تابع یک به یک (one-to-one function)

توابع بسته به موقعیت (شاید بخواهید یک تراکنش تجاری را مدل کنید یا از آنها برای محاسبۀ پرداختی ها و بهره ها استفاده کنید) و کاری که می خواهید با آنها انجام بدهید (برای مثال، قرار دادن فرمول ها یا معادلات در صفحات گسترده یا صرفاً ترسیم نمودار آنها) می توانند طبقه بندی ها یا اسامی متعددی داشته باشند. یک طبقه بندی خیلی مهم تصمیم گیری در مورد اینست که آیا تابع مربوطه یک به یک (one-to-one) می باشد.

معرفی توابع یک به یک

قوانین جبر: یک تابع در صورتی یک به یک است که شما دقیقاً یک مقدار خروجی را به ازاء هر مقدار ورودی محاسبه کنید و دقیقاً یک مقدار ورودی را به ازاء هر مقدار خروجی داشته باشید. این تعریف را به طور رسمی در شکل زیر می نویسید:
$$ \text{if } f(x_1)=f(x_2), \text{ then } x_1=x_2 $$

به عبارت ساده تر، اگر دو مقدار خروجی یکسان باشند، دو مقدار ورودی نیز باید یکسان باشند.

توابع یک به یک مهم هستند زیرا آنها تنها توابعی هستند که می توانند معکوس داشته باشند، و توابع دارای معکوس آنقدرها هم آسان بدست نمی آیند. اگر تابعی دارای معکوس باشد، شما می توانید رو به عقب و رو به جلو کار کنید ـــ اگر پرسش را داشته باشید، پاسخش را بیابید و اگر پاسخ را بدانید، پرسش اصلی را از روی آن بیابید. در ادامۀ این فصل اطلاعات بیشتری در مورد توابع معکوس (inverse functions) آورده ایم.

یک مثال از توابع یک به یک تابع $ f(x)=x^3 $ می باشد. قانون این تابع شامل مکعب کردن (به توان سوم رساندن) متغیر می باشد. مکعب یک عدد مثبت، عددی مثبت است، و مکعب یک عدد منفی، عددی منفی می باشد. بنابراین، هر ورودی، یک خروجی یکتا دارد ـــ هیچ ورودی دیگری آن خروجی را به شما نمی دهد.

برخی از توابع بدون نامگذاری یک به یک، ممکن است شبیه مثال قبل به نظر برسند، که یک به یک می باشد. برای مثال، $ g(x)=x^3-x $ را در نظر بگیرید. این مثال به عنوان یک تابع در نظر گرفته می شود زیرا به ازاء هر ورودی تنها یک خروجی خواهیم داشت. اگرچه، این تابع یک به یک نمی باشد، زیرا شما می توانید با بیش از یک مقدار ورودی خروجی های یکسانی را بدست آورید. برای مثال، $g(1)=(1)^3-(1)=1-1=0$ ، و $g(-1)=(-1)^3-(-1)=-1+1=0$ . در اینجا شما دو وردی $1$ و $-1$ را دارید، که خروجی هر دوی آنها یکسان $ (0) $ می باشد.

نکته: شناسایی توابعی که واجد شرایط یک به یک نیستند، سخت می باشد، اما شما می توانید هر تابعی را که تمامی توانهای آن زوج می باشند فوراً غیرمحتمل بشمارید. توابع دارای قدرمطلق نیز معمولاً در این زمینه همکاری نمی کنند.

حذف کردن نقض کنندگان یک به یک

شما می توانید با حدس زدن و امتحان کردن، با استفاده از تکنیک های جبری، و با ترسیم نمودار، تعیین کنید کدام توابع یک به یک می باشند و کدام توابع قوانین توابع یک به یک را نقض می کنند. بیشتر ریاضیدانان تکنیک ترسیم نمودار را ترجیح می دهند، زیرا به شما یک پاسخ زیبا و بصری می دهد. تکنیک ساده ترسیم نمودار، تست خط راست افقی می باشد. اما برای درک بهتر این تست، نیاز دارید با شریک آن، تست خط راست عمودی، ملاقات کنید. (در فصلهای 7 تا 10 چگونگی ترسیم نمودار توابع مختلف را به شما نشان داده ام.)

تست خط عمودی (Vertical line test)

نمودار یک تابع همواره تست خط عمودی را پاس می کند. این تست تصریح می کند که هر خط عمودی که درون نمودار آن تابع ترسیم شود، بیش از یکبار از آن تابع عبور نخواهد کرد. این یک نمایش بصری است که فقط یک مقدار $y$ (خروجی) به ازاء هر مقدار $x$ (ورودی) وجود دارد، یک قانون از توابع. بخش a از شکل 3-6 یک تابع را نشان می دهد که تست خط عمودی را پاس کرده است، و بخش b از شکل 3-6 شامل یک منحنی است که یک تابع نمی باشد و بنابراین در تست خط عمودی شکست خورده است.

تست خط افقی (Horizontal line test)

تمامی توابع تست خط عمودی را پاس می کنند، اما فقط توابع یک به یک تست خط افقی را پاس می کنند. با این تست، شما می توانید ببینید آیا هیچ خط افقی که درون نمودار کشیده شده است، بیش از یکبار از میان تابع عبور کرده است یا خیر. اگر خط افقی بیش از یکبار از میان تابع عبور کند، تابع در این آزمون شکست می خورد و بنابراین آن تابع یک به یک نخواهد بود. بخش a از شکل 4-6 یک تابع را نشان می دهد که تست خط افقی را پاس می کند، و بخش b از شکل 4-6 تابعی را نشان می دهد که در این آزمون شکست خورده است.

با این حال، هر دو نمودار نمایش داده شده در شکل 4-6 تابع هستند، بنابراین هر دوی آنها تست خط عمودی را پاس می کنند.