خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را
ترسیم نمودار خطها
خطها برخی از ساده ترین انواع نمودارها برای ترسیم می باشند. برای تعیین یک و تنها خطی که در یک فضا وجود دارد فقط دو نقطه لازم است، بنابراین یک روش ساده برای ترسیم نمودار خطها اینست که دو نقطه را بر روی آن خط بیابیم. روش مفید دیگر اینست که از یک نقطه و شیب خط (slope) استفاده کنیم. روشی که شما انتخاب می کنید معمولاً بستگی به ترجیح شخصی شما دارد.
شیب یک خط، همچنین نقش مهمی در مقایسه آن خط با سایر خطها بازی می کند که موازی با آن ادامه می یابند یا بر آن عمود هستند. شیب ها در ارتباط تنگاتنگی با یکدیگر می باشند.
شیب یک خط (m) یک تعریف ریاضی پیچیده دارد، اما در اصل فقط یک عدد می باشد ـــ مثبت یا منفی، بزرگ یا کوچک ـــ که برخی از ویژگی های آن خط مانند تندی و جهت را برجسته می کند. مقدار عددی شیب خط به شما می گوید آیا خط مذکور از سمت چپ به راست به آهستگی بالا می رود یا اُفت می کند یا به طور چشمگیری از سمت چپ به راست اوج می گیرد یا سقوط می کند. برای یافتن شیب خط و کشف ویژگی های آن خط، شما می توانید از معادله آن خط استفاده کنید و آن را برای اطلاعاتی که می خواهید حل کنید، یا می توانید به نمودار خط بنگرید تا تصویر کلی آن را بدست آورید. اگر انتخاب کنید که بر روی معادله خط تمرکز کنید، شما می توانید نقاطی را بر روی آن خط بیابید، که حتی اطلاعات بیشتری هم به شما می دهند.
یک خط عمودی شیب خط ندارد. این مطلب به این حقیقت گره خورده است که اعداد می توانند بی نهایت بالاتر بروند، و در ریاضی چیزی به نام بالاترین عدد نداریم ـــ شما فقط می گویید، بی نهایت. تنها یک عدد بی نهایت بزرگ می تواند نماینده شیب یک خط عمودی باشد، اما معمولاً، اگر شما مشغول صحبت در مورد یک خط عمودی باشید، فقط خواهید گفت که شیب وجود ندارد.
اگر مختصات دو نقطه بر روی یک خط را بدانید، می توانید شیب آن خط (m) را تعیین کنید. فرمول پیدا کردن شیب خط با این روش شامل پیدا کردن تفاضل بین مختصات \(y\) ها و تقسیم آن تفاضل بر تفاضل بین مختصات \(x\) ها در آن نقاط می باشد.
برای مثال، برای پیدا کردن شیب خطی که از نقاط \( (-3,2) \) و \( (4,-12) \) عبور می کند، شما از فرمول استفاده می کنید تا به نتایج زیر برسید:
$$ m={y_2 - y_1 \over x_2 - x_1} = {-12-2 \over 4-(-3)}={-14 \over 7}=-2 $$
این خط نسبتاً تند است ـــ قدر مطلق \(-2\) برابر با \(2\) می باشد ـــ و همچنان که از سمت چپ به راست حرکت می کند، در حال سقوط می باشد، که منجر می شود دارای شیب منفی باشد.
جبر 2 دو شکل متفاوت برای معادله یک خط ارائه می دهد. اولی شکل استاندارد (standard form) می باشد، که به صورت \(Ax+By=C\) نوشته می شود، که در آن دو جمله متغیردار در یک سمت و جمله ثابت در سمت دیگر قرار دارد. شکل دیگر، شکل شیب-تقاطع (slope-intercept) می باشد که به صورت \(y=mx+b\) نوشته می شود، مقدار \(y\) برابر با حاصلضرب شیب خط \(m\) و \(x\) که با عرض از مبدأ \(b\) جمع زده شده است، قرار داده شده است.
شکل استاندارد معادلۀ یک خط به شکل \(Ax+By=C\) نوشته می شود. یک مثال از این نوع خط \(4x+3y=12\) می باشد. شما می توانید بی نهایت نقطه پیدا کنید که این معادله را برآورده کند. برای اینکه چندتایی را اسم برده باشیم، شما می توانید از نقاط \( (0, 4), (–3, 8), (6, –4) \) استفاده کنید. برای ترسیم نمودار یک خط، تنها به دو نقطه نیاز است، بنابراین شما می توانید هر دو نقطه ای بر روی خط را انتخاب کنید و آن دو نقطه را بر روی صفحه مختصات ترسیم کنید تا بتوانید خطتان را بسازید.
گرچه، شکل استاندارد اطلاعات خیلی بیشتری نسبت به آن چیزی که ممکن است فوراً آشکار شود، دارد. شما می توانید صرفاً با نگاه کردن به اعداد در معادله تقاطع ها و شیب خط را تعیین کنید. تقاطع ها، مشخصاً، برای ترسیم نمودار خط، عالی هستند، و شما می توانید آنها را به سادگی بیابید، زیرا دقیقاً با محورها برخورد می کنند.
برای ترسیم نمودار خط \(4x+3y=12\) ، دو تقاطع آن را می یابید، \( \biggl( {C \over A},0 \biggr) = \biggl( {12 \over 4},0 \biggr) = (3,0) \) و\( \biggl( 0,{C \over B} \biggr) = \biggl( 0,{12 \over 3} \biggr) = (0,4) \) ، این تقاطع ها را ترسیم کنید، و خط را بسازید. شکل 9-5 این دو تقاطع و نمودار خط را به شما نشان می دهد. توجه داشته باشید که این خط ضمن حرکت از سمت چپ به راست سقوط می کند، این جهت خط تایید کننده مقدار شیب منفی آن می باشد: \(m=-{A \over B}=-{4\over3}\) .
هنگامی که معادلۀ یک خط در شکل شیب-تقاطع نوشته می شود، \(y=mx+b\) ، شما اطلاعات خوبی را به راحتی در اختیار دارید. ضریب (coefficient) جمله \(x\) یعنی \(m\) شیب خط می باشد. و جمله ثابت یعنی \(b\) ، مقدار \(y\) در عرض از مبدأ می باشد (ضریب جمله \(y\) باید برابر با یک باشد). با این دو تکه از اطلاعات، شما به سرعت می توانید خط را ترسیم کنید.
برای مثال، اگر بخواهید نمودار خط \(y=2x+5\) را ترسیم کنید، ابتدا عرض از مبدأ را که در اینجا \( (0,5) \) است، ترسیم می کنید، و سپس شیب را از آن نقطه شمارش می کنید. شیب خط \(y=2x+5\) برابر با \(2\) می باشد. به \(2\) به عنوان یک عددکسری نگاه کنید، که مختصات \(y\) در صورت آن کسر و مختصات \(x\) در مخرج آن کسر قرار دارد. در این صورت شیب خط مورد اشاره، برابر با \( {2\over1} \) می باشد.
نقطه حاصل از شمارش شیب خط را به عرض از مبدأ متصل کنید، تا خط مورد نظرتان ایجاد شود. شکل 10-5 تقاطع را به شما نشان می دهد (یک مثال از شمارش شیب خط)، و نقطۀ جدید یک واحد در سمت راست و دو واحد در بالای عرض از مبدأ ظاهر می شود، یعنی نقطۀ \( (1,7) \) .
شما می توانید نمودار خطها را با استفاده از شکل استاندارد یا شکل شیب-تقاطع از معادلات ترسیم کنید. اگر یک شکل را بر شکل دیگر ترجیح می دهید ـــ یا اگر برای کار خاصی که مشغولش هستید، نیاز به یک شکل خاص دارید ـــ با چند عملیات ساده جبری می توانید شکل معادله را تغییر بدهید:
خطها موازی (parallel) هستند، اگر هرگز به یکدیگر نرسند ـــ مهم نیست آنها را با چه فاصله دور یا نزدیکی از یکدیگر ترسیم کنید. خطها عمود بر یکدیگر (perpendicular) هستند، اگر با یک زاویه \(90^{\circ}\) (نود درجه) همدیگر را قطع کنند. تشخیص هر دوی این نمونه ها از روی نمودارشان نسبتاً ساده می باشد، اما چطور می توانید اطمینان حاصل کنید که خطها قطعاً موازی هستند یا اینکه زاویه واقعاً \(90^{\circ}\) می باشد و نه \(89.9^{\circ}\) ؟ پاسخ این سوالات در شیب خط موجود است.
این دو خط را در نظر بگیرید: \(y=m_1x+b_1\) و \(y=m_2x+b_2\) .
برای مثال، خطوط \(y=3x+7\) و \(y=3x-2\) با هم موازی هستند. هر دوی این خطها دارای شیب \(3\) می باشند، اما عرض از مبدأ آنها متفاوت می باشد ـــ یکی از آنها محور \(Y\) را در مختصات \(7\) و دیگری در مختصات \(-2\) قطع می کند. قسمت a از شکل 11-5 این دو خط را نشان می دهد.
خطوط \(y=-{3\over8}x+4\) و \(y={8\over3}x-2\) بر یکدیگر عمودند. شیب این دو خط معکوس منفی یکدیگر می باشند. شما می توانید نمودار این دو خط را در قسمت b از شکل 11-5 ببینید.
شیب یک خط، همچنین نقش مهمی در مقایسه آن خط با سایر خطها بازی می کند که موازی با آن ادامه می یابند یا بر آن عمود هستند. شیب ها در ارتباط تنگاتنگی با یکدیگر می باشند.
پیدا کردن شیب یک خط
شیب یک خط (m) یک تعریف ریاضی پیچیده دارد، اما در اصل فقط یک عدد می باشد ـــ مثبت یا منفی، بزرگ یا کوچک ـــ که برخی از ویژگی های آن خط مانند تندی و جهت را برجسته می کند. مقدار عددی شیب خط به شما می گوید آیا خط مذکور از سمت چپ به راست به آهستگی بالا می رود یا اُفت می کند یا به طور چشمگیری از سمت چپ به راست اوج می گیرد یا سقوط می کند. برای یافتن شیب خط و کشف ویژگی های آن خط، شما می توانید از معادله آن خط استفاده کنید و آن را برای اطلاعاتی که می خواهید حل کنید، یا می توانید به نمودار خط بنگرید تا تصویر کلی آن را بدست آورید. اگر انتخاب کنید که بر روی معادله خط تمرکز کنید، شما می توانید نقاطی را بر روی آن خط بیابید، که حتی اطلاعات بیشتری هم به شما می دهند.
شناسایی ویژگی های شیب یک خط
یادتان باشد: یک خط می تواند دارای یک شیب مثبت یا منفی باشد. اگر شیب یک خط مثبت باشد، خط از سمت چپ به سمت راست رو به بالا می رود. اگر شیب منفی باشد، خط از سمت چپ به راست سقوط می کند. هر چقدر قدر مطلق شیب یک خط بزرگتر باشد، خط شیب تندتری دارد. برای مثال، اگر شیب عددی بین \(-1\) و \(1\) باشد، خط نسبتاً تخت است. شیب صفر یعنی خط کاملاً افقی است.
یک خط عمودی شیب خط ندارد. این مطلب به این حقیقت گره خورده است که اعداد می توانند بی نهایت بالاتر بروند، و در ریاضی چیزی به نام بالاترین عدد نداریم ـــ شما فقط می گویید، بی نهایت. تنها یک عدد بی نهایت بزرگ می تواند نماینده شیب یک خط عمودی باشد، اما معمولاً، اگر شما مشغول صحبت در مورد یک خط عمودی باشید، فقط خواهید گفت که شیب وجود ندارد.
به فرمول در آوردن مقدار شیب یک خط
اگر مختصات دو نقطه بر روی یک خط را بدانید، می توانید شیب آن خط (m) را تعیین کنید. فرمول پیدا کردن شیب خط با این روش شامل پیدا کردن تفاضل بین مختصات \(y\) ها و تقسیم آن تفاضل بر تفاضل بین مختصات \(x\) ها در آن نقاط می باشد.
قوانین جبر: شیب خطی را که از نقاط \( (x_1,y_1) \) و \( (x_2,y_2) \) عبور می کند، می توانید با فرمول زیر بدست آورید:
$$ m={y_2 - y_1 \over x_2 - x_1} $$
$$ m={y_2 - y_1 \over x_2 - x_1} $$
برای مثال، برای پیدا کردن شیب خطی که از نقاط \( (-3,2) \) و \( (4,-12) \) عبور می کند، شما از فرمول استفاده می کنید تا به نتایج زیر برسید:
$$ m={y_2 - y_1 \over x_2 - x_1} = {-12-2 \over 4-(-3)}={-14 \over 7}=-2 $$
این خط نسبتاً تند است ـــ قدر مطلق \(-2\) برابر با \(2\) می باشد ـــ و همچنان که از سمت چپ به راست حرکت می کند، در حال سقوط می باشد، که منجر می شود دارای شیب منفی باشد.
هشدار: هنگام استفاده از فرمول شیب خط، مهم نیست که کدام نقطه را به عنوان \((x_1,y_1)\) برمی گزینید ـــ ترتیب این نقاط حائز اهمیت نمی باشد ـــ اما شما نمی توانید ترتیب دو مختصات مختلف را با هم مخلوط کنید. با یک بررسی سریع می توانید رصد کنید که مختصات هر نقطه بالا و پایین یکدیگر قرار داشته باشند. همچنین، مطمئن شوید که مختصات \(y\) ها در صورت کسر باشند، یک خطای رایج اینست که تفاضل بین این دو را در مخرج کسر قرار دهید.
مواجه شدن با دو نوع از معادلات برای خطها
جبر 2 دو شکل متفاوت برای معادله یک خط ارائه می دهد. اولی شکل استاندارد (standard form) می باشد، که به صورت \(Ax+By=C\) نوشته می شود، که در آن دو جمله متغیردار در یک سمت و جمله ثابت در سمت دیگر قرار دارد. شکل دیگر، شکل شیب-تقاطع (slope-intercept) می باشد که به صورت \(y=mx+b\) نوشته می شود، مقدار \(y\) برابر با حاصلضرب شیب خط \(m\) و \(x\) که با عرض از مبدأ \(b\) جمع زده شده است، قرار داده شده است.
شکل استاندارد معادلۀ خط
شکل استاندارد معادلۀ یک خط به شکل \(Ax+By=C\) نوشته می شود. یک مثال از این نوع خط \(4x+3y=12\) می باشد. شما می توانید بی نهایت نقطه پیدا کنید که این معادله را برآورده کند. برای اینکه چندتایی را اسم برده باشیم، شما می توانید از نقاط \( (0, 4), (–3, 8), (6, –4) \) استفاده کنید. برای ترسیم نمودار یک خط، تنها به دو نقطه نیاز است، بنابراین شما می توانید هر دو نقطه ای بر روی خط را انتخاب کنید و آن دو نقطه را بر روی صفحه مختصات ترسیم کنید تا بتوانید خطتان را بسازید.
گرچه، شکل استاندارد اطلاعات خیلی بیشتری نسبت به آن چیزی که ممکن است فوراً آشکار شود، دارد. شما می توانید صرفاً با نگاه کردن به اعداد در معادله تقاطع ها و شیب خط را تعیین کنید. تقاطع ها، مشخصاً، برای ترسیم نمودار خط، عالی هستند، و شما می توانید آنها را به سادگی بیابید، زیرا دقیقاً با محورها برخورد می کنند.
یادتان باشد: خط \(Ax+By=C\) دارای:
-
این طول از مبدأ می باشد: \( \biggl( {C \over A},0 \biggr) \)
-
این عرض از مبدأ می باشد: \( \biggl( 0,{C \over B} \biggr) \)
-
دارای این شیب می باشد: \(-{A \over B}\)
برای ترسیم نمودار خط \(4x+3y=12\) ، دو تقاطع آن را می یابید، \( \biggl( {C \over A},0 \biggr) = \biggl( {12 \over 4},0 \biggr) = (3,0) \) و\( \biggl( 0,{C \over B} \biggr) = \biggl( 0,{12 \over 3} \biggr) = (0,4) \) ، این تقاطع ها را ترسیم کنید، و خط را بسازید. شکل 9-5 این دو تقاطع و نمودار خط را به شما نشان می دهد. توجه داشته باشید که این خط ضمن حرکت از سمت چپ به راست سقوط می کند، این جهت خط تایید کننده مقدار شیب منفی آن می باشد: \(m=-{A \over B}=-{4\over3}\) .
شکل شیب-تقاطع (slope-intercept form)
هنگامی که معادلۀ یک خط در شکل شیب-تقاطع نوشته می شود، \(y=mx+b\) ، شما اطلاعات خوبی را به راحتی در اختیار دارید. ضریب (coefficient) جمله \(x\) یعنی \(m\) شیب خط می باشد. و جمله ثابت یعنی \(b\) ، مقدار \(y\) در عرض از مبدأ می باشد (ضریب جمله \(y\) باید برابر با یک باشد). با این دو تکه از اطلاعات، شما به سرعت می توانید خط را ترسیم کنید.
برای مثال، اگر بخواهید نمودار خط \(y=2x+5\) را ترسیم کنید، ابتدا عرض از مبدأ را که در اینجا \( (0,5) \) است، ترسیم می کنید، و سپس شیب را از آن نقطه شمارش می کنید. شیب خط \(y=2x+5\) برابر با \(2\) می باشد. به \(2\) به عنوان یک عددکسری نگاه کنید، که مختصات \(y\) در صورت آن کسر و مختصات \(x\) در مخرج آن کسر قرار دارد. در این صورت شیب خط مورد اشاره، برابر با \( {2\over1} \) می باشد.
نکته: شمارش شیب خط به این شکل می باشد که از نقطۀ عرض از مبدأ، یک واحد به سمت راست حرکت کنید (عدد یک از مخرج کسر مثال قبلی گرفته شده است)، و از آن نقطه، دو واحد به سمت بالا بشمارید (عدد دو از صورت کسر مورد اشاره گرفته شده). این فرآیند منجر می شود تا به نقطۀ دیگری بر روی همان خط برسید.
نقطه حاصل از شمارش شیب خط را به عرض از مبدأ متصل کنید، تا خط مورد نظرتان ایجاد شود. شکل 10-5 تقاطع را به شما نشان می دهد (یک مثال از شمارش شیب خط)، و نقطۀ جدید یک واحد در سمت راست و دو واحد در بالای عرض از مبدأ ظاهر می شود، یعنی نقطۀ \( (1,7) \) .
تغییر از یک شکل به شکل دیگر
شما می توانید نمودار خطها را با استفاده از شکل استاندارد یا شکل شیب-تقاطع از معادلات ترسیم کنید. اگر یک شکل را بر شکل دیگر ترجیح می دهید ـــ یا اگر برای کار خاصی که مشغولش هستید، نیاز به یک شکل خاص دارید ـــ با چند عملیات ساده جبری می توانید شکل معادله را تغییر بدهید:
-
برای تبدیل معادله \(2x-5y=8\) به شکل شیب-تقاطع، ابتدا \(2x\) را از هر سمت تفریق می کنید و سپس هر سمت را بر ضریب جمله \(y\) یعنی \(-5\) تقسیم می کنید:
$$
2x-5y=8 \\
-5y=-2x+8 \\
{-5 \over -5}y = {-2\over-5}x+{8\over-5} \\
y={2\over5}x-{8\over5}
$$
در شکل شیب-تقاطع، شما به سرعت می توانید شیب خط و عرض از مبدأ را تعیین کنید: \(m={2\over5}, b=-{8\over5}\) .
-
برای تبدیل معادله \(y=-{3\over4}x+5\) به شکل استاندارد، ابتدا هر جمله را در \(4\) ضرب می کنید و سپس \(3x\) را به هر سمت می افزایید:
$$
\require{cancel}
4(y)=4\biggl(-{3\over4}x+5 \biggr) \\
4(y)=\cancel{4}\biggl(-{3\over \cancel{4}}x \biggr) +4(5) \\
4y=-3x+20 \\
3x+4y=20
$$
شناسایی خطوط موازی و خطوط عمود بر یکدیگر
خطها موازی (parallel) هستند، اگر هرگز به یکدیگر نرسند ـــ مهم نیست آنها را با چه فاصله دور یا نزدیکی از یکدیگر ترسیم کنید. خطها عمود بر یکدیگر (perpendicular) هستند، اگر با یک زاویه \(90^{\circ}\) (نود درجه) همدیگر را قطع کنند. تشخیص هر دوی این نمونه ها از روی نمودارشان نسبتاً ساده می باشد، اما چطور می توانید اطمینان حاصل کنید که خطها قطعاً موازی هستند یا اینکه زاویه واقعاً \(90^{\circ}\) می باشد و نه \(89.9^{\circ}\) ؟ پاسخ این سوالات در شیب خط موجود است.
این دو خط را در نظر بگیرید: \(y=m_1x+b_1\) و \(y=m_2x+b_2\) .
یادتان باشد: دو خط در صورتی موازی هستند که شیب آنها با یکدیگر برابر باشد \( (m_1=m_2) \) . دو خط در صورتی عمود بر یکدیگر هستند که شیب آنها معکوس منفی (negative reciprocals) یکدیگر باشند \( \biggl( m_2=-{1\over m_1} \biggr) \) .
برای مثال، خطوط \(y=3x+7\) و \(y=3x-2\) با هم موازی هستند. هر دوی این خطها دارای شیب \(3\) می باشند، اما عرض از مبدأ آنها متفاوت می باشد ـــ یکی از آنها محور \(Y\) را در مختصات \(7\) و دیگری در مختصات \(-2\) قطع می کند. قسمت a از شکل 11-5 این دو خط را نشان می دهد.
خطوط \(y=-{3\over8}x+4\) و \(y={8\over3}x-2\) بر یکدیگر عمودند. شیب این دو خط معکوس منفی یکدیگر می باشند. شما می توانید نمودار این دو خط را در قسمت b از شکل 11-5 ببینید.
نکته: یک روش سریع برای تشخیص اینکه آیا دو عدد معکوس منفی یکدیگر می باشند، اینست که آنها را در یکدیگر ضرب کنیم، حاصلضرب بدست آمده باید \(-1\) باشد. در مثال قبلی شما خواهید داشت:
$$ -{3\over8} \cdot {8\over3} = -1 $$
$$ -{3\over8} \cdot {8\over3} = -1 $$
لیست دوره های آموزش ریاضی در سایت خوش آموز
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
- دوره آموزشی رایگان ریاضی پایه و پیش جبر
- تمرینات دوره آموزشی ریاضی پایه و پیش جبر
- دوره آموزشی رایگان جبر 1
- دوره آموزشی رایگان جبر 2
- دوره آموزشی رایگان هندسه
- دوره آموزشی رایگان مثلثات
- دوره آموزشی رایگان پیش حسابان 1
- دوره آموزشی رایگان حسابان 1
- آموزش رایگان حسابان پیشرفته
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)
دیدگاه خود را ثبت کنید: