در جبر کلمۀ تابع (Function) به برخی عبارات ریاضی اشاره دارد که مانند سایر قوانین ارتباطات ریاضی، استانداردهای محکمی برای مقادیر ورودی و خروجی دارد. بنابراین، هنگامی که می شنوید برخی از ارتباطات یک تابع می باشند، می دانید که این ارتباط نیازمند برخی الزامات می باشد.





در این فصل، در مورد این الزامات بیشتر خواهید دانست. همچنین موضوعاتی اعم از دامنه (domain) توابع و حوزه (range) توابع، تا معکوس توابع را پوشش می دهم، و به شما نشان می دهم چگونه با توابع قطعه به قطعه (piecewise functions) و ترکیب توابع، برخورد کنید. بعد از آشنایی با این موضوعات، شما می توانید با یک معادله تابع با برنامه ریزی و اعتماد به نفس عالی، مواجه شوید.

معرفی توابع

برای مثال، معادلۀ \(y=x^2+5x-4\) یک معادله تابع (function equation) یا قانون تابع (function rule) می باشد که از متغیرهای \(x\) و \(y\) استفاده می کند. \(x\) متغیر ورودی (input variable) می باشد، و \(y\) متغیر خروجی (output variable) می باشد. اگر شما عدد \(3\) را جایگزین هر کدام از \(x\) ها کنید، خواهید داشت: \(y=3^2+5(3)-4=9+15-4=20\) .

خروجی \(20\) می باشد، تنها پاسخ ممکن همین است. اگر شما عدد \(3\) را دوباره وارد این تابع کنید، هیچ عدد دیگری به جز \(20\) را دریافت نخواهید کرد.

الزام تک خروجی (single-output requirement) برای یک تابع ممکن است یک الزام ساده به نظر برسد، اما شما با معادلات عجیب و غریب فراوانی در ریاضی مواجه می شوید. باید مراقب باشید.

معرفی نماد تابع

توابع برخی نمادهای خاص را نشان می دهند که کار کردن با آنها را ساده تر می سازد. این نماد هیچ کدام از ویژگی ها را تغییر نمی دهد، آن فقط به شما امکان می دهد تا توابع مختلف را به سرعت شناسایی کنید و عملیات و فرآیندهای مختلف را به شیوه ای کارآمدتر نشان دهید.

متغیرهای \(x\) و \(y\) در توابع کاملاً استاندارد هستند و در هنگام ترسیم نمودار توابع بسیار مفیدند. اما ریاضیدانان همچنین از قالب دیگری که نماد تابع (function notation) نامیده می شود، استفاده می کنند. برای مثال، فرض کنید من این سه تابع را داشته باشم:
$$
y=x^2+5x-4 \\
y=\sqrt{3x-8} \\
y=6xe^x - 2e^{2x}
$$
فرض کنید می خواهید آنها را با نامشان صدا بزنید. شما باید بگویید:
$$
f(x) =x^2+5x-4 \\
g(x)=\sqrt{3x-8} \\
h(x)=6xe^x - 2e^{2x}
$$
اسامی این توابع عبارت از \(f\) ، \(g\) ، و \(h\) می باشند. شما آنها را به این شکل می خوانید: "اِفِ ایکس برابر است با ..."، و به همین ترتیب. هنگامی که یک دسته تابع را که در کنار یکدیگر نوشته شده اند مشاهده می کنید، شما می توانید با تخصیص نام جداگانه همچون \(f\) یا \(g\) یا \(h\) به هر کدام از آنها، بهینه تر عمل کنید، بنابراین مخاطبان شما مدام سوال نخواهند کرد که منظورتان کدام یکی است.

ارزیابی توابع

هنگامی که یک تابع نوشته شده با نماد تابع را می بینید، می توانید به سادگی متغیر ورودی، متغیر خروجی، و کاری را که برای ارزیابی تابع برای برخی ورودی ها باید انجام دهید، را تشخیص بدهید. دلیل سادگی انجام این کار اینست که مقدار ورودی در میان پرانتزهایی که بعد از نام تابع قرار گرفته اند، جای دارد. نام تابع هم، همان مقدار خروجی تابع می باشد.

برای مثال، اگر \(g(x)=\sqrt{3x-8}\) را ببینید، و بخواهید آن را برای \(x=3\) ارزیابی کنید، آنها را به شکل \(g(3)\) می نویسید. این نحوۀ نگارش به این معنا می باشد که شما \(3\) را جایگزین همه \(x\) ها در عبارت تابع می کنید و عملیات را انجام می دهید تا به این خروجی برسید: \(g(3)=\sqrt{3(3)-8}=\sqrt{9-8}=\sqrt{1}=1 \) . حالا می توانید بگویید، \(g(3)=1\) یا "جیِ سه برابر است با یک". خروجی تابع \(g\) در صورتیکه ورودی آن \(3\) باشد، برابر با \(1\) است.