-13=-2
$$
پاسخ \(x=2\) به درستی کار کرد. پاسخ دیگر یعنی \(x=34\) ، در معادله جواب نداد. \(34\) یک پاسخ اضافی می باشد.