شما می توانید عملیات اصلی ریاضی شامل جمع، تفریق، ضرب، و تقسیم را بر روی معادلاتی که برای توصیف توابع استفاده می شوند، انجام بدهید. شما همچنین می توانید هر مقدار ساده سازی که میسر باشد بر روی قسمتهای مختلف عبارت انجام بدهید و نتیجه را به عنوان یک تابع جدید بنویسید. برای مثال، می توانید دو تابع \( f(x)=x^2-3x-4 \) و \( g(x)=x+1 \) را بگیرید و چهار عملیات اصلی را بر روی آنها انجام بدهید:


$$


\require{cancel}
f+g=(x^2-3x-4)+(x+1)=x^2-2x-3 \\[2ex]
f-g=(x^2-3x-4)-(x+1)=x^2-3x-4-x-1=x^2-4x-5 \\[2ex]
f.g=(x^2-3x-4)(x+1) \\
= (x^2-3x-4)(x)+(x^2-3x-4)(1) \\
=x^3-3x^2-4x+x^2-3x-4 \\
= x^3-2x^2-7x-4 \\[2ex]
{f \over g}={x^2-3x-4 \over x+1}={(x-4) \cancel{(x+1)} \over \cancel{(x+1)} }=x-4 \\[2ex]
$$
آفرین، اما شما عملیات دیگری را نیز در اختیار دارید ـــ عملیاتی که مخصوص توابع می باشد ـــ و ترکیب (composition) نامیده می شود.

انجام عملیات ترکیب توابع

ترکیب توابع عملیاتی است که طی آن شما یک تابع را به عنوان ورودی تابع دیگری مورد استفاده قرار می دهید و عملیات را بر روی آن تابع ورودی انجام می دهید.


در اینجا چگونگی انجام یک مثال از ترکیب را با استفاده از توابع \(f\) و \(g\) از مثالهای قبل، می بینید:
$$
f \circ g = f(g)=(g)^2-3(g)-4 \\
=(x+1)^2-3(x+1)-4 \\
=x^2+2x+1-3x-3-4 \\
=x^2-x-6
$$
عملیات ترکیب توابع، جابجایی پذیر (commutative) نمی باشد (عملیات جمع و ضرب جابجایی پذیر هستند، زیرا شما می توانید ترتیب را تغییر بدهید و نتایج تغییر نکند). ترتیب در عملیات ترکیب ـــ اینکه کدام تابع در ابتدا بیآید ــــ حائز اهمیت می باشد. ترکیب \(f \circ g\) با \(g \circ f\) یکسان نمی باشد، به استثناء یک مورد: هنگامی که دو تابع معکوس یکدیگر باشند. در ادامۀ همین فصل در مورد توابع معکوس بحث کرده ام.

ساده سازی خارج قسمت تفاوت (difference quotient)

خارج قسمت تفاوت (difference quotient) در بیشتر کلاسهای جبر 2 در دبیرستان به عنوان یک تمرین بعد از اینکه آموزگار شما ترکیب توابع را به شما نشان داد، نمایان می شود. شما به این دلیل این تمرین را انجام می دهید که خارج قسمت تفاوت پایه ای برای تعریف مشتق (derivative) می باشد. خارج قسمت تفاوت به شما امکان می دهد تا مشتق را بیابید، که آنهم به شما امکان می دهد تا در حسابان موفق باشید (البته که همه دوست دارند در حسابان موفق عمل کنند). پس، ترکیب توابع در کجا مفید واقع می شوند؟ با خارج قسمت تفاوت، شما ترکیب توابع تعیین شده \(f(x)\) و تابع \(g(x)=x+h\) یا \(g(x)=x+ \Delta x\) ، را بسته به اینکه کدام کتاب حسابان را مورد استفاده قرار می دهید، انجام می دهید.


حالا، به عنوان یک مثال، عملیات خارج قسمت تفاوت را بر روی همان تابع \(f\) موجود در مثالهای قبلی انجام دهید:
$$
{f(x+h)-f(x) \over h}={ (x+h)^2 - 3(x+h)-4-(x^2-3x-4) \over h }
$$
توجه داشته باشید که شما عبارت \( f(x+h) \) را با قرار دادن \(x+h\) به ازاء هر \(x\) در تابع پیدا می کنید ـــ \(x+h\) متغیر ورودی می باشد. اکنون، با ساده سازی ادامه بدهید:
$$
={x^2+2xh+h^2-3x-3h-4-x^2+3x+4 \over h } \\[2ex]
={2xh + h^2 - 3h \over h }
$$
آیا متوجه شده اید که \(x^2\) ، \(3x\) ، و \(4\) همگی با متضادشان در صورت کسر ظاهر شده اند؟ برای همین هم هست که ناپدید شدند. اکنون، برای تکمیل عملیات:
$$
={h(2x+h-3) \over h} = 2x+h-3
$$
فعلاً، این عملیات ممکن است برای شما شبیه چیز معنا داری نباشد، اما شما نتیجۀ فوق العاده ای را ایجاد کرده اید. شما یک گام دیگر به پیدا کردن مشتق (derivative) نزدیک شده اید. برای جزئیات بیشتر در مورد پیدا کردن مشتق و همینطور اطلاعات بیشتری در زمینۀ حساب دیفرانسیل و انتگرال توصیه می کنم کتاب "Calculus For Dummies" را مطالعه نمایید.