شما می توانید اعداد را به زوج و فرد دسته بندی کنید (و می توانید از این اطلاعات به نفع خودتان استفاده کنید، برای مثال، می دانید که هر عدد زوجی بر دو بخش پذیر می باشد و نتیجه تقسیم عددی صحیح خواهد بود). همچنین می توانید برخی از توابع را نیز به زوج و فرد دسته بندی کنید. اعداد صحیح زوج و فرد (مانند \(2,4,6\) و \(1,3,5\) ) در این دسته بندی نقشی را ایفا می کنند، اما آنها مهمترین بخش این دسته بندی نیستند. شما باید اندکی کار محاسباتی بیشتر بر روی آن انجام بدهید.

شناسایی توابع زوج و فرد

برای تعیین اینکه یک تابع زوج یا فرد می باشد (یا هیچ کدام از این دو نوع)، هر \(x\) در معادلۀ تابع را با \(-x\) جایگزین کنید و عبارت را ساده سازی کنید. اگر تابع زوج باشد، نسخۀ ساده شدۀ آن دقیقاً مشابه نسخۀ اصلی اش خواهد بود. اگر تابع فرد باشد، نسخۀ ساده شدۀ آن مشابه نتیجه ای است که از ضرب کردن معادلۀ اصلی تابع در \(-1\) بدست می آورید.


در ادامه چند مثال از توابع زوج و فرد آورده ام، و چگونگی شناسایی آنها را به شما توضیح داده ام:

• تابع \( f(x) =x^4-3x^2+6 \) زوج می باشد، زیرا خواه عدد \(2\) و خواه عدد \(-2\) را در آن وارد کنید، به خروجی یکسانی می رسید:
  
  • \( f(2)=(2)^4-3(2)^2+6=16-12+6=10 \)
    
  • \( f(-2)=(-2)^4-3(-2)^2+6=16-3(4)+6=10 \)
    
  بنابراین شما می توانید بگویید: \(f(2)=f(-2)\)
  
• تابع \( g(x)={12x \over x^2+2} \) فرد می باشد، زیرا ورودی \(2\) و \(-2\) پاسخهای متفاوتی را به شما می دهد:
  
  $$ g(2)={12(2) \over (2)^2+2}={24 \over 4+2}={24 \over 6}=4 \\
  g(-2)={12(-2) \over (-2)^2+2}={-24 \over 4+2}={-24 \over 6}=-4 $$
  بنابراین، شما می توانید بگویید \(g(-2)=-g(2)\) .
  

نمودار توابع زوج و فرد

بزرگترین تمایز بین توابع زوج و فرد ظاهر نمودار آنها می باشد:

• توابع زوج: نمودارهای توابع زوج نسبت به محور \(Y\) یعنی محور عمودی، متقارن می باشند. چیزی که می بینید دو تصویر بازتاب وارونه یافته در سمت چپ و راست محور عمودی می باشد. به عنوان مثالی از این نوع تقارن، بخش a از شکل 2-6 را ببینید، که نمودار تابع زوج زیر می باشد:
  $$ f(x)={5 \over x^2+1} $$
  
• توابع فرد: نمودار توابع فرد نسبت به مبدأ مختصات، متقارن می باشند. این تقارن شعاعی (radial)، یا مدور (circular) می باشد، بنابراین اگر نمودار را \(180^{\circ}\) بچرخانید، با نمودار فعلی یکسان خواهد بود. نمودار نمایش داده شده در بخش b از شکل 2-6 که مربوط به تابع فرد زیر می باشد، تقارن نسبت به مبدأ را نشان می دهد:
  $$ g(x)=x^3-8x $$
  

شما ممکن است با خود بیندیشید آیا می توانید تقارنی نسبت به محور \(X\) داشته باشید. از این گذشته، آیا محور \(Y\) بهتر از محور \(X\) می باشد؟ من اینها را به شما واگذار می کنم، اما بله، تقارن نسبت به محور \(X\) وجود دارد ـــ فقط در دنیای توابع نیست. بنا به تعریفش، یک تابع می تواند تنها یک مقدار \(y\) به ازاء هر مقدار \(x\) داشته باشد. اگر نقاطی را در هر کدام از سمتهای محور \(X\) داشته باشید، بالا یا پایین یک مقدار \(x\) ، نمودار مربوطه، نمودار یک تابع نمی باشد.