نمودار (graph) یک طرح است که یک عملیات جبری یا معادله را در یک صفحه دوبعدی (مانند کاغذ نقشه کشی) توصیف می کند. نمودار به شما امکان می دهد تا فوراً ویژگی های یک گزاره جبری را مشاهده کنید.





نمودارها در جبر یکتا هستند زیرا ارتباطاتی را آشکار می سازند که می توانید از آنها برای مدل کردن یک وضعیت استفاده کنید. نمودار یک منحنی ریاضی، دارای خروارها اطلاعات می باشد که در داخل یک بسته بندی زیبا، چپانده شده است. (اوکی، البته هر کسی فکر نمی کند که یک نمودار شلجمی ممکن است زیبا باشد، اما فراموش نکنیم که زیبایی در چشمان بیننده تعریف می شود.) به عنوان مثال، سهمی ها (شلجمی ها) می توانند دمای روزانه را مدل سازی کنند، و یک نمودار منحنی در شکل S می تواند تعداد افراد مبتلا به آنفلونزا را مدل سازی کند.

در این فصل، خواهید دانست چگونه خطها (lines)، سهمی ها (parabolas)، سایر چندجمله ای ها، و منحنی های رادیکال، همگی در قالب تصویر می گنجند. من کار را با یک یادآوری سریع در مورد مبانی نمودارها آغاز می کنم. بقیۀ فصل به شما کمک می کند تا یک ترسیم کننده کارآمدتر گردید، تا مجبور نباشید تا برای ترسیم هر نمودار میلیون ها نقطه را ترسیم کنید. در طول مسیر، در مورد استفاده از تقاطع ها (intercepts) و تقارن (symmetry) و کار کردن با معادلات خطی، بحث خواهم کرد. همچنین چکیده ای از ده شکل پایه ای و معادله که در جبر 2 به صورت مداوم با آنها برخورد می کنید، برای شما فراهم کرده ام. بعد از اینکه با چندین ویژگی مهم آشنا شدید، می توانید به سرعت یک نمودار منطقی از یک معادله را ترسیم کنید. و از همۀ اینها گذشته، چند توصیه مفید در استفاده از ماشین حسابهای ترسیم نمودار (graphing calculator) دریافت خواهید کرد.

سیستم مختصات دکارتی (Cartesian coordinate system)

شما بیشتر نمودارهای خودتان در جبر را در سیستم مختصات دکارتی ترسیم می کنید. سیستم مختصات دکارتی، یک سیستم شبکه مانند است که شما بر اساس موقعیت و علامت اعداد، نقاط را بر روی آن ترسیم می کنید. ممکن است از جبر 1، یا ریاضیات دبیرستان، با مبانی مختصات در نمودارها، نقاط \( (x,y) \)، آشنا باشید. در داخل سیستم مختصات دکارتی (که به نام فیلسوف و ریاضیدان معروف رنه دکارت (Rene Descartes) نامگذاری شده است)، شما می توانید نقاط را ترسیم کنید تا یک منحنی بدست آورید، یا می توانید از مزایای دانستن اینکه نمودارها باید به چه شکل باشند، بهره مند گردید. در هر دو مورد، مختصات ها و نقاط به یکدیگر متصل می شوند تا به شما تصویری را ارائه بدهند.

شناسایی بخش های مختلف صفحه مختصات

صفحه مختصات (coordinate plane)، که در شکل 1-5 نشان داده شده است، دو محور متقاطع را به شما نشان می دهد ـــ دو خط عمود بر یکدیگر که در نقطه ای با نام رأس (origin) از یکدیگر عبور می کنند. محورها (axes) صفحه مختصات را به چهار رُبع صفحه (quadrants) تقسیم می کنند، این چهار قسمت معمولاً با اعداد رومی شماره گذاری می شوند، شماره گذاری از گوشه بالا و سمت راست شروع می شود و در خلاف جهت عقربه های ساعت ادامه می یابد.


خط افقی محور \(x\) ، و خط عمودی محور \(y\) نامیده می شود. درجه ها بر روی محورها با علامتهای تیک کوچک نشان داده می شوند. معمولاً، شما بر روی هر دو محور درجات یکسانی را دارید ـــ هر علامت تیک ممکن است نشان دهنده یک واحد یا پنج واحد باشد ـــ اما گاهی اوقات نیاز می شود که درجات مختلفی بر روی صفحه قرار بگیرند. در هر صورت، درجات موجود بر روی هر محور ، در امتداد آن محور یکسان می باشند.

شما نقاط بر روی صفحه مختصات را با اعدادی که مختصات (coordinates) نامیده می شوند، شناسایی می کنید، که در جفت های مرتب (ordered pairs) می آیند، در این جفت ها ترتیب قرار گیری مهم است. در یک جفت مرتب \( (x,y) \) ، اولین عدد مختصات \(x\) می باشد، این عدد به شما می گوید که نقطه مربوطه در چه فاصله ای و در چه جهتی، نسبت به رأس مختصات، بر روی محور \(x\) قرار دارد. عدد دوم مختصات \(y\) می باشد، که به شما می گوید نقطه مربوطه بر روی محور \(y\) چقدر با رأس فاصله دارد و در کدام جهت قرار گرفته است. در شکل 1-5 ، شما چند نقطه را می بینید که همراه با ذکر مختصاتشان بر روی صفحه ترسیم شده اند.

ترسیم نقطه به نقطه

ترسیم نمودار در جبر کاملاً به سادگی بازی سریع وصل کردن نقطه ها به یکدیگر نمی باشد، اما مفاهیم کلی آن با بازی اشاره شده یکسان می باشد: شما نقطه ها را در ترتیب صحیح به یکدیگر متصل می کنید و تصویر مطلوب را خواهید دید.

در بخش "نگاهی به 10 شکل اساسی"، که بعداً در همین فصل خواهید دید، مزیت اینکه دست کم یک اشاره ضمنی در مورد اینکه شکل نهایی نمودار قرار است چه باشد، را خواهید فهمید. اما حتی وقتی هم که ایده خوبی از آنچه که قرار است بدست آورید داشته باشید، هنوز هم نیازمند توانایی ترسیم نقاط می باشید.

برای مثال، لیست نقاط زیر معنای زیادی نمی دهند.
$$(0, 3), (–2, 4), (–4, 3), (–5, 0), (–2, –3), (0, –2.5), (2, –3), (5, 0), (4, 3), \\
(2, 4), (0, 3), (1.5, 5), (1, 6), (0, 3)$$
همینطور وقتی که این نقاط را روی صفحه مختصات ترسیم کنید، باز هم حاوی اطلاعات مفیدی به نظر نمی رسند. اما اگر نقاط را به ترتیب به یکدیگر متصل کنید، به یک تصویر خواهید رسید. در شکل 2-5 می توانید این نقاط و تصویر مرتبط با آن را ببینید.



برای مثال، اگر بخواهید نمودار \(y=x^2-x-6\) را ترسیم کنید، می توانید چند نقطه \( [(x,y)] \) را بیابید که معادله را به گزاره ای صحیح تبدیل می کنند. برخی از نقاطی که بدرستی کار می کنند، عبارتند از :
\( (4, 6), (3, 0), (2, –4), (1, –6), (0, –6), (–1, –4), (–2, 0), (–3, 6) \)
شما می توانید نقاط بسیار بیشتری را بیابید که در این معادله بدرستی کار کنند، اما این نقاط باید ایده خوبی در مورد اینکه چه اتفاقی دارد می افتد، به شما بدهند. در قسمت a از شکل 3-5 شما می توانید نقطه های ترسیم شده را ببینید. در قسمت b شکل 3-5 من این نقاط را با یک منحنی نرم به یکدیگر متصل کرده ام. ترتیب اتصال نقاط، از ترتیب مختصات \(x\) ها پیروی می کند.