معادلات دارای توان منفی (negative exponents) چندین چالش جدید را ارائه می کنند. اولین چالش، برخورد با این واقعیت است که شما مشغول کار کردن با اعداد منفی می باشید و باید مراقب قوانین جمع، تفریق، و ضرب و تقسیم اعداد منفی باشید. چالش دیگر رسیدگی به پاسخها ـــ اگر بتوانید پاسخی بیابید ـــ و درست آزمایی آنها در معادله اصلی می باشد. معادله اصلی دوباره شما را به همان توان های منفی باز می گرداند، بنابراین دوباره در همین چرخۀ چالش کار با اعداد خواهید افتاد.

معکوس کردن توان های منفی

به طور کلی، کار کردن با توانهای منفی در صورتی ساده تر می شود که ناپدید گردند. بله، به همان شگفت انگیزی که اعداد منفی در دنیای ریاضیات وجود دارند، حل کردن معادلات دارای توان منفی در صورتیکه شکل توان منفی را به توان مثبت و کسر تغییر بدهید و سپس به آن معادله کسری رسیدگی نمایید، ساده تر می شوند. (در همین فصل چگونگی کار با معادلات کسری یا همان معادلات گویا مطرح شده است.)

برای مثال، معادله \(x^{-1}=4\) یک راه حل نسبتاً سر راست دارد. شما متغیر \(x\) را در مخرج یک کسر می نویسید و سپس آن را برای \(x\) حل می کنید. یک روش زیبا برای حل کردن مسأله برای \(x\) اینست که \(4\) را به صورت یک کسر بنویسید، یعنی یک تناسب (proportion) بسازید، و سپس ضرب متقابل (طرفین وسطین) را انجام بدهید:
$$
x^{-1}=4 \\
{1 \over x}=4 \\
{1 \over x}={4 \over 1} \\
4x=1 \\
x={1\over4}
$$
در مواقعی که بیش از یک جملۀ دارای توان منفی داشته باشید و یا اینکه توان منفی بر روی بیش از یک جمله به کار رفته باشد، این فرآیند می تواند اندکی ریسکی باشد. برای مثال، در مسأله \( (x-3)^{-1} - x^{-1} = {3\over 10} \) ، شما باید معادله را بازنویسی کنید، و جملات دارای توان منفی را به جملات گویا (کسری) تبدیل کنید.
$$ {1 \over x-3}-{1 \over x}={3\over10} $$
سپس مخرج مشترکی بین \(x-3\) ، \(x\) ، و \(10\) بیابید، که حاصلضرب این سه مخرج متفاوت، یعنی \(10x(x-3)\) می باشد. سپس، هر کسر را به صورت کسری با این مخرج مشترک یافت شده، باز نویسی کنید، سپس تمامی جملات را در مخرج مشترک همۀ آنها ضرب کنید تا از شر همه کسرها خلاص شوید (وای، چه مراحلی بود!)، و سپس معادله حاصل شده را حل می کنید.
$$
{10x \over 10x(x-3)} - {10(x-3) \over 10x(x-3)} = {3x(x-3) \over 10x(x-3)} \\
10x -10(x-3)=3x(x-3) \\
10x - 10x + 30 = 3x^2 - 9x \\
0 = 3x^2-9x-30 \\
0=3(x^2-3x-10) \\
0 = 3(x-5)(x+2) \\
x-5=0, x=5 \\
x+2=0, x=-2
$$

پاسخهای شما \(x=5\) و \(x=-2\) می باشند. شما باید این پاسخها را در معادله اصلی درست آزمایی کنید تا از صحت آنها اطمینان حاصل کنید:
$$
(x-3)^{-1}-x^{-1}={3 \over 10} \\
x=5, (5-3)^{-1}-5^{-1}=2^{-1}-5^{-1}={1\over2}-{1\over5}={5\over10}-{2\over10}={3\over10}\\
x=-2, (-2-3)^{-1}-(-2)^{-1}=(-5)^{-1}-(-2)^{-1} \\
=-{1\over5}-(-{1\over2})=-{2\over10}+{5\over10}={3\over10}
$$
مژده! هر دو پاسخ به درستی کار کردند.

فاکتورگیری توانهای منفی برای حل کردن معادله

توانهای منفی مجبور نیستند در یک معادله خاص دارای پایه یکسانی باشند. در حقیقت، بیشتر رایج است که در یک معادله، ترکیبی از توانها را داشته باشیم. دو روش مفید برای حل کردن معادلات دارای توان منفی عبارتند از، فاکتورگیری از بزرگترین عامل مشترک (GCF) و حل کردن معادله به شیوه معادلات درجه دوم (در فصل 3 در مورد معادلات شبه درجه دوم بحث کردیم).

فاکتورگیری از یک عامل دارای توان منفی

در اینجا مراحل کار را می بینید:

1. بزرگترین عامل مشترک را فاکتور بگیرید.
   در این مورد، بزرگترین عامل مشترک \(x^{-3}\) می باشد:
   $$
   3x^{-3}-5x^{-2}=0 \\
   x^{-3}(3-5x)=0
   $$
   
   یادتان باشد: آیا فکر می کردید بزرگترین عامل مشترک \(-2\) باشد؟ یادتان باشد که \(-3\) کوچکتر از \(-2\) است. هنگامی که بزرگترین عامل مشترک را فاکتورگیری می کنید، شما باید کوچکترین توان را در بین انتخابهای ممکن بیرون بکشید و سپس هر جمله را بر آن عامل مشترک تقسیم کنید.
   
   بخش مهارت آمیز فاکتورگیری تقسیم کردن \(3x^{-3}\) و \(5x^{-2}\) بر \(x^{-3}\) می باشد. قوانین تقسیم توان ها بیان می دارد، هنگام تقسیم دو عدد که دارای پایه مشترک باشند، توانها را از یکدیگر تفریق می کنید، بنابراین خواهید داشت:
   $$
   {3x^{-3} \over x^{-3}} = 3 \\
   {5x^{-2} \over x^{-3}} = -5x^{-2-(-3)}=-5x^{-2+3}=-5x^1=-5x \\
   $$
   
2. هر جمله در شکل فاکتورگیری شدۀ معادله را برابر با صفر قرار دهید و آن را برای یافتن \(x\) حل کنید.
   $$
   x^{-3}(3-5x)=0 \\
   x^{-3}=0,{1 \over x^3}=0 \\
   3-5x=0, x={3\over5}
   $$
   
3. پاسخهایتان را درست آزمایی کنید.
   تنها پاسخ این معادله \(x={3\over5}\) می باشد ـــ یک پاسخ کاملاً خوش تیپ. فاکتور دیگر، یعنی \(x^{-3}\) ، منجر به یک پاسخ نمی شود. تنها راهی که ممکن است یک کسر برابر با صفر گردد، اینست که صورت آن کسر برابر با صفر باشد. داشتن عدد یک در صورت کسر، اینکه آن جمله برابر با صفر شود را غیرممکن می سازد. شما نمی توانید اجازه بدهید \(x\) برابر با صفر باشد، زیرا آن وقت با صفر در مخرج کسر مواجه می شود که تعریف نشده و محال است.
   

حل کردن سه جمله ای های شبه درجه دوم

سه جمله ای ها (Trinomials) عباراتی دارای سه جمله می باشند، و اگر جملات به درجه دوم برسند، عبارت یک درجه دوم می باشد. شما می توانید سه جمله ای های درجه دوم را با فاکتورگیری آنها به دو فاکتور دوجمله ای فاکتورگیری نمایید. (برای جزئیات بیشتر در این ارتباط، فصل 3 را ببینید.)


برای مثال، سه جمله ای \(3x^{-2}+5x^{-1}-2\) در این توضیحات می گنجد. این را تبدیل به یک معادله کنید، و قادر خواهید بود تا با فاکتورگیری و برابر صفر قرار دادن فاکتورها آن را حل کنید:
$$
3x^{-2}+5x^{-1}-2=0 \\
(3x^{-1}-1)(x^{-1}+2)=0 \\
3x^{-1}-1=0,{3\over x}=1,x=3 \\
x^{-1}+2=0, {1\over x}=-2,x=-{1\over2}
$$
شما دو پاسخ تولید کردید، و هر دو پاسخ را اگر در معادله اصلی جایگزین کنید بدرستی کار خواهند کرد. شما شکل معادله را تغییر ندادید، اما هنوز هم باید مطمئن شوید که در مخرج کسر عدد صفر را قرار نمی دهید.


مشکل زیر در هنگام فاکتورگیری به دو دوجمله ای، با رفتاری ظریفانه شروع به کار می کند:
$$
x^{-4}-15x^{-2}-16=0 \\
(x^{-2}-16)(x^{-2}+1)=0 \\
x^{-2}-16=0 \text{ or } x^{-2}+1=0
$$
اولین فاکتور هیچ سورپرایز خاصی برای شما ندارد. بعد از تغییر شکل توان منفی و حل کردن معادله با استفاده از قانون ریشۀ مربع، شما دو پاسخ را بدست می آورید:
$$
x^{-2}-16=0, {1 \over x^2}=16, x^2={1 \over 16} \\
x=\pm {1\over4}
$$
فاکتور دیگر یک پاسخ حقیقی ندارد زیرا شما نمی توانید ریشه مربع یک عدد منفی را بیابید. در فصل 14 در زمینه اعداد موهومی (imaginary numbers) که مربوط به همین مبحث اعداد منفی زیر رادیکال هستند بیشتر خواهید دانست.
$$ x^{-2}+1=0, {1 \over x^2}=-1, x^2=-1 $$
به همۀ احتمالات نگاه کنید ـــ و روش هایی که پاسخهای اشتباه تولید می کنند. مراقب صفرها در مخرج کسرها باشید، زیرا چنین اعدادی وجود ندارند، و در مورد اعداد موهومی محتاطانه برخورد کنید ـــ اعداد موهومی (خیالی) در تصورات برخی از ریاضیدانان وجود یافته است. فاکتورگیری به دوجمله ای ها یک روش جذاب برای حل کردن معادلات دارای توان منفی می باشد، فقط مطمئن شوید که محتاطانه پیش می روید.