یک تابع قطعه قطعه (piecewise function) عبارت از دو یا چند قوانین تابع (معادلۀ تابع) است که به یکدیگر متصل شده اند (به ازاء مقادیر متفاوت \(x\) جداگانه لیست شده اند) تا یک تابع بزرگتر را شکل دهند. یک تغییر در معادلۀ تابع برای مقادیر مختلف در آن دامنه رخ می دهد. برای مثال، ممکن است یک قانون برای تمامی اعداد منفی داشته باشید، قانون دیگری برای اعداد بزرگتر از سه داشته باشید، و قانون سومی برای تمامی مقادیر بین این دو قانون داشته باشید.





توابع قطعه قطعه در شرایطی که نمی خواهید قانون یکسانی را برای همه کس یا همه چیز استفاده کنید، نقش ایفا می کنند. آیا یک رستوران برای یک کودک سه ساله باید به اندازۀ یک فرد بزرگسال هزینۀ غذا دریافت کند؟ آیا در دمای \(20^{\circ}\) همانقدر لباس می پوشید که در هوای گرمتر می پوشید؟ نه، شما در شرایط مختلف از قوانین مختلفی استفاده می کنید. در ریاضیات توابع قطعه قطعه به شما امکان می دهند تا قوانین مختلفی را بر روی اعداد مختلفی در دامنۀ تابع، بکار ببندید.

قطعه قطعه کردن تابع

توابع تکه تکه نسبتاً ساختگی می باشند. اوه، البته وقتیکه مالیات بر درآمدتان را می پردازید یا کمیسیون فروش خود را محاسبه می کنید، این توابع به اندازۀ کافی واقعی به نظر می رسند. اما در یک بحث جبری، آسانتر به نظر می رسد که به چند معادلۀ زیبا فکر کنیم تا چگونگی کارکرد توابع قطعه قطعه را توضیح دهیم و سپس به معرفی کاربردهایش بپردازیم. در ادامه مثالی از یک تابع قطعه قطعه را می بینید:
$$
f(x) =
\begin{cases}
x^2-2 & \text{ if } x \le -2 \\ \\
5-x & \text{ if } -2 \lt x \le 3 \\ \\
\sqrt{x+1} & \text{ if } x \gt 3
\end{cases}
$$
با این تابع، برای تمامی اعداد کوچکتر یا مساوی \(-2\) یک قانون را استفاده می کنید، قانون دیگری را برای اعداد بین \(-2\) و \(3\) (شامل خود عدد \(3\) هم می شود) استفاده می کنید، و یک قانون نهایی را نیز برای اعداد بزرگتر از \(3\) مورد استفاده قرار می دهید. شما هنوز هم به ازاء هر مقدار ورودی فقط یک مقدار خروجی دارید. برای مثال، فرض کنید می خواهید مقادیر این تابع برای \(x\) برابر است با \(-4,-2,-1,0,1,3,5\) را بیابید. توجه داشته باشید که چگونه بر اساس مقادیر ورودی متفاوت از قوانین متفاوتی استفاده می کنید:
$$
f(-4)=(-4)^2-2=16-2=14 \\
f(-2)=(-2)^2-2=4-2=2 \\
f(-1)=5-(-1)=5+1=6 \\
f(0)=5-0=5 \\
f(1)=5-1=4 \\
f(3)=5-3=2 \\
f(5)=\sqrt{5+1}=\sqrt{6}
$$
شکل 5-6 نمودار این تابع قطعه قطعه را با این مقادیر تابع به شما نشان می دهد.


به سه بخش متفاوت نمودار توجه کنید. منحنی سمت چپ و خط میانی به یکدیگر متصل نیستند زیرا در هنگامی که \(x=-2\) است یک ناپیوستگی (discontinuity) وجود دارد. ناپیوستگی زمانی رخ می دهد که یک شکاف یا یک سوراخ در نمودار آشکار گردد. همچنین، توجه کنید که خط سمت چپ که به سمت محور \(X\) در حال سقوط می باشد، با یک نقطۀ توپر خاتمه یافته است، و بخش میانی یک دایرۀ باز دقیقاً بالای آن دارد. این ویژگی ها تعریف تابع را که بیان می دارد تنها یک خروجی به ازاء هر ورودی وجود دارد، حفظ می کنند. آن نقطه به شما می گوید وقتیکه \(x=-2\) باشد، از قانون سمت چپ استفاده کنید.

بخش میانی در نقطۀ \( (3,2) \) متصل می شود، زیرا قانون سمت راست آن در هنگامی که \(x=3\) باشد، به مقدار خروجی قانون میانی بسیار بسیار نزدیک می شود. از لحاظ فنی، شما باید هم یک دایرۀ توخالی و هم یک نقطۀ توپر ترسیم کنید، اما شما صرفاً با نگاه کردن به نمودار نمی توانید این مسأله را تشخیص بدهید.

به کار بردن توابع قطعه قطعه

چرا شما باید نیاز داشته باشید که از یک تابع قطعه قطعه استفاده کنید؟ آیا هیچ دلیل خوبی برای تغییر دادن قوانین درست در وسط چیزها دارید؟ من دو مثال دارم که هدفش کاهش تشویش شما می باشد ـــ مثالهایی که شما به خوبی با آنها ارتباط برقرار می کنید.

محاسبه هزینه برق مصرفی

شرکتهای خدمات عمومی همچون ارائه برق و گاز و ... ، می توانند از توابع قطعه قطعه استفاده کنند تا نرخهای متفاوتی را برای مصرف کنندگان بر مبنای سطح میزان مصرف، شارژ کنند. یک کارخانۀ بزرگ مقدار بسیار زیادی برق مصرف می کند و به درستی نرخ متفاوتی را نسبت به مالک یک خانه دریافت می کند.
$$
C(h)=
\begin{cases}
0.0747900h & \text{ if } h < 1,000 \\ \\
74.79 + 0.052500(h-1,000) & \text{ if } 1,000 \le h \lt 5,000 \\ \\
284.79 + 0.033300(h-5,000) & \text{ if } h \ge 5,000
\end{cases}
$$
در اینجا \(h\) تعداد کیلووات ساعت (kilowatt hours) و \(C\) هزینه در واحد دلار می باشد.

بنابراین، مالک یک خانه که به میزان \(750\) کیلووات ساعت برق مصرف می کند، چقدر پرداخت می کند؟ یک کسب و کار که \(10,000\) کیلووات ساعت برق مصرف می کند، چقدر پرداخت می کند؟

با توجه به بازه ای که مقدار ورودی در داخل آن قرار دارد، برای مالک یک خانه از قانون بالایی و برای صاحب کسب و کار از قانون پایینی استفاده می کنید. صاحبخانه معادله زیر را دارد:
$$
C(h)=0.0747900h \\
C(750)=56.0925
$$
شخصی که \(750\) کیلووات ساعت مصرف می کند، اندکی بیش از \($56\) در ماه پرداخت می کند. و در مورد کسب و کار؟
$$
C(h)=284.79+0.033300(h-5,000) \\
C(10,000)=284.79+0.033300(10,000-5,000) \\
C(10,000)=284.79+166.50=451.29
$$
این شرکت اندکی بیش از \($451\) پرداخت می کند.

محاسبه مالیات بر درآمد

به محض اینکه 15 آپریل دوباره فرا می رسد، بسیاری از مردم با کشمکش سالیانۀ شان با فرم های مالیات بر درآمد مواجه می شوند. نرخی که بر اساس آن مالیات می پردازید بستگی به میزان درآمد شما دارد ـــ یک مقیاس پلکانی که طبق آن افرادیکه درآمد بیشتری کسب می کنند، مالیات بیشتری می پردازند. مقادیر درآمد، مقادیر ورودی (مقادیر دامنه) می باشند، و دولت با قرار دادن اعداد در فرمول صحیح مالیات پرداختی را تعیین می کند.

در سال 2005 ، هر فرد مالیات دهنده، مالیات بر درآمدش را بر اساس درآمد مشمول مالیاتش، بنا به قوانین زیر پرداخت کرده است (در یک تابع قطعه قطعه توصیف شده است):
$$
X(t)=
\begin{cases}
0.10t & t \lt 7,300 \\ \\
0.15(t-7,300)+730 & 7,300 \le t \lt 29,700 \\ \\
0.25(t-29,700)+4,090 & 29,700 \le t \lt 71,950 \\ \\
0.28(t-71,950)+14,653 & 71,950 \le t \lt 150,150 \\ \\
0.33(t-150,150)+36,549 & 150,150 \le t \lt 326,450 \\ \\
0.35(t-326,450)+94,728 & t \ge 326,450
\end{cases}
$$
در اینجا \(t\) درآمد مشمول مالیات و \(X\) مالیات پرداختی می باشد.

اگر درآمد مشمول مالیات شخصی \($45,000\) باشد، چقدر مالیات باید بپردازد؟ مقدار را وارد تابع کنید و قانون سوم را دنبال کنید، زیرا \(45,000\) بین \(29,700\) و \(71,950\) می باشد:
$$
X(45,000)=0.25(45,000-29,700)+4,090 \\
= 3,825+4,090=7,915
$$
این شخص باید تقریباً \($8,000\) مالیات بر درآمد بپردازد.